Riassunti fisica II

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Moto armonico

Il moto armonico è un tipo di moto oscillatorio e periodico, simile al moto circolare uniforme. Esso può essere descritto come la proiezione su un diametro di un punto che si muove in modo circolare uniforme attorno a una circonferenza. Questa proiezione oscilla tra due estremi, definiti dalla massima ampiezza A$A$, che rappresenta la distanza massima dal punto di equilibrio.

Caratteristiche del Moto Armonico

Legge Oraria

L’equazione che descrive il moto armonico è:

x(t) = A \cdot \cos(\omega t)

$$x(t) = A \cdot \cos(\omega t)$$

dove:

• x(t)$x(t)$ è la posizione del punto oscillante rispetto al centro,
• A$A$ è l’ampiezza,
• \omega$\omega$ è la pulsazione (velocità angolare) in rad/s.

Velocità e Accelerazione

La velocità e l’accelerazione nel moto armonico sono descritte dalle seguenti equazioni:

v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)

$$v(t) = -A \cdot \omega \cdot \sin(\omega t)$$

a(t) = -A \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega t)

$$a(t) = -A \cdot \omega^2 \cdot \cos(\omega t)$$

In questo contesto:

• La velocità è massima quando il punto si trova nella posizione di equilibrio e nulla agli estremi dell’oscillazione.
• L’accelerazione è massima agli estremi dell’oscillazione e nulla nella posizione centrale.

Periodo e Frequenza

Il periodo T$T$, ovvero il tempo necessario per completare un’oscillazione, è legato alla pulsazione dalla relazione:

T = \frac{2\pi}{\omega}

$$T = \frac{2\pi}{\omega}$$

La frequenza f$f$, che rappresenta il numero di oscillazioni complete al secondo, è definita come l’inverso del periodo:

f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}

$$f = \frac{1}{T} = \frac{\omega}{2\pi}$$

È importante notare che sia il periodo che la frequenza sono indipendenti dall’ampiezza dell’oscillazione.

Pendolo

Il pendolo è un dispositivo fisico semplice e versatile, costituito da un punto materiale di massa m$m$ sospeso a un filo inestensibile di lunghezza L$L$. Oscilla attorno a un punto fisso sotto l’influenza della forza di gravità. Quando spostato dalla sua posizione di equilibrio e rilasciato, il pendolo esegue un moto oscillatorio che può essere descritto come un moto armonico semplice per piccole oscillazioni.

Caratteristiche del Pendolo

Funzionamento

Il pendolo oscilla grazie alla forza di richiamo esercitata dalla gravità, che tende a riportarlo verso la posizione di equilibrio. Le principali caratteristiche del pendolo includono:

• Isocronismo: Per piccole oscillazioni (tipicamente angoli inferiori a 15°), il periodo di oscillazione è costante e indipendente dall’ampiezza e dalla massa del pendolo. Questo fenomeno è noto come isocronia.

• Periodo di Oscillazione: Il periodo T$T$ del pendolo è dato dalla formula:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

dove g$g$ è l’accelerazione di gravità. Questo significa che il periodo dipende solo dalla lunghezza del filo e dall’accelerazione di gravità.

Moto Armonico

Il moto del pendolo può essere descritto in termini di moto armonico semplice, con accelerazione proporzionale e opposta allo spostamento dalla posizione di equilibrio:

a = -\frac{g}{L} x

$$a = -\frac{g}{L} x$$

Questo mostra che il pendolo si comporta come un oscillatore armonico.

Pendolo reale

Il pendolo reale, o pendolo fisico, è una generalizzazione del pendolo semplice, che considera un oggetto di massa non puntiforme sospeso a un punto fisso. A differenza del pendolo semplice, che assume un filo inestensibile e di massa trascurabile con una massa puntiforme all’estremità, il pendolo reale può avere una distribuzione di massa più complessa e un filo con massa significativa.

Caratteristiche del Pendolo Reale

Struttura e Comportamento

• Composizione: Un pendolo reale è composto da un corpo rigido (o una massa non puntiforme) attaccato a un punto di sospensione. La forza di gravità agisce sul centro di massa dell’oggetto, influenzando il suo moto.
• Oscillazione: La traiettoria del pendolo reale è generalmente un arco di circonferenza, ma l’oscillazione non è perfettamente armonica per tutte le ampiezze. Per piccole oscillazioni, tuttavia, può essere approssimato come un oscillatore armonico.

Periodo di Oscillazione

Il periodo di oscillazione T$T$ del pendolo reale può essere calcolato utilizzando una formula simile a quella del pendolo semplice:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{\text{eff}}}{g}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{\text{eff}}}{g}}$$

dove L_{\text{eff}}$L_{\text{eff}}$ è la lunghezza equivalente o lunghezza ridotta, che tiene conto della distribuzione della massa dell’oggetto. Questo significa che il periodo dipende dalla lunghezza effettiva del pendolo e dall’accelerazione di gravità g$g$.

Isocronismo

Il fenomeno dell’isocronismo, cioè la proprietà delle oscillazioni di avere la stessa durata per piccole ampiezze, è presente anche nel pendolo reale, ma con alcune limitazioni. Le oscillazioni rimangono isocrone solo se l’ampiezza è sufficientemente piccola.

Onde

Le onde sono perturbazioni che si propagano nel tempo e nello spazio, trasportando energia senza un associato spostamento della materia. Possono essere classificate in base a diversi criteri, come il tipo di mezzo in cui si propagano e la direzione del moto di oscillazione.

Tipi di Onde

1. Onde Meccaniche e Non Meccaniche

• Onde Meccaniche: Si propagano in mezzi materiali (es. onde sonore, onde su una corda). Richiedono un mezzo per muoversi e possono essere ulteriormente suddivise in:

  • Onde Longitudinali: Le oscillazioni avvengono nella stessa direzione della propagazione (es. onde sonore).
  • Onde Trasversali: Le oscillazioni avvengono perpendicolarmente alla direzione di propagazione (es. onde su una corda).

• Onde Non Meccaniche: Possono propagarsi anche nel vuoto (es. onde elettromagnetiche, onde gravitazionali).

2. Classificazione per Dimensione

• Onde Unidimensionali: Si propagano lungo una sola dimensione (es. oscillazione di una corda).
• Onde Bidimensionali: Si propagano su una superficie (es. onde circolari su acqua).
• Onde Tridimensionali: Si propagano in tutte le direzioni (es. onde sonore).

