Riassunti analisi II

Riassunti analisi II

Riassunti analisi II

Riassunti analisi II

1. Funzioni di più variabili

1.1 Definizione

Le funzioni di più variabili sono funzioni che dipendono da due o più variabili indipendenti. Ad esempio, una funzione f(x, y)$f(x, y)$ è definita su un dominio in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$.

1.2 Limiti e Continuità

• Limite: Si studia il comportamento della funzione quando le variabili si avvicinano a un certo punto.
• Continuità: Una funzione è continua in un punto se il limite della funzione in quel punto è uguale al valore della funzione stessa.

1.3 Derivate Parziali

Le derivate parziali sono utilizzate per analizzare come una funzione cambia rispetto a una variabile mentre si tiene costante l’altra. Si denotano come:

• \frac{\partial f}{\partial x}$\frac{\partial f}{\partial x}$: derivata parziale rispetto a x$x$
• \frac{\partial f}{\partial y}$\frac{\partial f}{\partial y}$: derivata parziale rispetto a y$y$

Punti di Massimo, Minimo e Punti di Sella

Punti Critici

I punti critici di una funzione di due variabili si trovano calcolando le derivate parziali prime e ponendole uguali a zero:

f_x(x, y) = 0 \quad \text{e} \quad f_y(x, y) = 0

$$f_x(x, y) = 0 \quad \text{e} \quad f_y(x, y) = 0$$

Questi punti possono essere:

• Massimi locali: punti in cui la funzione assume un valore maggiore rispetto ai punti vicini.
• Minimi locali: punti in cui la funzione assume un valore minore rispetto ai punti vicini.
• Punti di sella: punti in cui la funzione non è né un massimo né un minimo, ma presenta una curvatura diversa nelle direzioni delle variabili.

Matrice Hessiana

Per determinare la natura dei punti critici, si utilizza la matrice hessiana H$H$, che è una matrice delle derivate seconde:

H = \begin{pmatrix}
f_{xx} & f_{xy} \\
f_{yx} & f_{yy}
\end{pmatrix}

$$H = \begin{pmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{pmatrix}$$

Dove:

• f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$
• f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$
• f_{xy} = f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$f_{xy} = f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$

Il determinante della matrice hessiana D$D$ è calcolato come:

D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2

$$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$$

Criteri di Test

1. Se D > 0$D > 0$ e f_{xx} > 0$f_{xx} > 0$: il punto è un minimo locale.
2. Se D > 0$D > 0$ e f_{xx} < 0$f_{xx} < 0$: il punto è un massimo locale.
3. Se D < 0$D < 0$: il punto è un punto di sella.
4. Se D = 0$D = 0$: il test è inconcludente e richiede ulteriori analisi.

Convessità e Concavità

Definizioni

• Una funzione è convessa se la matrice hessiana è semidefinita positiva in tutto il suo dominio.
• Una funzione è concava se la matrice hessiana è semidefinita negativa in tutto il suo dominio.

Condizioni per Convessità e Concavità

Per verificare la convessità o concavità:

1. Calcolare le derivate seconde.
2. Analizzare il segno del determinante della hessiana e delle derivate seconde.

2. Integrazione di funzioni di più variabili

2.1 Integrali doppi

L’integrale doppio estende il concetto di integrazione a funzioni di due variabili. Viene utilizzato per calcolare aree e volumi in uno spazio bidimensionale.

2.2 Cambiamento di variabili

Il cambiamento di variabili è spesso necessario per semplificare l’integrazione. La formula di cambio di variabile per gli integrali doppi è:

\iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D'} f(g(u,v), h(u,v)) \left| J \right| du \, dv

$$\iint_{D} f(x, y) \, dx \, dy = \iint_{D'} f(g(u,v), h(u,v)) \left| J \right| du \, dv$$

dove J$J$ è il determinante della matrice jacobiana.

3. Serie e convergenza

3.1 Serie numeriche

Una serie è la somma dei termini di una successione. La convergenza delle serie è fondamentale per determinare se la somma ha un valore finito.

3.2 Test di convergenza

Esistono diversi test per la convergenza delle serie, tra cui:

• Test del rapporto
• Test della radice
• Test di confronto

4. Applicazioni delle derivate parziali

4.1 Ottimizzazione

Le derivate parziali sono utilizzate per trovare i punti critici delle funzioni di più variabili, che possono essere massimi o minimi locali.

4.2 Equazioni differenziali parziali

Le derivate parziali sono fondamentali nello studio delle equazioni differenziali parziali, che modellano fenomeni fisici come la diffusione e l’onda.

