Riassunti analisi I

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Definizione di Funzione

Una funzione è una relazione tra due insiemi, chiamati dominio e codominio, in cui a ogni elemento del dominio è associato esattamente un elemento del codominio. Si può scrivere una funzione come:

f: A \to B

$$f: A \to B$$

dove:

• A$A$ è l’insieme di partenza (dominio),
• B$B$ è l’insieme di arrivo (codominio),
• f(x)$f(x)$ è l’immagine di x$x$ sotto la funzione f$f$.

Notazione

Una funzione può essere rappresentata in vari modi:

• Espressione algebrica: ad esempio, f(x) = 2x + 3$f(x) = 2x + 3$
• Grafico: una rappresentazione visiva della funzione nel piano cartesiano.
• Tabella: un elenco di coppie di valori che mostrano come gli input sono associati agli output.

Tipi di Funzioni

1. Funzioni Lineari: Hanno la forma f(x) = mx + q$f(x) = mx + q$, dove m$m$ è il coefficiente angolare e q$q$ è l’intercetta. Il grafico è una retta.

2. Funzioni Quadratiche: Hanno la forma f(x) = ax^2 + bx + c$f(x) = ax^2 + bx + c$. Il grafico è una parabola.

3. Funzioni Polinomiali: Sono funzioni della forma f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0$, dove gli a_i$a_i$ sono coefficienti e n è un intero non negativo.

4. Funzioni Goniometriche: Comprendono funzioni come seno, coseno e tangente, utilizzate per descrivere fenomeni periodici.

5. Funzioni Esponenziali: Hanno la forma f(x) = a^x$f(x) = a^x$, dove a$a$ è una costante positiva. Queste funzioni crescono rapidamente.

6. Funzioni Logaritmiche: Sono l’inverso delle funzioni esponenziali e hanno la forma f(x) = \log_a(x)$f(x) = \log_a(x)$.

7. Funzioni Razionali: Sono il quoziente di due polinomi, ad esempio, f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$f(x) = \frac{p(x)}{q(x)}$ dove q(x) \neq 0$q(x) \neq 0$.

8. Funzioni Complesse: Funzioni che possono avere variabili complesse come argomenti.

Proprietà delle Funzioni

1. Dominio e Codominio:

   • Il dominio è l’insieme di tutti i valori di input per cui la funzione è definita.
   • Il codominio è l’insieme dei possibili valori di output.

2. Continuità: Una funzione è continua se non ha interruzioni nel suo grafico. Formalmente, una funzione è continua in un punto se il limite della funzione in quel punto è uguale al valore della funzione stessa.

3. Monotonicità:

   • Una funzione è crescente se per ogni coppia di punti nel suo dominio, se x_1 < x_2$x_1 < x_2$ allora f(x_1) < f(x_2)$f(x_1) < f(x_2)$.
   • È decrescente se per ogni coppia di punti nel suo dominio, se x_1 < x_2$x_1 < x_2$ allora f(x_1) > f(x_2)$f(x_1) > f(x_2)$.

4. Iniettività, Suriettività e Biiettività:

   • Una funzione è iniettiva se valori distinti nel dominio producono valori distinti nel codominio.
   • È suriettiva se ogni elemento del codominio ha almeno un elemento del dominio che gli corrisponde.
   • È biiettiva se è sia iniettiva che suriettiva.

5. Simmetria:

   • Una funzione è pari se soddisfa la condizione f(-x) = f(x)$f(-x) = f(x)$.
   • È dispari se soddisfa f(-x) = -f(x)$f(-x) = -f(x)$.

Definizione di Limite

Il limite di una funzione f(x)$f(x)$ quando x$x$ si avvicina a un valore c$c$ è denotato come:

\lim_{x \to c} f(x) = L

$$\lim_{x \to c} f(x) = L$$

Questo significa che, avvicinandosi al valore c$c$, i valori della funzione f(x)$f(x)$ si avvicinano al numero L$L$. È importante notare che il limite può esistere anche se la funzione non è definita in c$c$.

Limiti Laterali

I limiti possono essere considerati anche da un lato:

• Limite sinistro:

  \lim_{x \to c^-} f(x) = L

  $$\lim_{x \to c^-} f(x) = L$$

  indica il comportamento della funzione quando x$x$ si avvicina a c$c$ da sinistra.

• Limite destro:

  \lim_{x \to c^+} f(x) = L

  $$\lim_{x \to c^+} f(x) = L$$

  indica il comportamento della funzione quando x$x$ si avvicina a c$c$ da destra.