3. Caratteristiche Fisiche

Le onde possono essere descritte attraverso vari parametri:

• Ampiezza: Massima distanza dalla posizione di equilibrio.
• Lunghezza d’onda (\lambda$\lambda$): Distanza tra due creste consecutive.
• Periodo (T$T$): Tempo necessario per completare un’oscillazione.
• Frequenza (f$f$): Numero di oscillazioni al secondo, inversamente proporzionale al periodo (f = \frac{1}{T}$f = \frac{1}{T}$).
• Velocità di Propagazione (v$v$): Determinata dalla relazione v = \lambda f$v = \lambda f$.

Carica elettrica

La carica elettrica è una grandezza fisica fondamentale che determina le interazioni elettromagnetiche tra particelle e oggetti. Essa è responsabile di fenomeni come l’attrazione e la repulsione tra corpi carichi.

Definizione e Tipi di Carica

La carica elettrica si presenta in due forme:

• Carica Positiva: Associata ai protoni.
• Carica Negativa: Associata agli elettroni.

Le cariche dello stesso tipo si respingono, mentre quelle di segno opposto si attraggono. L’unità di misura della carica elettrica nel Sistema Internazionale è il coulomb, e la carica elementare, che rappresenta il valore della carica di un elettrone o di un protone, è pari a circa 1,602 \times 10^{-19} \, C$1,602 \times 10^{-19} \, C$.

Legge di Coulomb

La forza di interazione tra due cariche elettriche è descritta dalla legge di Coulomb, che stabilisce che:

• La forza F$F$ è direttamente proporzionale al prodotto delle magnitudini delle due cariche q_1$q_1$ e q_2$q_2$.
• È inversamente proporzionale al quadrato della distanza r$r$ tra le cariche.

Matematicamente, la legge si esprime come:

F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}

$$F = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$$

dove k$k$ è la costante di Coulomb, approssimativamente pari a 8,99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$8,99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.

Conservazione della Carica

Un principio fondamentale della fisica è la conservazione della carica elettrica, che afferma che la carica totale in un sistema isolato rimane costante. Questo significa che le cariche possono essere trasferite da un corpo all’altro, ma non possono essere create o distrutte.

Campo elettrico

Il campo elettrico è un concetto fondamentale in fisica che descrive la regione dello spazio in cui una carica elettrica esercita una forza su altre cariche. È stato introdotto da Michael Faraday e rappresenta una modifica dello spazio circostante causata dalla presenza di cariche elettriche.

Definizione e Caratteristiche

• Campo Elettrico: Si definisce come il rapporto tra la forza elettrica \vec{F}$\vec{F}$ che agisce su una carica di prova q$q$ e il valore di questa carica. Matematicamente, si esprime come:

\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}

$$\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q}$$

dove \vec{E}$\vec{E}$ è il vettore campo elettrico, misurato in newton per coulomb (N/C) o volt per metro (V/m).

• Indipendenza dalla Carica di Prova: Il campo elettrico è una proprietà intrinseca dello spazio e non dipende dalla carica di prova utilizzata per misurarlo. Questo significa che la forza percepita da una carica di prova varia proporzionalmente alla sua grandezza, ma il campo elettrico rimane costante in un dato punto.

Generazione del Campo Elettrico

Un campo elettrico è generato da:

• Cariche Puntiformi: La formula per calcolare l’intensità del campo elettrico generato da una carica puntiforme Q$Q$ a una distanza r$r$ è:

E = k \frac{Q}{r^2}

$$E = k \frac{Q}{r^2}$$

dove k$k$ è la costante di Coulomb (k \approx 8,99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$k \approx 8,99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$).

• Distribuzioni di Carica: Campi elettrici possono anche essere generati da distribuzioni di cariche, come piani o fili uniformemente caricati. Ad esempio, il campo elettrico generato da un piano uniformemente carico è dato da:

E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}

$$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$

dove \sigma$\sigma$ è la densità superficiale di carica e \epsilon_0$\epsilon_0$ è la costante dielettrica del vuoto.

Linee di Campo Elettrico

Le linee di campo sono uno strumento grafico utile per visualizzare il campo elettrico:

• Direzione: Le linee escono dalle cariche positive e entrano in quelle negative.
• Densità: La densità delle linee indica l’intensità del campo; più linee indicate in un’area significano un campo più forte.
• Non si intersecano: Le linee non possono incrociarsi, poiché ciò implicherebbe che il campo elettrico ha due direzioni in un punto.

Teorema di Gauss

Il teorema di Gauss fornisce un metodo per calcolare il flusso del campo elettrico attraverso superfici chiuse. Esso afferma che il flusso totale del campo elettrico attraverso una superficie chiusa è proporzionale alla carica totale racchiusa all’interno della superficie divisa per la costante dielettrica del vuoto:

\Phi_E = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0}

$$\Phi_E = \frac{Q_{\text{in}}}{\epsilon_0}$$

Questo teorema è fondamentale per derivare le leggi dell’elettromagnetismo e si applica a vari sistemi di cariche.

Potenziale elettrico

Il potenziale elettrico è una grandezza scalare fondamentale in elettromagnetismo che rappresenta l’energia potenziale per unità di carica in un campo elettrico. È definito come il lavoro necessario per spostare una carica di prova q$q$ da un punto di riferimento, solitamente a distanza infinita (dove il potenziale è considerato nullo), a un punto specifico P$P$ nel campo elettrico generato da una carica Q$Q$.

Definizione e Formula

Il potenziale elettrico V$V$ in un punto P$P$ a distanza r$r$ dalla carica Q$Q$ è dato dalla formula:

V(r) = k \frac{Q}{r}

$$V(r) = k \frac{Q}{r}$$

dove:

• k$k$ è la costante di Coulomb, approssimativamente pari a 8,99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$8,99 \times 10^9 \, N \cdot m^2/C^2$.
• r$r$ è la distanza dal punto in cui si misura il potenziale alla carica Q$Q$.

L’unità di misura del potenziale elettrico è il volt (V), che corrisponde a joule per coulomb (J/C).