2) Tipi di Equazioni Differenziali

Le equazioni differenziali sono un ramo fondamentale della matematica che studia le relazioni tra una funzione incognita e le sue derivate. Queste equazioni sono utilizzate per modellare una vasta gamma di fenomeni in fisica, ingegneria, biologia, economia e altre scienze.

Definizione

Un’equazione differenziale è un’equazione che lega una funzione y = f(x)$y = f(x)$ alle sue derivate. La forma generale di un’equazione differenziale può essere espressa come:

F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = 0

$$F(x, y, y', \ldots, y^{(n)}) = 0$$

dove y^{(k)}$y^{(k)}$ rappresenta la k-esima derivata della funzione y$y$ rispetto alla variabile indipendente x$x$.

1. Equazioni Differenziali Ordinarie (EDO)

Le EDO coinvolgono funzioni di una sola variabile e le loro derivate. Si classificano in base all’ordine, che è determinato dalla derivata di ordine più alto presente nell’equazione:

• Primo ordine: Contiene solo la prima derivata, come ad esempio:

  y' + p(x)y = q(x)

  $$y' + p(x)y = q(x)$$
• Secondo ordine: Contiene fino alla seconda derivata, come ad esempio:

  y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)

  $$y'' + p(x)y' + q(x)y = g(x)$$

2. Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali (EDP)

Queste equazioni coinvolgono funzioni di più variabili e le loro derivate parziali. Un esempio è:

\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

Classificazione

Le equazioni differenziali possono anche essere classificate come:

• Lineari: Se possono essere scritte nella forma lineare rispetto alla funzione incognita e alle sue derivate.
• Non lineari: Se non soddisfano la condizione di linearità.

Inoltre, si distinguono in:

• Omogenee: Se il termine noto è zero.
• Non omogenee: Se il termine noto non è zero.

Problema di Cauchy

Il problema di Cauchy consiste nel determinare una soluzione particolare di un’equazione differenziale fornendo condizioni iniziali specifiche. Questo approccio è essenziale per garantire l’unicità della soluzione in un dato intervallo.

Risoluzione di Equazioni Differenziali di Ordine 1

Un’equazione differenziale di ordine 1 ha la forma generale:

\frac{dy}{dx} = f(x, y)

$$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$

Metodi di Risoluzione

1. Separazione delle Variabili:

   • Se l’equazione può essere scritta come g(y) dy = h(x) dx$g(y) dy = h(x) dx$, si separano le variabili e si integrano entrambi i lati.
   • Esempio:

     \frac{dy}{y} = x^2 dx \quad \Rightarrow \quad \ln|y| = \frac{x^3}{3} + C

     $$\frac{dy}{y} = x^2 dx \quad \Rightarrow \quad \ln|y| = \frac{x^3}{3} + C$$

2. Equazioni Lineari:

   • Un’equazione della forma \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$.
   • Si utilizza un fattore integrante e^{\int P(x) dx}$e^{\int P(x) dx}$ per trasformare l’equazione in una forma integrabile.
   • Esempio:

     y' + 2y = x \quad \Rightarrow \quad e^{2x}(y' + 2y) = e^{2x}x

     $$y' + 2y = x \quad \Rightarrow \quad e^{2x}(y' + 2y) = e^{2x}x$$

3. Equazioni Ricordate:

   • Forme particolari come le equazioni esatte, dove M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0$.

Risoluzione di Equazioni Differenziali di Ordine 2

Un’equazione differenziale di ordine 2 ha la forma:

y'' = f(x, y, y')

$$y'' = f(x, y, y')$$

Tipi e Metodi di Risoluzione

1. Equazioni Lineari Omogenee:

   • Hanno la forma ay'' + by' + cy = 0$ay'' + by' + cy = 0$.
   • Si risolve l’equazione caratteristica associata az^2 + bz + c = 0$az^2 + bz + c = 0$.
   • Le soluzioni dipendono dal discriminante D = b^2 - 4ac$D = b^2 - 4ac$:
     • Due radici distinte (D > 0$D > 0$):

       y = c_1 e^{z_1 x} + c_2 e^{z_2 x}

       $$y = c_1 e^{z_1 x} + c_2 e^{z_2 x}$$
     • Radici coincidenti (D = 0$D = 0$):

       y = (c_1 + c_2 x)e^{z_1 x}

       $$y = (c_1 + c_2 x)e^{z_1 x}$$
     • Radici complesse (D < 0$D < 0$):

       y = e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))

       $$y = e^{\alpha x}(c_1 \cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x))$$
   • Esempio: Per l’equazione y'' - 3y' - 4y = 0$y'' - 3y' - 4y = 0$, si ottiene l’equazione caratteristica z^2 - 3z - 4 = 0$z^2 - 3z - 4 = 0$, che ha soluzioni reali distinte.