Un limite esiste se il limite sinistro e destro coincidono:

\lim_{x \to c} f(x) = L \quad \text{se e solo se} \quad \lim_{x \to c^-} f(x) = L \quad \text{e} \quad \lim_{x \to c^+} f(x) = L

$$\lim_{x \to c} f(x) = L \quad \text{se e solo se} \quad \lim_{x \to c^-} f(x) = L \quad \text{e} \quad \lim_{x \to c^+} f(x) = L$$

Limiti Infiniti

I limiti possono anche coinvolgere valori infiniti. Ad esempio:

• Se la funzione cresce senza limite quando x$x$ si avvicina a c$c$:

\lim_{x \to c} f(x) = +\infty

$$\lim_{x \to c} f(x) = +\infty$$

• Se la funzione decresce senza limite:

\lim_{x \to c} f(x) = -\infty

$$\lim_{x \to c} f(x) = -\infty$$

Limiti all’Infinito

Si può anche considerare il comportamento di una funzione quando x$x$ tende all’infinito:

\lim_{x \to +\infty} f(x)

$$\lim_{x \to +\infty} f(x)$$

Questo descrive il comportamento della funzione per valori molto grandi di x$x$.

Proprietà dei Limiti

1. Limite della Somma:
   Se i limiti di due funzioni esistono, allora:

   \lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)

   $$\lim_{x \to c} [f(x) + g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) + \lim_{x \to c} g(x)$$

2. Limite del Prodotto:
   Se i limiti di due funzioni esistono, allora:

   \lim_{x \to c} [f(x) g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)

   $$\lim_{x \to c} [f(x) g(x)] = \lim_{x \to c} f(x) \cdot \lim_{x \to c} g(x)$$

3. Limite del Quoziente:
   Se i limiti di due funzioni esistono e il limite del denominatore non è zero, allora:

   \lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}

   $$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to c} f(x)}{\lim_{x \to c} g(x)}$$

4. Limite di una Costante:
   Il limite di una costante è la costante stessa:

   \lim_{x \to c} k = k

   $$\lim_{x \to c} k = k$$

5. Limite di una Funzione Identità:
   Il limite della variabile è il valore stesso:

   \lim_{x \to c} x = c

   $$\lim_{x \to c} x = c$$

Derivate

Le derivate sono uno strumento fondamentale in analisi matematica, utilizzato per studiare il comportamento delle funzioni. Esse forniscono informazioni cruciali sulla variazione delle grandezze e hanno molteplici applicazioni in vari campi.

Significato Geometrico della Derivata

La derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto. Formalmente, se f$f$ è una funzione e x_0$x_0$ è un punto nel suo dominio, la derivata f'(x_0)$f'(x_0)$ è data da:

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}

$$f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Questa formula esprime il rapporto incrementale della funzione, che misura come varia il valore di f$f$ quando x$x$ cambia di una piccola quantità h$h$.

Applicazioni delle Derivate

1. Tangenti e Normali: La derivata permette di calcolare l’equazione della retta tangente a una curva in un dato punto. Se conosciamo il punto P_0(x_0, y_0)$P_0(x_0, y_0)$, l’equazione della tangente è:

   y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)

   $$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0)$$

2. Ottimizzazione: Le derivate sono utilizzate per trovare i punti di massimo e minimo di una funzione. Questo è utile in economia, ingegneria e altre discipline per ottimizzare risorse o costi.

3. Studio del Comportamento delle Funzioni:

   • Crescita e Decrescita: Se f'(x) > 0$f'(x) > 0$, la funzione è crescente; se f'(x) < 0$f'(x) < 0$, è decrescente.
   • Punti Critici: I punti dove f'(x) = 0$f'(x) = 0$ possono essere massimi, minimi o punti di flesso.

4. Applicazioni in Fisica: Le derivate sono fondamentali per descrivere fenomeni fisici, come la velocità (derivata della posizione rispetto al tempo) e l’accelerazione (derivata della velocità). Inoltre, si applicano a concetti come la forza elettromotrice nei circuiti elettrici.

5. Modellizzazione Matematica: Le derivate aiutano a modellare situazioni reali, come la crescita delle popolazioni o il cambiamento delle temperature nel tempo.