Differenza di Potenziale

La differenza di potenziale (o tensione) tra due punti A$A$ e B$B$ in un campo elettrico è definita come il lavoro fatto dalla forza elettrica per spostare una carica di prova da A$A$ a B$B$, diviso per la carica stessa:

\Delta V = V_B - V_A = -\frac{L_{A \to B}}{q}

$$\Delta V = V_B - V_A = -\frac{L_{A \to B}}{q}$$

dove:

• L_{A \to B}$L_{A \to B}$ è il lavoro compiuto dalla forza elettrica.
• Le cariche positive si muovono spontaneamente da punti a potenziale maggiore verso punti a potenziale minore, mentre le cariche negative fanno il contrario.

Campo Elettrico e Potenziale Elettrico

Il potenziale elettrico è strettamente legato al campo elettrico. La relazione tra i due è data da:

E = -\frac{\Delta V}{\Delta s}

$$E = -\frac{\Delta V}{\Delta s}$$

dove E$E$ è l’intensità del campo elettrico e \Delta s$\Delta s$ è la distanza lungo la quale si misura la variazione di potenziale. Questo implica che un campo elettrico uniforme genera una differenza di potenziale proporzionale alla distanza.

Potenziale Elettrico in Sistemi di Cariche

Nel caso di più cariche, il potenziale elettrico totale in un punto è la somma algebrica dei potenziali generati da ciascuna carica:

V_{\text{totale}} = \sum_{i=1}^{n} V_i = k \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{r_i}

$$V_{\text{totale}} = \sum_{i=1}^{n} V_i = k \sum_{i=1}^{n} \frac{q_i}{r_i}$$

dove ogni termine della somma rappresenta il potenziale dovuto a una singola carica.

Campo magnetico

Il campo magnetico è una regione dello spazio in cui si manifesta un’influenza magnetica su cariche elettriche in movimento e materiali magnetici. È generato da correnti elettriche o da magneti permanenti e viene comunemente rappresentato con la lettera B. La sua unità di misura nel Sistema Internazionale è il tesla (T), mentre un sottomultiplo frequentemente usato è il gauss (G), dove 1 \, G = 10^{-4} \, T$1 \, G = 10^{-4} \, T$.

Caratteristiche del Campo Magnetico

Linee di Campo

Le linee di campo magnetico sono utilizzate per visualizzare il campo stesso e presentano alcune proprietà fondamentali:

• Origine e Chiusura: Le linee escono dal polo nord di un magnete e rientrano nel polo sud, formando anelli chiusi.
• Densità delle Linee: Maggiore è la densità delle linee in una regione, più forte è il campo magnetico in quel punto.
• Non si Intersecano: Le linee di campo non si incrociano mai, indicando che in ogni punto del campo c’è una sola direzione del campo magnetico.

Forza di Lorentz

Quando una particella carica si muove all’interno di un campo magnetico, subisce una forza chiamata forza di Lorentz, che agisce perpendicolarmente sia alla velocità della particella sia alla direzione del campo. La forza è descritta dalla formula:

\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})

$$\vec{F} = q (\vec{v} \times \vec{B})$$

dove:

• \vec{F}$\vec{F}$ è la forza,
• q$q$ è la carica,
• \vec{v}$\vec{v}$ è la velocità della particella,
• \vec{B}$\vec{B}$ è il campo magnetico.

Questa forza non compie lavoro sulle cariche, quindi non cambia l’energia cinetica della particella, ma ne modifica solo la direzione.

Generazione del Campo Magnetico

Un campo magnetico può essere generato da:

• Correnti Elettriche: La scoperta che una corrente elettrica genera un campo magnetico attorno a sé fu fatta da Hans Christian Ørsted nel 1820. La direzione del campo può essere determinata usando la regola della mano destra.
• Magneti Permanenti: I materiali ferromagnetici come il ferro possono mantenere una magnetizzazione permanente e generare un campo magnetico anche in assenza di corrente.

Relazione con il Campo Elettrico

Il campo magnetico è strettamente collegato al campo elettrico; insieme formano il campo elettromagnetico. Le equazioni di Maxwell descrivono come i campi elettrici e magnetici interagiscono e si influenzano reciprocamente. Ad esempio, un campo elettrico variabile nel tempo può generare un campo magnetico.

Legge di Amperè

La legge di Ampère è un principio fondamentale dell’elettromagnetismo che descrive la relazione tra le correnti elettriche e il campo magnetico che esse generano. Formulata da André-Marie Ampère nel 1826, questa legge stabilisce che l’integrale lungo una linea chiusa del campo magnetico è proporzionale alla somma delle correnti elettriche concatenate a quella linea.

Enunciato della Legge di Ampère

La legge di Ampère può essere espressa matematicamente come:

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{totale}}

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{totale}}$$

dove:

• \oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ rappresenta l’integrale del campo magnetico \vec{B}$\vec{B}$ lungo una curva chiusa,
• \mu_0$\mu_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto, pari a 4\pi \times 10^{-7} \, N/A^2$4\pi \times 10^{-7} \, N/A^2$,
• I_{\text{totale}}$I_{\text{totale}}$ è la somma algebrica delle correnti elettriche che attraversano la superficie delimitata dalla curva chiusa.

Interpretazione Fisica

• Forza tra Fili Conduttori: La legge di Ampère descrive anche l’interazione tra due fili conduttori percorsi da corrente. Se due fili sono paralleli e percorsi da correnti nella stessa direzione, si attraggono; se le correnti sono in direzioni opposte, si respingono. La forza per unità di lunghezza tra due fili paralleli è data da:

F = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{d}

$$F = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I_1 I_2}{d}$$

dove I_1$I_1$ e I_2$I_2$ sono le intensità delle correnti nei fili e d$d$ è la distanza tra i fili.

Estensione della Legge di Ampère

Con l’introduzione delle equazioni di Maxwell, la legge di Ampère è stata estesa per includere anche i campi elettrici variabili nel tempo. Questa estensione porta alla legge di Ampère-Maxwell, che include il concetto di corrente di spostamento:

\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_{\text{totale}} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt})

$$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_{\text{totale}} + \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt})$$

dove \epsilon_0$\epsilon_0$ è la permittività del vuoto e d\Phi_E/dt$d\Phi_E/dt$ rappresenta la variazione nel tempo del flusso del campo elettrico.