2. Equazioni Non Omogenee:

   • Hanno la forma ay'' + by' + cy = g(x)$ay'' + by' + cy = g(x)$.
   • Si risolve prima l’equazione omogenea associata.
   • Poi si cerca un’integrale particolare usando metodi come il metodo dell’undetermined coefficients o il metodo di variazione delle costanti.
   • La soluzione generale è data dalla somma della soluzione omogenea e dell’integrale particolare.

Esempio Pratico

Consideriamo l’equazione differenziale non omogenea:

y'' + y = x

$$y'' + y = x$$

1. Risolviamo prima l’omogenea y'' + y = 0$y'' + y = 0$:

   • L’equazione caratteristica è z^2 + 1 = 0$z^2 + 1 = 0$, con soluzioni complesse: z = i, -i$z = i, -i$.
   • Soluzione generale:

     y_h = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)

     $$y_h = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x)$$

2. Troviamo un’integrale particolare, ad esempio usando il metodo dei coefficienti indeterminati, assumendo una forma come Ax + B$Ax + B$.

3. La soluzione generale sarà quindi la somma delle due soluzioni.

5) Curve piane

Le curve piane sono un concetto fondamentale in geometria e analisi, e si riferiscono a traiettorie o insiemi di punti che giacciono in un piano bidimensionale. Ecco una panoramica dettagliata su questo argomento.

Definizione

Una curva piana è definita come un’applicazione continua:

\phi: I \to \mathbb{R}^2

$$\phi: I \to \mathbb{R}^2$$

dove I$I$ è un intervallo dei numeri reali. Per ogni t \in I$t \in I$, la funzione \phi(t)$\phi(t)$ restituisce un punto con coordinate (x(t), y(t))$(x(t), y(t))$ nel piano. Le equazioni x = x(t)$x = x(t)$ e y = y(t)$y = y(t)$ sono dette equazioni parametriche della curva.

Tipi di Curve Piane

1. Curve Semplici e Chiuse

• Una curva semplice è una curva che non si interseca mai con se stessa, ovvero per ogni coppia di punti t_1 \neq t_2$t_1 \neq t_2$, si ha \phi(t_1) \neq \phi(t_2)$\phi(t_1) \neq \phi(t_2)$.
• Una curva chiusa è una curva per cui il punto iniziale coincide con il punto finale, ossia \phi(a) = \phi(b)$\phi(a) = \phi(b)$.

2. Curve Regolari

Una curva è detta regolare se la sua derivata rispetto al parametro non è mai zero, cioè:

\phi'(t) \neq 0

$$\phi'(t) \neq 0$$

per ogni t \in I$t \in I$. Questo implica che la curva ha una tangente ben definita in ogni punto.

Rappresentazione delle Curve Piane

Le curve piane possono essere rappresentate in vari modi:

1. Equazioni Cartesiane

Una curva può essere descritta da un’equazione del tipo:

• Implicita: f(x, y) = 0$f(x, y) = 0$
• Esplicita: y = f(x)$y = f(x)$

2. Equazioni Parametriche

Le curve possono anche essere espresse tramite parametri, come nei seguenti esempi:

• Retta:

  x = x_0 + lt, \quad y = y_0 + mt, \quad t \in I

  $$x = x_0 + lt, \quad y = y_0 + mt, \quad t \in I$$
• Circonferenza:

  x = R\cos(t), \quad y = R\sin(t), \quad t \in [0, 2\pi]

  $$x = R\cos(t), \quad y = R\sin(t), \quad t \in [0, 2\pi]$$

3. Coordinate Polari

In coordinate polari, una curva può essere espressa come:

r = r(\theta)

$$r = r(\theta)$$

dove le coordinate cartesiane sono date da:

x = r(\theta)\cos(\theta), \quad y = r(\theta)\sin(\theta)

$$x = r(\theta)\cos(\theta), \quad y = r(\theta)\sin(\theta)$$

Esempi di Curve Piane

• Circonferenza: La circonferenza di raggio R$R$ centrata nell’origine è descritta dalle equazioni parametriche:

x = R\cos(t), \quad y = R\sin(t)

$$x = R\cos(t), \quad y = R\sin(t)$$

• Ellisse: Un’ellisse con semiassi a$a$ e b$b$:

x = a\cos(t), \quad y = b\sin(t)

$$x = a\cos(t), \quad y = b\sin(t)$$

per t \in [0, 2\pi]$t \in [0, 2\pi]$.