Esempi Pratici

• Esempio di Ottimizzazione: Se una funzione rappresenta il profitto in relazione alla quantità prodotta, calcolando la derivata si possono trovare i livelli di produzione che massimizzano il profitto.

• Equazione della Tangente: Per la funzione f(x) = x^2$f(x) = x^2$ nel punto x_0 = 1$x_0 = 1$:

  1. Calcoliamo la derivata: f'(x) = 2x$f'(x) = 2x$.
  2. In x_0 = 1$x_0 = 1$, abbiamo f'(1) = 2(1) = 2$f'(1) = 2(1) = 2$.
  3. L’equazione della tangente è:

     y - 1 = 2(x - 1)

     $$y - 1 = 2(x - 1)$$
     che semplifica a y = 2x - 1$y = 2x - 1$.

Regole di Derivazione

1. Derivata di una Costante:
   Se y = k$y = k$ (dove k$k$ è una costante), allora:

   y' = 0

   $$y' = 0$$

2. Derivata di una Potenza:
   Se y = x^n$y = x^n$ (dove n$n$ è un numero reale), allora:

   y' = n x^{n-1}

   $$y' = n x^{n-1}$$

3. Derivata della Somma:
   Se y = f(x) + g(x)$y = f(x) + g(x)$, allora:

   y' = f'(x) + g'(x)

   $$y' = f'(x) + g'(x)$$

4. Derivata della Differenza:
   Se y = f(x) - g(x)$y = f(x) - g(x)$, allora:

   y' = f'(x) - g'(x)

   $$y' = f'(x) - g'(x)$$

5. Derivata del Prodotto (Regola di Leibniz):
   Se y = f(x) \cdot g(x)$y = f(x) \cdot g(x)$, allora:

   y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)

   $$y' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$$

6. Derivata del Quoziente:
   Se y = \frac{f(x)}{g(x)}$y = \frac{f(x)}{g(x)}$ (con g(x) \neq 0$g(x) \neq 0$), allora:

   y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

   $$y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

7. Derivata di una Funzione Composta (Regola della Catena):
   Se y = f(g(x))$y = f(g(x))$, allora:

   y' = f'(g(x))g'(x)

   $$y' = f'(g(x))g'(x)$$

Derivate di Funzioni Fondamentali

• Funzioni Goniometriche:

  • y = \sin x \Rightarrow y' = \cos x 

    $$y = \sin x \Rightarrow y' = \cos x$$

  • y = \cos x \Rightarrow y' = -\sin x 

    $$y = \cos x \Rightarrow y' = -\sin x$$

  • y = \tan x \Rightarrow y' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x 

    $$y = \tan x \Rightarrow y' = \sec^2 x = 1 + \tan^2 x$$

• Funzioni Esponenziali:

  • y = a^x \Rightarrow y' = a^x \ln a 

    $$y = a^x \Rightarrow y' = a^x \ln a$$

  • y = e^x \Rightarrow y' = e^x 

    $$y = e^x \Rightarrow y' = e^x$$

• Funzioni Logaritmiche:

  • y = \ln x \Rightarrow y' = \frac{1}{x} 

    $$y = \ln x \Rightarrow y' = \frac{1}{x}$$

  • y = \log_a x \Rightarrow y' = \frac{1}{x\ln a} 

    $$y = \log_a x \Rightarrow y' = \frac{1}{x\ln a}$$

• Funzioni Valore Assoluto:

  • y = |x|, x > 0: y' = 1; x < 0: y' = -1; x=0:$y = |x|, x > 0: y' = 1; x < 0: y' = -1; x=0:$ non definita

Integrazione e i suoi Fondamenti

L’integrazione è un altro concetto fondamentale in Analisi I, complementare alla derivazione. Mentre la derivata misura il tasso di cambiamento di una funzione, l’integrale rappresenta l’area sotto la curva di una funzione. L’integrazione ha numerose applicazioni in vari campi, dalla fisica all’economia.

Tipi di Integrali

1. Integrale Indefinito: Rappresenta una famiglia di funzioni primitive. Si scrive come:

   \int f(x) \, dx = F(x) + C

   $$\int f(x) \, dx = F(x) + C$$

   dove F(x)$F(x)$ è una funzione tale che F'(x) = f(x)$F'(x) = f(x)$ e C$C$ è una costante arbitraria.

2. Integrale Definito: Calcola l’area sotto la curva di f(x)$f(x)$ tra due punti a$a$ e b$b$. Si scrive come:

   \int_a^b f(x) \, dx

   $$\int_a^b f(x) \, dx$$

   Questo valore rappresenta l’area netta tra il grafico della funzione e l’asse delle x, da x = a$x = a$ a x = b$x = b$.