Legge di Biot-Savart

La legge di Biot-Savart è un principio fondamentale dell’elettromagnetismo che descrive il campo magnetico generato da una corrente elettrica. Formulata dai fisici francesi Jean-Baptiste Biot e Félix Savart, questa legge permette di calcolare il campo magnetico in un punto dello spazio a causa di un filo rettilineo percorso da corrente.

Enunciato della Legge di Biot-Savart

La legge di Biot-Savart afferma che il campo magnetico \vec{B}$\vec{B}$ prodotto in un punto P$P$ da un elemento infinitesimale di corrente d\vec{l}$d\vec{l}$ è direttamente proporzionale all’intensità della corrente I$I$ e inversamente proporzionale al quadrato della distanza r$r$ tra il punto e l’elemento di corrente. La formula può essere espressa come:

d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}

$$d\vec{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I \, d\vec{l} \times \hat{r}}{r^2}$$

dove:

• d\vec{B}$d\vec{B}$ è il contributo infinitesimale al campo magnetico,
• \mu_0$\mu_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto (4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$4\pi \times 10^{-7} \, T \cdot m/A$),
• d\vec{l}$d\vec{l}$ è il vettore che rappresenta l’elemento di corrente,
• \hat{r}$\hat{r}$ è il versore che punta dal segmento di corrente al punto P$P$,
• r$r$ è la distanza tra l’elemento di corrente e il punto in cui si calcola il campo.

Campo Magnetico di un Filo Rettilineo Infinito

Per un filo rettilineo infinito percorso da corrente, il campo magnetico a una distanza r$r$ dal filo è dato dalla formula:

B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}

$$B = \frac{\mu_0}{2\pi} \frac{I}{r}$$

Direzione e Verso del Campo Magnetico

La direzione del campo magnetico generato da un filo può essere determinata utilizzando la regola della mano destra:

• Posiziona il pollice della mano destra nella direzione della corrente.
• Le dita avvolgono il filo e indicano la direzione delle linee di campo magnetico, che formano cerchi concentrici attorno al filo.

Campo magnetico di un solenoide

Il campo magnetico di un solenoide è un concetto fondamentale in elettromagnetismo, utile per comprendere come una bobina di filo avvolto possa generare un campo magnetico uniforme quando è percorsa da corrente elettrica.

Definizione di Solenoide

Un solenoide è un dispositivo costituito da un filo conduttore avvolto a spirale in forma cilindrica. Quando una corrente elettrica scorre attraverso il filo, si genera un campo magnetico all’interno e attorno al solenoide.

Campo Magnetico Interno al Solenoide

Formula del Campo Magnetico

Il campo magnetico B$B$ all’interno di un solenoide lungo e stretto è dato dalla formula:

B = \mu_0 \frac{N}{l} I

$$B = \mu_0 \frac{N}{l} I$$

dove:

• B$B$ è l’intensità del campo magnetico (in tesla, T),
• \mu_0$\mu_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto, pari a 4\pi \times 10^{-7} \, N/A^2$4\pi \times 10^{-7} \, N/A^2$,
• N$N$ è il numero totale di spire del solenoide,
• l$l$ è la lunghezza del solenoide,
• I$I$ è l’intensità della corrente elettrica che attraversa il solenoide (in ampere, A) .

Proprietà del Campo Magnetico

1. Uniformità: All’interno di un solenoide lungo e stretto, il campo magnetico è uniforme e parallelo all’asse del solenoide. Questo significa che ha la stessa intensità in tutti i punti interni al solenoide.
2. Direzione: La direzione del campo magnetico può essere determinata usando la regola della mano destra: se le dita della mano destra seguono il verso della corrente, il pollice indicherà la direzione del campo magnetico.
3. Campo Esterno: Il campo magnetico all’esterno del solenoide è molto debole e può essere considerato trascurabile in un solenoide ideale.

Campo magnetico di un toroide

Il campo magnetico di un toroide è un argomento importante nell’elettromagnetismo, che descrive come un anello di filo conduttore avvolto a spirale genera un campo magnetico quando attraversato da corrente elettrica. Un toroide è essenzialmente un solenoide chiuso su se stesso, assumendo la forma di una ciambella.

Campo Magnetico all’Interno del Toroide

Formula del Campo Magnetico

Il campo magnetico B$B$ all’interno di un toroide può essere calcolato utilizzando la legge di Ampère. Per un toroide con N$N$ spire e corrente I$I$ che scorre attraverso di esso, il campo magnetico è dato dalla formula:

B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}

$$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}$$

dove:

• B$B$ è l’intensità del campo magnetico (in tesla, T),
• \mu_0$\mu_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto, pari a 4\pi \times 10^{-7} \, N/A^2$4\pi \times 10^{-7} \, N/A^2$,
• N$N$ è il numero totale di spire,
• I$I$ è l’intensità della corrente (in ampere, A),
• r$r$ è la distanza dal centro del toroide (raggio della circonferenza considerata).

Direzione del Campo Magnetico

La direzione del campo magnetico all’interno del toroide può essere determinata utilizzando la regola della mano destra:

• Se il pollice della mano destra indica la direzione della corrente, le dita avvolgono il toroide e indicano la direzione delle linee di campo magnetico.

Proprietà del Campo Magnetico

1. Uniformità: All’interno del toroide, il campo magnetico è tangente alle circonferenze concentriche che si formano attorno all’asse centrale del toro.
2. Campo Esterno: Il campo magnetico al di fuori del toroide è praticamente nullo. Questo è dovuto alla simmetria della configurazione e alla cancellazione delle linee di campo al di fuori dell’anello.

Legge di Faraday

La legge di Faraday è un principio fondamentale dell’elettromagnetismo che descrive il fenomeno dell’induzione elettromagnetica. Questa legge afferma che una variazione del flusso magnetico attraverso un circuito elettrico genera una forza elettromotrice (f.e.m.) indotta nel circuito stesso.

Enunciato della Legge di Faraday

La legge di Faraday può essere espressa in due forme: globale e locale.

