Esercizi di algebra lineare

Esercizi di algebra lineare

+Esercizi di algebra lineare

Versione italiana

Esercizi di algebra lineare

Teoria dell’Algebra Lineare

L’algebra lineare è un ramo della matematica che si occupa dello studio di vettori, spazi vettoriali, trasformazioni lineari e sistemi di equazioni lineari. È una disciplina fondamentale in molte aree della matematica e delle scienze applicate, inclusi fisica, ingegneria, economia e informatica.

Concetti Fondamentali

1. Vettori: Un vettore è un oggetto matematico che ha sia una magnitudine (lunghezza) che una direzione. I vettori possono essere rappresentati come colonne di numeri.

2. Spazi Vettoriali: Un insieme di vettori che può essere combinato attraverso operazioni di somma e moltiplicazione per scalari, rispettando alcune proprietà (chiusura, associatività, esistenza dell’elemento neutro, ecc.).

3. Sistemi di Equazioni Lineari: Un insieme di equazioni lineari che possono essere risolte simultaneamente. La soluzione può essere unica, infinita o non esistere.

4. Matrici: Una matrice è un array rettangolare di numeri che rappresenta un sistema di equazioni lineari o una trasformazione lineare. Le operazioni fondamentali sulle matrici includono somma, prodotto e determinante.

5. Determinante: Un valore scalare associato a una matrice quadrata che fornisce informazioni sulle proprietà della matrice, come la sua invertibilità.

6. Autovalori e Autovettori: Per una matrice A$A$, un autovettore è un vettore v$v$ tale che quando viene moltiplicato per A$A$ produce un multiplo scalare del vettore stesso (cioè Av = \lambda v$Av = \lambda v$), dove \lambda$\lambda$ è l’autovalore corrispondente.

Esercizi di Algebra Lineare

Esercizio 1: Risoluzione di un Sistema di Equazioni Lineari

Risolvi il seguente sistema di equazioni:

\begin{align*}
2x + 3y &= 6 \\
4x - y &= 5
\end{align*}

$$\begin{align*} 2x + 3y &= 6 \\ 4x - y &= 5 \end{align*}$$

Soluzione:
Possiamo risolvere il sistema utilizzando il metodo di sostituzione o il metodo di eliminazione. Utilizziamo il metodo di sostituzione:

1. Risolviamo la prima equazione per y$y$:

   3y = 6 - 2x \implies y = \frac{6 - 2x}{3}

   $$3y = 6 - 2x \implies y = \frac{6 - 2x}{3}$$

2. Sostituiamo y$y$ nella seconda equazione:

   4x - \left(\frac{6 - 2x}{3}\right) = 5

   $$4x - \left(\frac{6 - 2x}{3}\right) = 5$$

   Moltiplichiamo per 3 per eliminare il denominatore:

   12x - (6 - 2x) = 15 \implies 12x - 6 + 2x = 15 \implies 14x = 21 \implies x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}

   $$12x - (6 - 2x) = 15 \implies 12x - 6 + 2x = 15 \implies 14x = 21 \implies x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$$

3. Sostituiamo il valore di x$x$ nella prima equazione per trovare y$y$:

   2\left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \implies 3 + 3y = 6 \implies 3y = 3 \implies y = 1

   $$2\left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \implies 3 + 3y = 6 \implies 3y = 3 \implies y = 1$$

La soluzione del sistema è quindi:

(x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right).

$$(x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right).$$

Esercizio 2: Calcolo del Determinante

Calcola il determinante della matrice:

A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.$$

Soluzione:
Utilizziamo la formula del determinante per una matrice 3\times3$3\times3$:

\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

Dove i termini sono presi dalla matrice come segue:

A = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}.

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.$$

Identifichiamo i valori:

• a = 1, b = 2, c = 3 

  $$a = 1, b = 2, c = 3$$

• d = 0, e = 1, f = 4 

  $$d = 0, e = 1, f = 4$$

• g = 5, h = 6, i = 0 

  $$g = 5, h = 6, i = 0$$

Ora calcoliamo il determinante:

\text{det}(A) = 
1(1\cdot0 - 4\cdot6) - 
2(0\cdot0 - 4\cdot5) + 
3(0\cdot6 - 1\cdot5)

$$\text{det}(A) = 1(1\cdot0 - 4\cdot6) - 2(0\cdot0 - 4\cdot5) + 3(0\cdot6 - 1\cdot5)$$

Calcoliamo ogni termine:

• Primo termine: 1(0 -24) = -24$1(0 -24) = -24$
• Secondo termine: 2(0 -20) = +40$2(0 -20) = +40$
• Terzo termine: 3(0 -5) = -15$3(0 -5) = -15$

Sommiamo i risultati:

-24 +40 -15=1.

$$-24 +40 -15=1.$$

Il determinante della matrice è quindi 1.