Teorema Fondamentale del Calcolo

Il Teorema Fondamentale del Calcolo stabilisce un legame tra derivazione e integrazione. Esso afferma che:

1. Se F$F$ è una funzione continua su [a, b]$[a, b]$ e derivabile su (a, b)$(a, b)$, allora:

   \int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

   $$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$
   dove f(x) = F'(x)$f(x) = F'(x)$.

Regole di Integrazione

1. Regola della Somma:

   \int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx

   $$\int (f(x) + g(x)) \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$$

2. Regola del Prodotto per Costanti:

   \int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx

   $$\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$$

   dove k$k$ è una costante.

3. Integrazione per Parti: Utilizzata per integrare il prodotto di due funzioni:

   \int u \, dv = uv - \int v \, du

   $$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

   dove si scelgono opportunamente le funzioni u$u$ e dv$dv$.

Esempi di Integrazione

• Integrale Indefinito:
  Calcolare

  \int x^2 \, dx

  $$\int x^2 \, dx$$

  Risposta:

  \frac{x^3}{3} + C

  $$\frac{x^3}{3} + C$$

• Integrale Definito:
  Calcolare

  \int_1^3 (2x + 1) \, dx

  $$\int_1^3 (2x + 1) \, dx$$

  Risposta:

  1. Troviamo la primitiva:

     F(x) = x^2 + x

     $$F(x) = x^2 + x$$
  2. Calcoliamo:

     F(3) - F(1) = (3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10

     $$F(3) - F(1) = (3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 + 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10$$

Proprietà degli Integrali

1. Linearità

L’integrale è un operatore lineare. Se f(x)$f(x)$ e g(x)$g(x)$ sono funzioni integrabili e \alpha$\alpha$ e \beta$\beta$ sono costanti, allora:

\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx

$$\int_a^b [\alpha f(x) + \beta g(x)] \, dx = \alpha \int_a^b f(x) \, dx + \beta \int_a^b g(x) \, dx$$

Questa proprietà consente di separare l’integrale di una combinazione lineare di funzioni nei singoli integrali.

2. Additività

Se f(x)$f(x)$ è continua su un intervallo chiuso e limitato, allora l’integrale su un intervallo può essere suddiviso in integrali su sottointervalli:

\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx

$$\int_a^c f(x) \, dx = \int_a^b f(x) \, dx + \int_b^c f(x) \, dx$$

Questa proprietà è utile per calcolare l’integrale su intervalli più complessi.

3. Valore Assoluto

Se f(x)$f(x)$ è integrabile su un intervallo [a, b]$[a, b]$, allora:

\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx

$$\left| \int_a^b f(x) \, dx \right| \leq \int_a^b |f(x)| \, dx$$

Questa proprietà indica che l’integrale del valore assoluto di una funzione è sempre maggiore o uguale all’assoluto dell’integrale della funzione stessa.

4. Monotonia

Se f(x) \leq g(x)$f(x) \leq g(x)$ per ogni x \in [a, b]$x \in [a, b]$, allora:

\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx

$$\int_a^b f(x) \, dx \leq \int_a^b g(x) \, dx$$

Questa proprietà implica che se una funzione è sempre minore o uguale a un’altra funzione su un intervallo, il suo integrale sarà anch’esso minore o uguale.

5. Teorema della Media

Se f(x)$f(x)$ è continua su [a, b]$[a, b]$, allora esiste almeno un punto c \in [a, b]$c \in [a, b]$ tale che:

f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx

$$f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx$$

Questo teorema afferma che esiste un valore medio della funzione nell’intervallo considerato.

6. Integrali Impropri

Un integrale è definito improprio se uno degli estremi di integrazione è infinito o se la funzione non è definita in uno o più punti nell’intervallo. In tali casi, l’integrale viene calcolato come limite:

\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx

$$\int_a^\infty f(x) \, dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^b f(x) \, dx$$

Regole di Integrazione

1. Regola della Somma

Se f(x)$f(x)$ e g(x)$g(x)$ sono funzioni integrabili, allora:

\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx

$$\int [f(x) + g(x)] \, dx = \int f(x) \, dx + \int g(x) \, dx$$

2. Regola della Costante

Se k$k$ è una costante, allora:

\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx

$$\int k f(x) \, dx = k \int f(x) \, dx$$

3. Regola del Prodotto

Per due funzioni f(x)$f(x)$ e g(x)$g(x)$:

\int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x) \, dx

$$\int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int g(x) f'(x) \, dx$$

Questa è nota come integrazione per parti.