Forma Globale

La forma globale della legge di Faraday stabilisce che la forza elettromotrice indotta in un circuito chiuso è proporzionale all’opposto della variazione del flusso magnetico attraverso la superficie delimitata dal circuito:

\mathscr{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}

$$\mathscr{E} = -\frac{d\Phi_B}{dt}$$

dove:

• \mathscr{E}$\mathscr{E}$ è la forza elettromotrice indotta,
• \Phi_B$\Phi_B$ è il flusso magnetico attraverso il circuito, definito come:

\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}

$$\Phi_B = \int \vec{B} \cdot d\vec{A}$$

con \vec{B}$\vec{B}$ che rappresenta il campo magnetico e d\vec{A}$d\vec{A}$ l’elemento di area della superficie.

Forma Locale (Differenziale)

La forma locale della legge di Faraday, che rappresenta una delle equazioni di Maxwell, può essere scritta come:

\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}

$$\nabla \times \vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$$

dove:

• \nabla \times \vec{E}$\nabla \times \vec{E}$ rappresenta il rotore del campo elettrico \vec{E}$\vec{E}$,
• -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$-\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}$ indica la variazione temporale del campo magnetico.

Interpretazione Fisica

La legge di Faraday implica che un cambiamento nel flusso magnetico può avvenire in vari modi, ad esempio:

• Movimento di un circuito attraverso un campo magnetico.
• Variazione del campo magnetico nel tempo mentre il circuito rimane statico.

Legge di Lenz

La legge di Lenz, che accompagna la legge di Faraday, specifica che la direzione della corrente indotta è tale da opporsi alla variazione del flusso magnetico che l’ha generata. Questo principio conserva l’energia e garantisce che le correnti indotte agiscano contro le cause che le producono.

Circuiti elettrici

Leggi di Ohm

Le leggi di Ohm sono principi fondamentali dell’elettricità che descrivono le relazioni tra tensione, corrente e resistenza in un circuito elettrico.

Prima Legge di Ohm

La prima legge di Ohm stabilisce che la corrente elettrica (I$I$) che attraversa un conduttore tra due punti è direttamente proporzionale alla differenza di potenziale (V$V$) ai suoi capi e inversamente proporzionale alla resistenza (R$R$) del conduttore. Matematicamente, si esprime come:

V = I \cdot R

$$V = I \cdot R$$

Dove:

• V$V$ è la tensione (in volt, V),
• I$I$ è l’intensità della corrente (in ampere, A),
• R$R$ è la resistenza (in ohm, Ω).

Questa relazione implica che se la tensione aumenta, la corrente aumenta proporzionalmente, a condizione che la resistenza rimanga costante.

Seconda Legge di Ohm

La seconda legge di Ohm descrive come la resistenza di un conduttore dipenda dalle sue caratteristiche fisiche. Essa afferma che la resistenza (R$R$) è direttamente proporzionale alla lunghezza (l$l$) del conduttore e inversamente proporzionale alla sua sezione trasversale (S$S$). La formula è:

R = \rho \frac{l}{S}

$$R = \rho \frac{l}{S}$$

Dove:

• R$R$ è la resistenza (in ohm, Ω),
• l$l$ è la lunghezza del conduttore (in metri, m),
• S$S$ è l’area della sezione trasversale (in metri quadrati, m²),
• \rho$\rho$ è la resistività del materiale (in ohm-metri, Ω·m), una costante che dipende dal materiale stesso.

Questa legge implica che aumentando la lunghezza di un conduttore o diminuendo la sua sezione, la resistenza aumenta.

Conduttività e Conduttanza

• Conduttività: È l’inverso della resistività e rappresenta quanto bene un materiale conduce corrente elettrica. Si esprime in siemens per metro (S/m).

• Conduttanza: È l’inverso della resistenza e misura quanto facilmente una corrente può fluire attraverso un conduttore. Si esprime in siemens (S).

Effetto Joule

Quando una corrente elettrica attraversa un conduttore, parte dell’energia elettrica viene dissipata sotto forma di calore a causa della resistenza. Questo fenomeno è noto come effetto Joule, ed è sfruttato in dispositivi come stufe e ferri da stiro.

Limiti della Legge di Ohm

La legge di Ohm non è universale e non si applica a tutti i materiali. È valida principalmente per i conduttori ohmici, dove la relazione tra tensione e corrente è lineare. In materiali non ohmici, come semiconduttori o materiali superconduttori, questa relazione può variare.

Leggi di Kirchhoff

Le leggi di Kirchhoff sono due principi fondamentali dell’elettrotecnica che descrivono il comportamento delle correnti e delle tensioni in un circuito elettrico. Queste leggi, formulate dal fisico tedesco Gustav Kirchhoff nel 1845, sono essenziali per l’analisi dei circuiti elettrici complessi.

Prima Legge di Kirchhoff (Legge dei Nodi)

La prima legge di Kirchhoff, nota anche come legge dei nodi, afferma che la somma algebrica delle correnti che entrano ed escono da un nodo è zero. In altre parole, la quantità di corrente che entra in un nodo deve essere uguale alla quantità di corrente che esce. Questo principio è una diretta conseguenza della conservazione della carica elettrica.

Matematicamente, si può esprimere come:

\sum I_{\text{entranti}} = \sum I_{\text{uscienti}}

$$\sum I_{\text{entranti}} = \sum I_{\text{uscienti}}$$

Oppure, considerando i segni:

\sum_{k=1}^N I_k = 0

$$\sum_{k=1}^N I_k = 0$$

Dove le correnti entranti sono considerate positive e quelle uscenti negative.

Esempio

Se in un nodo entrano tre correnti I_1$I_1$, I_2$I_2$ e I_3$I_3$ e ne esce una I_4$I_4$, si avrà:

I_1 + I_2 + I_3 - I_4 = 0

$$I_1 + I_2 + I_3 - I_4 = 0$$

Seconda Legge di Kirchhoff (Legge delle Maglie)

La seconda legge di Kirchhoff, conosciuta come legge delle maglie, riguarda i circuiti chiusi e afferma che la somma algebrica delle forze elettromotrici (f.e.m.) e delle cadute di tensione in una maglia chiusa è zero. Questo significa che l’energia totale guadagnata e persa in un circuito deve bilanciarsi.

Matematicamente, si esprime come:

\sum \mathcal{E} = \sum V

$$\sum \mathcal{E} = \sum V$$

Dove:

• \mathcal{E}$\mathcal{E}$ rappresenta le forze elettromotrici (generatori),
• V$V$ rappresenta le cadute di tensione sui resistori o altri componenti.