Curvatura delle Curve Piane

La curvatura di una curva in un punto misura quanto la curva devii da una linea retta in quel punto. È definita come:

\kappa = \frac{1}{R}

$$\kappa = \frac{1}{R}$$

dove R$R$ è il raggio di curvatura della curva in quel punto.

Lunghezza di una Curva Piana

La lunghezza di una curva piana può essere calcolata utilizzando le sue equazioni parametriche. Sia data una curva parametrizzata da:

\phi(t) = (x(t), y(t)), \quad t \in [a, b]

$$\phi(t) = (x(t), y(t)), \quad t \in [a, b]$$

La lunghezza dell’arco di curva tra i punti corrispondenti a t = a$t = a$ e t = b$t = b$ è data dall’integrale:

L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt

$$L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$$

Questo formula deriva dall’applicazione del teorema di Pitagora a segmenti infinitesimali della curva. La quantità sotto la radice rappresenta la norma del vettore tangente alla curva in ogni punto, che misura l’elemento di lunghezza infinitesimale.

Esempio

Consideriamo la circonferenza di raggio R$R$ parametrizzata da:

x(t) = R \cos(t), \quad y(t) = R \sin(t), \quad t \in [0, 2\pi]

$$x(t) = R \cos(t), \quad y(t) = R \sin(t), \quad t \in [0, 2\pi]$$

La lunghezza dell’arco è:

L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-R\sin(t))^2 + (R\cos(t))^2} \, dt = \int_0^{2\pi} R \, dt = 2\pi R

$$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{(-R\sin(t))^2 + (R\cos(t))^2} \, dt = \int_0^{2\pi} R \, dt = 2\pi R$$

Velocità e Accelerazione

Quando consideriamo un punto che si muove lungo una curva piana, possiamo definire la sua velocità e accelerazione.

Velocità

La velocità di un punto che si muove lungo la curva è data dalla derivata della posizione rispetto al tempo:

v(t) = \frac{d\phi}{dt} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)

$$v(t) = \frac{d\phi}{dt} = \left( \frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt} \right)$$

La norma della velocità è:

|v(t)| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}

$$|v(t)| = \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2}$$

Questa misura quanto velocemente il punto si sta muovendo lungo la curva.

Accelerazione

L’accelerazione è la derivata della velocità rispetto al tempo:

a(t) = \frac{dv}{dt} = \left( \frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2} \right)

$$a(t) = \frac{dv}{dt} = \left( \frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2} \right)$$

Analogamente alla velocità, anche l’accelerazione ha una norma che può essere calcolata come:

|a(t)| = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}

$$|a(t)| = \sqrt{\left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + \left(\frac{d^2y}{dt^2}\right)^2}$$

6) Serie di Fourier

Cos’è la Serie di Fourier?

La serie di Fourier permette di esprimere una funzione periodica f(x)$f(x)$ con periodo T$T$ come una combinazione lineare di funzioni sinusoidali. La forma generale della serie di Fourier è data da:

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T} x\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T} x\right) \right)

$$f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos\left(\frac{2\pi n}{T} x\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n}{T} x\right) \right)$$

dove:

• a_0$a_0$ è il termine costante (media della funzione su un periodo).
• a_n$a_n$ e b_n$b_n$ sono i coefficienti di Fourier, che determinano l’ampiezza delle componenti sinusoidali.

Calcolo dei Coefficienti di Fourier

I coefficienti a_0$a_0$, a_n$a_n$, e b_n$b_n$ sono calcolati tramite le seguenti formule:

1. Coefficiente costante:

   a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) \, dx

   $$a_0 = \frac{1}{T} \int_0^T f(x) \, dx$$

2. Coefficienti per il coseno:

   a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos\left(\frac{2\pi n}{T} x\right) \, dx

   $$a_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \cos\left(\frac{2\pi n}{T} x\right) \, dx$$

3. Coefficienti per il seno:

   b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin\left(\frac{2\pi n}{T} x\right) \, dx

   $$b_n = \frac{2}{T} \int_0^T f(x) \sin\left(\frac{2\pi n}{T} x\right) \, dx$$

Questi coefficienti dipendono dai valori della funzione nell’intervallo di lunghezza T$T$.

Convergenza della Serie di Fourier

La serie di Fourier converge alla funzione originale nei punti in cui la funzione è continua. Tuttavia, nei punti di discontinuità, la serie converge al valore medio tra i limiti destro e sinistro. Questo comportamento è descritto dal teorema di Dirichlet, che stabilisce alcune condizioni sufficienti per la convergenza della serie.