4. Integrazione per Sostituzione

Se u = g(x)$u = g(x)$, allora:

\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du

$$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$$

Questa regola è utile per semplificare l’integrale cambiando variabile.

5. Integrazione delle Funzioni Potenza

Per una funzione della forma x^n$x^n$:

\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)

$$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \quad (n \neq -1)$$

Per n = -1$n = -1$:

\int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C

$$\int x^{-1} \, dx = \ln |x| + C$$

6. Integrali Goniometrici

Le derivate delle funzioni goniometriche portano a formule di integrazione specifiche:

\int \sin x \, dx = -\cos x + C

$$\int \sin x \, dx = -\cos x + C$$

\int \cos x \, dx = \sin x + C

$$\int \cos x \, dx = \sin x + C$$

\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C$$

7. Integrali Esponenziali e Logaritmici

\int e^x \, dx = e^x + C

$$\int e^x \, dx = e^x + C$$

\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C

$$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$$

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$$

8. Integrali Definiti

Per calcolare un integrale definito da a$a$ a b$b$:

• Se F(x)$F(x)$ è una primitiva di f(x)$f(x)$:

\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)

$$\int_a^b f(x) \, dx = F(b) - F(a)$$

Metodi di Integrazione

1. Integrazione per Parti

Utilizzata per integrare il prodotto di due funzioni. Si basa sulla formula:

\int u\, dv = uv - \int v\, du 

$$\int u\, dv = uv - \int v\, du$$

dove si scelgono opportunamente u$u$ e dv$dv$.

2. Integrazione per Sostituzione

Usata quando l’integrale contiene una funzione composta. Si sostituisce la variabile con una nuova variabile che semplifica l’integrale.

3. Metodi Numerici

Quando non è possibile calcolare un integrale analiticamente, si possono utilizzare metodi numerici come il metodo dei trapezi o il metodo di Simpson.

Serie e Successioni

Le serie e le successioni sono concetti fondamentali in analisi matematica, utilizzati per studiare il comportamento delle somme di termini e delle loro proprietà. Qui di seguito esplorerò le definizioni, le caratteristiche e i criteri di convergenza delle serie.

Successioni

Una successione è una funzione che associa a ogni numero naturale un numero reale. Si denota generalmente come a_n$a_n$, dove n$n$ è l’indice della successione. Le successioni possono essere finite o infinite e possono presentare diverse proprietà, come la monotonicità (crescente o decrescente) e la convergenza.

• Esempio di Successione: La successione dei numeri naturali 1, 2, 3, \ldots$1, 2, 3, \ldots$ è una successione crescente infinita.

Serie Numeriche

Una serie numerica è la somma dei termini di una successione. Si scrive come:

s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k

$$s_n = a_1 + a_2 + \ldots + a_n = \sum_{k=1}^n a_k$$

Dove s_n$s_n$ rappresenta la somma parziale dei primi n$n$ termini della successione. Se consideriamo il limite delle somme parziali quando n$n$ tende all’infinito, otteniamo una serie infinita:

\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} s_n

$$\sum_{k=1}^{\infty} a_k = \lim_{n \to \infty} s_n$$

Convergenza delle Serie

Il carattere di una serie è determinato dalla sua convergenza o divergenza:

1. Serie Convergente: Una serie è detta convergente se la successione delle somme parziali s_n$s_n$ ha un limite finito:

   \lim_{n \to \infty} s_n = S

   $$\lim_{n \to \infty} s_n = S$$

   In questo caso, S$S$ è chiamata somma della serie.

2. Serie Divergente: Se il limite delle somme parziali esiste ma è infinito (positivo o negativo), la serie è divergente:

   \lim_{n \to \infty} s_n = \pm\infty

   $$\lim_{n \to \infty} s_n = \pm\infty$$

3. Serie Indeterminata: Se il limite non esiste, la serie è considerata indeterminata.

Criteri di Convergenza

Esistono diversi criteri per determinare se una serie converge o diverge:

1. Criterio della Somma dei Termini Positivi: Se tutti i termini a_k > 0$a_k > 0$, e s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$s_n = a_1 + a_2 + ... + a_n$ diverge se a_n$a_n$ non tende a zero.