Esempio

Considerando una maglia con una f.e.m. \mathcal{E}$\mathcal{E}$ e due resistori R_1$R_1$ e R_2$R_2$, la legge delle maglie si scrive come:

\mathcal{E} - R_1 I - R_2 I = 0

$$\mathcal{E} - R_1 I - R_2 I = 0$$

dove $$I$$ è l’intensità della corrente che scorre attraverso i resistori.

Applicazioni delle Leggi di Kirchhoff

Le leggi di Kirchhoff sono utilizzate per analizzare circuiti elettrici complessi, permettendo di calcolare le correnti e le tensioni in vari punti del circuito. Sono fondamentali per progettare circuiti elettrici in elettronica e ingegneria elettrica.

Procedura per l’Analisi dei Circuiti

1. Identificare i nodi: Determinare i punti di intersezione tra i conduttori.
2. Applicare la Prima Legge di Kirchhoff: Scrivere le equazioni per i nodi.
3. Identificare le maglie: Determinare i percorsi chiusi nel circuito.
4. Applicare la Seconda Legge di Kirchhoff: Scrivere le equazioni per le maglie.
5. Risoluzione del sistema: Utilizzare metodi algebraici per risolvere il sistema di equazioni risultante.

Generatore di tensione

Un generatore di tensione è un dispositivo elettrico progettato per mantenere una differenza di potenziale elettrica costante tra i suoi terminali, indipendentemente dalla corrente che lo attraversa. Esso è fondamentale nei circuiti elettrici poiché fornisce l’energia necessaria per il funzionamento di vari dispositivi.

Tipi di Generatori di Tensione

Generatore Ideale di Tensione

Un generatore ideale di tensione è un modello teorico che fornisce una tensione costante senza alcuna resistenza interna. In questo caso, la tensione ai morsetti del generatore rimane invariata a prescindere dalla corrente che fluisce nel circuito. Questo modello è utile per semplificare l’analisi dei circuiti.

Generatore Reale di Tensione

Un generatore reale di tensione, al contrario, ha una resistenza interna che influisce sulla tensione fornita quando il generatore è sotto carico. La tensione effettiva ai morsetti diminuisce a causa della caduta di tensione attraverso la resistenza interna. La relazione tra la forza elettromotrice (f.e.m.) del generatore (E$E$), la resistenza interna (r$r$) e la resistenza esterna (R$R$) può essere espressa come:

V = E - I \cdot r

$$V = E - I \cdot r$$

dove:

• V$V$ è la tensione ai morsetti,
• I$I$ è la corrente che fluisce nel circuito.

Funzionamento del Generatore di Tensione

Quando un generatore di tensione è collegato a un circuito, esso crea un campo elettrico che spinge le cariche elettriche attraverso il circuito, generando così una corrente. La forza elettromotrice (f.e.m.) è definita come il lavoro necessario per spostare una carica da un punto a potenziale più basso a uno a potenziale più alto.

Generatore di corrente

Un generatore di corrente è un dispositivo elettrico progettato per mantenere una corrente elettrica costante tra i suoi terminali, indipendentemente dal carico resistivo a cui è collegato. A differenza di un generatore di tensione, che fornisce una tensione costante, un generatore di corrente si concentra sul mantenere un flusso di corrente stabile.

Tipi di Generatori di Corrente

Generatore Ideale di Corrente

Un generatore ideale di corrente è un modello teorico che mantiene una corrente costante tra i suoi poli, senza considerare la resistenza interna. La tensione ai capi del generatore può variare in base al carico, ma il valore della corrente rimane invariato. Questo modello è utile per semplificare l’analisi dei circuiti.

Generatore Reale di Corrente

Un generatore reale di corrente include una resistenza interna che influisce sulla tensione ai suoi morsetti. In questo caso, il generatore può essere rappresentato come un generatore ideale in parallelo con una resistenza interna. La relazione tra la corrente erogata e la tensione ai morsetti può essere espressa come:

V = I \cdot R + I \cdot r

$$V = I \cdot R + I \cdot r$$

dove:

• V$V$ è la tensione ai morsetti,
• I$I$ è la corrente fornita dal generatore,
• R$R$ è la resistenza del carico esterno,
• r$r$ è la resistenza interna del generatore.

Funzionamento del Generatore di Corrente

Quando un generatore di corrente è collegato a un circuito, esso fornisce una corrente costante, permettendo il funzionamento dei dispositivi elettrici collegati. La direzione della corrente è definita dalla convenzione: fluisce dal polo positivo al polo negativo.

Resistenza

La resistenza elettrica è una grandezza fisica fondamentale che misura la tendenza di un materiale a opporsi al passaggio della corrente elettrica. Essa è influenzata da vari fattori, tra cui la lunghezza e la sezione del conduttore, nonché dalle proprietà del materiale stesso.

Definizione e Formula della Resistenza

La resistenza R$R$ di un conduttore è definita dalla legge di Ohm, che stabilisce che la resistenza è il rapporto tra la tensione V$V$ applicata ai capi del conduttore e l’intensità della corrente I$I$ che lo attraversa:

R = \frac{V}{I}

$$R = \frac{V}{I}$$

Dove:

• R$R$ è la resistenza (in ohm, \Omega$\Omega$),
• V$V$ è la tensione (in volt, V),
• I$I$ è l’intensità della corrente (in ampere, A).

Fattori che Influenzano la Resistenza

1. Lunghezza del Conduttore

La resistenza di un filo conduttore è direttamente proporzionale alla sua lunghezza. Maggiore è la lunghezza del filo, maggiore sarà la resistenza:

R \propto l

$$R \propto l$$

2. Area della Sezione Trasversale

La resistenza è inversamente proporzionale all’area della sezione trasversale del conduttore. Un filo più spesso avrà una resistenza minore:

R \propto \frac{1}{S}

$$R \propto \frac{1}{S}$$

Dove S$S$ è l’area della sezione trasversale (in metri quadrati, m²).