Esercizio 3: Autovalori e Autovettori

Trova gli autovalori della matrice:

B = \begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}.

$$B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.$$

Soluzione:
Per trovare gli autovalori, calcoliamo il polinomio caratteristico dato da:

\text{det}(B - \lambda I) = 0,

$$\text{det}(B - \lambda I) = 0,$$

dove I$I$ è la matrice identità.

Calcoliamo B - \lambda I$B - \lambda I$:

B - \lambda I =
\begin{pmatrix}
4-\lambda & 1\\
2 & 3-\lambda
\end{pmatrix}.

$$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1\\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.$$

Il determinante è dato da:

(4-\lambda)(3-\lambda) - (2)(1) = (\lambda^2 -7\lambda +10)=0.

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - (2)(1) = (\lambda^2 -7\lambda +10)=0.$$

Risolvendo l’equazione quadratica:

(\lambda-5)(\lambda-2)=0.

$$(\lambda-5)(\lambda-2)=0.$$

Quindi gli autovalori sono:

\lambda_1=5,\quad \lambda_2=2.

$$\lambda_1=5,\quad \lambda_2=2.$$

Esercizio Avanzato: Spazio Vettoriale

Verifica se i seguenti vettori formano una base dello spazio vettoriale R^3$R^3$:

v_1 = (1,0,0),\, v_2=(0,1,0),\, v_3=(0,0,1). 

$$v_1 = (1,0,0),\, v_2=(0,1,0),\, v_3=(0,0,1).$$

Soluzione:
I vettori formano una base se sono linearmente indipendenti e coprono l’intero spazio R^3$R^3$.

Per verificare l’indipendenza lineare, dobbiamo controllare se l’equazione:

c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3=0 

$$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3=0$$

ha solo la soluzione banale (cioè c_1=c_2=c_3=0$c_1=c_2=c_3=0$).

Scrivendo l’equazione esplicitamente:

c_1(1,0,0) + c_2(0,1,0) + c_3(0,0,1)=(0,0,0). 

$$c_1(1,0,0) + c_2(0,1,0) + c_3(0,0,1)=(0,0,0).$$

Questo porta al sistema:

• c_1=0 

  $$c_1=0$$

• c_2=0 

  $$c_2=0$$

• c_3=0 

  $$c_3=0$$

Poiché l’unica soluzione è la soluzione banale, i vettori sono linearmente indipendenti.

Inoltre coprono l’intero spazio R^3$R^3$, quindi formano una base.

English version

Linear Algebra Exercises

Linear Algebra Theory

Linear algebra is a branch of mathematics that deals with the study of vectors, vector spaces, linear transformations, and systems of linear equations. It is a fundamental discipline in many areas of mathematics and applied sciences, including physics, engineering, economics, and computer science.

Fundamental Concepts

1. Vectors: A vector is a mathematical object that has both a magnitude (length) and a direction. Vectors can be represented as columns of numbers.

2. Vector Spaces: A set of vectors that can be combined through addition and multiplication operations by scalars, respecting certain properties (closure, associativity, existence of the neutral element, etc.).

3. Systems of Linear Equations: A set of linear equations that can be solved simultaneously. The solution can be unique, infinite, or nonexistent.

4. Matrices: A matrix is ​​a rectangular array of numbers that represents a system of linear equations or a linear transformation. Fundamental matrix operations include sum, product, and determinant.

5. Determinant: A scalar value associated with a square matrix that provides information about the properties of the matrix, such as its invertibility.

6. Eigenvalues ​​and Eigenvectors: For a matrix A$A$, an eigenvector is a vector v$v$ such that when multiplied by A$A$ it produces a scalar multiple of the vector itself (i.e., Av = \lambda v$Av = \lambda v$), where \lambda$\lambda$ is the corresponding eigenvalue.

Linear Algebra Exercises

Exercise 1: Solving a System of Linear Equations

Solve the following system of equations:

\begin{align*}
2x + 3y &= 6 \\
4x - y &= 5
\end{align*}

$$\begin{align*} 2x + 3y &= 6 \\ 4x - y &= 5 \end{align*}$$

Solution:
We can solve the system using the substitution method or the elimination method. We use the substitution method:

1. Solve the first equation for y$y$:

3y = 6 - 2x \implies y = \frac{6 - 2x}{3}

$$3y = 6 - 2x \implies y = \frac{6 - 2x}{3}$$

2. Substitute y$y$ into the second equation:

4x - \left(\frac{6 - 2x}{3}\right) = 5

$$4x - \left(\frac{6 - 2x}{3}\right) = 5$$

Multiply by 3 to eliminate the denominator:

12x - (6 - 2x) = 15 \implies 12x - 6 + 2x = 15 \implies 14x = 21 \implies x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}

$$12x - (6 - 2x) = 15 \implies 12x - 6 + 2x = 15 \implies 14x = 21 \implies x = \frac{21}{14} = \frac{3}{2}$$

3. Substitute the value of x$x$ into the first equation to find y$y$:

2\left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \implies 3 + 3y = 6 \implies 3y = 3 \implies y = 1

$$2\left(\frac{3}{2}\right) + 3y = 6 \implies 3 + 3y = 6 \implies 3y = 3 \implies y = 1$$

The solution of the system is therefore:

(x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right).

$$(x, y) = \left(\frac{3}{2}, 1\right).$$

Exercise 2: Calculating the Determinant

Calculate the determinant of the matrix:

A = \begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.$$

Solution:
We use the determinant formula for a 3\times3$3\times3$ matrix:

\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)

$$\text{det}(A) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)$$

Where the terms are taken from the matrix as follows:

A = \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 4 \\
5 & 6 & 0
\end{pmatrix}.

$$A = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 4 \\ 5 & 6 & 0 \end{pmatrix}.$$

Let’s identify the values:

• a = 1, b = 2, c = 3 

  $$a = 1, b = 2, c = 3$$

• d = 0, e = 1, f = 4 

  $$d = 0, e = 1, f = 4$$

• g = 5, h = 6, i = 0 

  $$g = 5, h = 6, i = 0$$

Now let’s calculate the determinant:

\text{det}(A) =
1(1\cdot0 - 4\cdot6) -
2(0\cdot0 - 4\cdot5) +
3(0\cdot6 - 1\cdot5)

$$\text{det}(A) = 1(1\cdot0 - 4\cdot6) - 2(0\cdot0 - 4\cdot5) + 3(0\cdot6 - 1\cdot5)$$

Let’s calculate each term:

• First term: 1(0 -24) = -24$1(0 -24) = -24$
• Second term: 2(0 -20) = +40$2(0 -20) = +40$
• Third term: 3(0 -5) = -15$3(0 -5) = -15$

Let’s add the results:

-24 +40 -15=1.

$$-24 +40 -15=1.$$

The determinant of the matrix is ​​therefore 1.

Exercise 3: Eigenvalues ​​and Eigenvectors

Find the eigenvalues ​​of the matrix:

B = \begin{pmatrix}
4 & 1 \\
2 & 3
\end{pmatrix}.

$$B = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.$$

Solution:
To find the eigenvalues, we compute the characteristic polynomial given by:

\text{det}(B - \lambda I) = 0,

$$\text{det}(B - \lambda I) = 0,$$

where I$I$ is the identity matrix.

We compute B - \lambda I$B - \lambda I$:

B - \lambda I =
\begin{pmatrix}
4-\lambda & 1\\
2 & 3-\lambda
\end{pmatrix}.

$$B - \lambda I = \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1\\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix}.$$

The determinant is given by:

(4-\lambda)(3-\lambda) - (2)(1) = (\lambda^2 -7\lambda +10)=0.

$$(4-\lambda)(3-\lambda) - (2)(1) = (\lambda^2 -7\lambda +10)=0.$$

Solving the quadratic equation:

(\lambda-5)(\lambda-2)=0.

$$(\lambda-5)(\lambda-2)=0.$$

So the eigenvalues ​​are:

\lambda_1=5,\quad \lambda_2=2.

$$\lambda_1=5,\quad \lambda_2=2.$$

Advanced Exercise: Vector Space

Check if the following vectors form a basis of the vector space R^3$R^3$:

v_1 = (1,0,0),\, v_2=(0,1,0),\, v_3=(0,0,1).

$$v_1 = (1,0,0),\, v_2=(0,1,0),\, v_3=(0,0,1).$$

Solution:
The vectors form a basis if they are linearly independent and cover the entire space R^3$R^3$.

To check for linear independence, we need to check if the equation:

c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3=0

$$c_1v_1 + c_2v_2 + c_3v_3=0$$

has only the trivial solution (i.e. c_1=c_2=c_3=0$c_1=c_2=c_3=0$).

Writing the equation explicitly:

c_1(1,0,0) + c_2(0,1,0) + c_3(0,0,1)=(0,0,0).

$$c_1(1,0,0) + c_2(0,1,0) + c_3(0,0,1)=(0,0,0).$$

This leads to the system:

• c_1=0 

  $$c_1=0$$

• c_2=0 

  $$c_2=0$$

• c_3=0 

  $$c_3=0$$

Since the only solution is the trivial solution, the vectors are linearly independent.

They also cover the entire R^3$R^3$ space, so they form a basis.