2. Serie Geometrica: Una serie geometrica converge se il rapporto tra i termini successivi è minore di 1 in valore assoluto.

3. Criterio del Confronto: Se si ha una serie b_k$b_k$ nota per la sua convergenza o divergenza, si può confrontare con una serie a_k$a_k$. Se 0 < a_k < b_k$0 < a_k < b_k$, e b_k$b_k$ converge, allora anche a_k$a_k$ converge.

4. Criterio della Radice e del Rapporto: Questi criteri utilizzano il limite del rapporto o della radice dei termini per determinare la convergenza.

Esempi di Serie

• Serie Armonica: La serie

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$$

è divergente.

• Serie Alternata: La serie

\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}

$$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n}$$

è convergente (serie alternata).

• Serie di Taylor: Le serie di potenze utilizzate per rappresentare funzioni analitiche in un intorno di un punto.

Studio di una funzione

Lo studio di una funzione è un processo analitico che consente di analizzare e comprendere il comportamento di una funzione all’interno del suo dominio. Questo studio è fondamentale per tracciare il grafico della funzione e per identificare le sue caratteristiche principali, come massimi, minimi, punti di flesso, e asintoti. Di seguito sono riportati i passaggi principali coinvolti nello studio di una funzione.

Passaggi dello Studio di una Funzione

1. Calcolo del Dominio

Il primo passo consiste nel determinare il dominio della funzione, ovvero l’insieme dei valori per cui la funzione è definita. Per calcolare il dominio, bisogna considerare le condizioni di esistenza della funzione:

• Per le funzioni razionali, evitare che il denominatore sia zero.
• Per le funzioni radicali, assicurarsi che il radicando sia non negativo (se la radice è pari).
• Per le funzioni logaritmiche, l’argomento deve essere positivo.

2. Simmetrie

Il secondo passo è analizzare se la funzione presenta simmetrie:

• Funzione pari: se f(x) = f(-x)$f(x) = f(-x)$, la funzione è simmetrica rispetto all’asse y$y$.
• Funzione dispari: se f(x) = -f(-x)$f(x) = -f(-x)$, la funzione è simmetrica rispetto all’origine.

3. Intersezioni con gli Assi

Successivamente, si determinano le intersezioni con gli assi:

• Intersezione con l’asse x$x$: si risolve l’equazione f(x) = 0$f(x) = 0$.
• Intersezione con l’asse y$y$: si calcola f(0)$f(0)$ (se 0$0$ è nel dominio).

4. Studio del Segno

Lo studio del segno della funzione implica risolvere la disequazione f(x) > 0$f(x) > 0$ o f(x) < 0$f(x) < 0$:

• Identificare gli zeri della funzione (intersezioni con l’asse x$x$).
• Determinare gli intervalli in cui la funzione è positiva o negativa.

5. Limiti

Calcolare i limiti della funzione agli estremi del dominio e in eventuali punti critici:

• Limiti quando x \to a$x \to a$ e x \to b$x \to b$ (estremi del dominio).
• Limiti quando x \to +\infty$x \to +\infty$ e x \to -\infty$x \to -\infty$.

6. Derivata Prima

Calcolare la derivata prima della funzione per analizzare il comportamento crescente o decrescente:

• Determinare i punti stazionari risolvendo f'(x) = 0$f'(x) = 0$.
• Studiare il segno della derivata per identificare gli intervalli di crescita e decrescita:
  • Se f'(x) > 0$f'(x) > 0$, la funzione è crescente.
  • Se f'(x) < 0$f'(x) < 0$, la funzione è decrescente.

7. Derivata Seconda

Calcolare la derivata seconda per studiare la concavità della funzione:

• Se f''(x) > 0$f''(x) > 0$, la funzione è concava verso l’alto.
• Se f''(x) < 0$f''(x) < 0$, la funzione è concava verso il basso.
• I punti in cui cambia concavità sono i punti di flesso.

8. Punti Massimi e Minimi

Utilizzando le informazioni ottenute dalle derivate prima e seconda, si possono identificare i punti massimi e minimi:

• Massimo locale: se in un punto stazionario x = c$x = c$, f'(c) = 0$f'(c) = 0$ e f''(c) < 0$f''(c) < 0$.
• Minimo locale: se in un punto stazionario x = c$x = c$, f'(c) = 0$f'(c) = 0$ e f''(c) > 0$f''(c) > 0$.