3. Materiale del Conduttore

Ogni materiale ha una resistività specifica (\rho$\rho$), che misura quanto il materiale oppone resistenza al passaggio della corrente. La resistività è espressa in ohm-metri (\Omega \cdot m$\Omega \cdot m$) e varia con la temperatura. La formula per calcolare la resistenza di un conduttore in funzione della sua resistività, lunghezza e area della sezione trasversale è:

R = \rho \frac{l}{S}

$$R = \rho \frac{l}{S}$$

Dipendenza dalla Temperatura

La resistività di un materiale generalmente aumenta con l’aumento della temperatura. Questo comportamento può essere descritto attraverso il coefficiente di temperatura lineare (\alpha$\alpha$), che indica come varia la resistività al variare della temperatura:

R(T) = R_0 (1 + \alpha (T - T_0))

$$R(T) = R_0 (1 + \alpha (T - T_0))$$

Dove:

• R(T)$R(T)$ è la resistenza a una temperatura T$T$,
• R_0$R_0$ è la resistenza a una temperatura di riferimento T_0$T_0$.

Resistenze in Serie e in Parallelo

Resistenze in Serie

Quando le resistenze sono collegate in serie, la resistenza totale (R_{\text{eq}}$R_{\text{eq}}$) è data dalla somma delle singole resistenze:

R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + ... + R_n

$$R_{\text{eq}} = R_1 + R_2 + ... + R_n$$

Resistenze in Parallelo

Quando le resistenze sono collegate in parallelo, il reciproco della resistenza totale è dato dalla somma dei reciproci delle singole resistenze:

\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}

$$\frac{1}{R_{\text{eq}}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} + ... + \frac{1}{R_n}$$

Se tutte le resistenze hanno lo stesso valore (R$R$), allora:

R_{\text{eq}} = \frac{R}{n}

$$R_{\text{eq}} = \frac{R}{n}$$

dove n$n$ è il numero delle resistenze.

Condensatore

Un condensatore è un dispositivo elettrico utilizzato per immagazzinare energia elettrica sotto forma di carica. È composto da due conduttori, generalmente piastre metalliche, separati da un materiale isolante chiamato dielettrico. Quando un condensatore è collegato a una sorgente di tensione, una piastra accumula cariche positive mentre l’altra accumula cariche negative, creando un campo elettrico tra di esse.

Funzionamento del Condensatore

Carica e Scarica

• Carica: Quando il condensatore è connesso a una batteria o a un’altra fonte di tensione, gli elettroni fluiscono verso una delle piastre, accumulandosi e creando una carica negativa. L’altra piastra perde elettroni e diventa positiva. La quantità di carica immagazzinata è direttamente proporzionale alla tensione applicata.
• Scarica: Quando il condensatore è scollegato dalla sorgente e connesso a un circuito, può rilasciare rapidamente l’energia immagazzinata, fornendo corrente al circuito.

Capacità

La capacità (C$C$) di un condensatore è definita come la quantità di carica (Q$Q$) che può immagazzinare per unità di tensione (V$V$):

C = \frac{Q}{V}

$$C = \frac{Q}{V}$$

La capacità si misura in farad (F). Un farad è definito come la capacità di immagazzinare un coulomb di carica a una tensione di un volt.

Capacità equivalente

La capacità equivalente è un concetto fondamentale nell’analisi dei circuiti elettrici che coinvolgono condensatori. Essa rappresenta il valore di un singolo condensatore che può sostituire un insieme di condensatori collegati in serie o in parallelo, mantenendo le stesse caratteristiche elettriche del sistema originale.

Capacità Equivalente di Condensatori in Serie

Quando i condensatori sono collegati in serie, la carica (Q$Q$) su ciascun condensatore è la stessa, ma la tensione totale (\Delta V$\Delta V$) è la somma delle tensioni sui singoli condensatori. La formula per calcolare la capacità equivalente (C_{\text{eq}}$C_{\text{eq}}$) di condensatori in serie è:

\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots + \frac{1}{C_n}

$$\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \ldots + \frac{1}{C_n}$$

Dove:

• C_1, C_2, \ldots, C_n$C_1, C_2, \ldots, C_n$ sono le capacità dei singoli condensatori.

Esempio

Se si hanno due condensatori con capacità C_1$C_1$ e C_2$C_2$ collegati in serie, la capacità equivalente sarà:

\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}

$$\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2}$$

La capacità equivalente risultante sarà sempre inferiore a quella di ciascun condensatore individuale.

Capacità Equivalente di Condensatori in Parallelo

Quando i condensatori sono collegati in parallelo, la tensione (\Delta V$\Delta V$) su ciascun condensatore è la stessa, mentre la carica totale (Q_{\text{eq}}$Q_{\text{eq}}$) è la somma delle cariche sui singoli condensatori. La formula per calcolare la capacità equivalente di condensatori in parallelo è:

C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + \ldots + C_n

$$C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + \ldots + C_n$$

Esempio

Se si hanno tre condensatori con capacità C_1, C_2$C_1, C_2$ e C_3$C_3$ collegati in parallelo, la capacità equivalente sarà:

C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + C_3

$$C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 + C_3$$

In questo caso, la capacità equivalente sarà maggiore di quella di qualsiasi singolo condensatore.

Utilità della Capacità Equivalente

La capacità equivalente è utile per semplificare l’analisi dei circuiti elettrici. Permette di ridurre un circuito complesso a un singolo condensatore, facilitando il calcolo delle tensioni e delle correnti nel circuito stesso. Inoltre, consente di progettare circuiti con specifiche caratteristiche di immagazzinamento dell’energia.

Induttanza

L’induttanza è una proprietà fondamentale dei circuiti elettrici che descrive la capacità di un circuito di opporsi a variazioni di corrente. Essa è definita come il rapporto tra il flusso magnetico concatenato con un circuito e l’intensità della corrente che lo attraversa. L’induttanza è misurata in henry (H), un’unità che prende il nome dal fisico Joseph Henry.

Tipi di Induttanza

1. Autoinduttanza

L’autoinduttanza è la capacità di un circuito di generare una forza elettromotrice (f.e.m.) indotta in risposta a una variazione della corrente che scorre attraverso lo stesso circuito. È rappresentata dalla formula:

L = \frac{\Phi}{I}

$$L = \frac{\Phi}{I}$$

dove:

• L$L$ è l’induttanza,
• \Phi$\Phi$ è il flusso magnetico concatenato,
• I$I$ è l’intensità della corrente.

2. Mutua Induttanza

La mutua induttanza si riferisce a due circuiti distinti, dove la variazione della corrente in un circuito induce una f.e.m. nell’altro circuito. La formula per la mutua induttanza è simile a quella dell’autoinduttanza:

M = \frac{\Phi}{I}

$$M = \frac{\Phi}{I}$$

dove M$M$ rappresenta il coefficiente di mutua induzione.

Calcolo dell’Induttanza

Induttanza di un Solenoide

Per un solenoide lungo e stretto, l’induttanza può essere calcolata come:

L = \mu_0 \frac{N^2 S}{l}

$$L = \mu_0 \frac{N^2 S}{l}$$

dove:

• N$N$ è il numero di spire,
• S$S$ è l’area della sezione trasversale,
• l$l$ è la lunghezza del solenoide,
• \mu_0$\mu_0$ è la permeabilità magnetica del vuoto (4\pi \times 10^{-7} \, H/m$4\pi \times 10^{-7} \, H/m$).

Induttanza di un Toroide

Per un toroide, l’induttanza è data da:

L = \frac{\mu_0 N^2 S}{2\pi r}

$$L = \frac{\mu_0 N^2 S}{2\pi r}$$

dove:

• r$r$ è il raggio medio del toroide.

Comportamento dell’Induttore

Quando la corrente attraverso un induttore varia, si genera una tensione indotta che si oppone a questa variazione, secondo la legge di Lenz. Questo fenomeno è descritto dalla legge di Faraday dell’induzione elettromagnetica:

V_L = -L \frac{di}{dt}

$$V_L = -L \frac{di}{dt}$$

dove:

• V_L$V_L$ è la tensione indotta ai capi dell’induttore,
• \frac{di}{dt}$\frac{di}{dt}$ è la derivata della corrente rispetto al tempo.

Circuiti RC

I circuiti RC sono circuiti elettrici che contengono un resistore ® e un condensatore © collegati in serie o in parallelo. Questi circuiti sono fondamentali per comprendere il comportamento dei condensatori e delle resistenze in risposta a variazioni di tensione e corrente nel tempo.

Comportamento dei Circuiti RC

Circuito RC in Serie

In un circuito RC in serie, la resistenza e il condensatore sono collegati uno dopo l’altro. Quando viene applicata una tensione, il condensatore inizia a caricarsi attraverso il resistore. La corrente nel circuito diminuisce esponenzialmente man mano che il condensatore si carica.

Equazione della Carica

La tensione ai capi del condensatore (V_C$V_C$) e la corrente (I$I$) nel circuito possono essere descritte dalle seguenti equazioni:

1. Tensione ai capi del condensatore:
   V_C(t) = V(1 - e^{-t/RC})$V_C(t) = V(1 - e^{-t/RC})$
   dove:

   • V$V$ è la tensione della sorgente,
   • R$R$ è la resistenza (in ohm),
   • C$C$ è la capacità del condensatore (in farad),
   • t$t$ è il tempo (in secondi),
   • e$e$ è la base del logaritmo naturale.

2. Corrente nel circuito:
   I(t) = \frac{V}{R} e^{-t/RC}$I(t) = \frac{V}{R} e^{-t/RC}$
   Questa espressione mostra che la corrente diminuisce esponenzialmente nel tempo.

Costante di Tempo

La costante di tempo (\tau$\tau$) di un circuito RC è definita come il prodotto della resistenza e della capacità:

\tau = R \cdot C

$$\tau = R \cdot C$$

La costante di tempo rappresenta il tempo necessario affinché la tensione ai capi del condensatore raggiunga circa il 63% del valore massimo quando viene caricato. Dopo un tempo pari a 5\tau$5\tau$, il condensatore è considerato praticamente completamente carico (oltre il 99%).

Circuito RC in Parallelo

In un circuito RC in parallelo, il resistore e il condensatore sono collegati ai medesimi terminali della sorgente di tensione. In questo caso, quando la sorgente viene attivata, la corrente si divide tra il resistore e il condensatore.

Equazione della Scarica

Quando il condensatore si scarica attraverso il resistore, la tensione e la corrente possono essere descritte da:

1. Tensione ai capi del condensatore durante la scarica:
   V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$V_C(t) = V_0 e^{-t/RC}$
   dove V_0$V_0$ è la tensione iniziale ai capi del condensatore.

2. Corrente durante la scarica:
   I(t) = -\frac{V_0}{R} e^{-t/RC}$I(t) = -\frac{V_0}{R} e^{-t/RC}$
   La corrente è negativa poiché fluisce nella direzione opposta rispetto alla carica.

Circuiti LC

Un circuito LC è un circuito elettrico composto da un induttore (L) e un condensatore © collegati tra loro. Questi circuiti sono fondamentali per il funzionamento di molti dispositivi elettronici e sono noti per la loro capacità di oscillare a una frequenza di risonanza specifica.

Funzionamento di un Circuito LC

Oscillazioni Elettriche

Il circuito LC immagazzina energia alternando il trasferimento tra il campo elettrico del condensatore e il campo magnetico dell’induttore. Quando il condensatore è carico, l’energia è immagazzinata nel campo elettrico. Quando il condensatore si scarica, la corrente fluisce attraverso l’induttore, generando un campo magnetico. Questo campo magnetico, a sua volta, induce una corrente che ricarica il condensatore con polarità opposta. Questo processo continua in un ciclo oscillatorio.

Equazioni del Circuito LC

Le oscillazioni nel circuito possono essere descritte dalle seguenti equazioni:

1. Carica del Condensatore:

   q(t) = Q \cdot \cos(\omega t)

   $$q(t) = Q \cdot \cos(\omega t)$$

   dove:

   • q(t)$q(t)$ è la carica nel condensatore al tempo t$t$,
   • Q$Q$ è la carica massima,
   • \omega$\omega$ è la pulsazione dell’oscillazione.

2. Corrente nel Circuito:

   i(t) = -\omega Q \cdot \sin(\omega t)

   $$i(t) = -\omega Q \cdot \sin(\omega t)$$

   La corrente è massima quando la carica è zero e viceversa.

Frequenza di Risonanza

La frequenza di risonanza f_0$f_0$ del circuito LC è data da:

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

dove:

• L$L$ è l’induttanza (in henry),
• C$C$ è la capacità (in farad).

Questa frequenza rappresenta il punto in cui il circuito oscilla naturalmente, massimizzando l’energia scambiata tra il condensatore e l’induttore.