Esercizi sull'Energia di un Sistema Rigido

Esercizi sull'Energia di un Sistema Rigido

Esercizi sull'Energia di un Sistema Rigido

Versione italiana

Esercizi sull'Energia di un Sistema Rigido

Concetti Chiave

1. Energia Cinetica: L'energia cinetica di un corpo rigido è data dalla somma delle energie cinetiche di tutte le sue parti. Per un corpo rigido di massa m$m$ che ruota attorno a un asse, l'energia cinetica totale è data da:

   K = \frac{1}{2} I \omega^2 $K = \frac{1}{2} I \omega^2$

   dove I$I$ è il momento d'inerzia e \omega$\omega$ è la velocità angolare.

2. Momento d'Inerzia: Il momento d'inerzia I$I$ di un corpo rigido dipende dalla distribuzione della massa rispetto all'asse di rotazione. Per un corpo rigido di massa m$m$ e raggio r$r$, il momento d'inerzia può essere calcolato come:

   I = \sum m_i r_i^2 $I = \sum m_i r_i^2$

   dove m_i$m_i$ è la massa di ciascun punto e r_i$r_i$ è la distanza di ciascun punto dall'asse di rotazione.

3. Lavoro e Energia: Il lavoro W$W$ eseguito su un corpo rigido è legato alla variazione dell'energia cinetica. Se un corpo passa da una velocità iniziale v_i$v_i$ a una velocità finale v_f$v_f$, il lavoro eseguito è dato da:

   W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 $W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$

4. Energia Potenziale: In un sistema rigido, l'energia potenziale può essere dovuta a forze conservative, come la gravità. L'energia potenziale gravitazionale di un corpo di massa m$m$ a un'altezza h$h$ è data da:

   U = mgh $U = mgh$

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo dell'Energia Cinetica

Problema: Un disco di massa m = 5 \, \text{kg}$m = 5 \, \text{kg}$ e raggio r = 0.2 \, \text{m}$r = 0.2 \, \text{m}$ ruota con una velocità angolare \omega = 10 \, \text{rad/s}$\omega = 10 \, \text{rad/s}$. Calcola l'energia cinetica del disco.

Soluzione:

1. Calcola il momento d'inerzia del disco:

   I = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{kg} \cdot (0.2 \, \text{m})^2 = 0.1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 $I = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{kg} \cdot (0.2 \, \text{m})^2 = 0.1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$

2. Calcola l'energia cinetica:

   K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (10 \, \text{rad/s})^2 = 5 \, \text{J} $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (10 \, \text{rad/s})^2 = 5 \, \text{J}$

Esercizio 2: Lavoro e Variazione dell'Energia Cinetica

Problema: Un corpo rigido di massa m = 8 \, \text{kg}$m = 8 \, \text{kg}$ passa da una velocità iniziale di v_i = 3 \, \text{m/s}$v_i = 3 \, \text{m/s}$ a una velocità finale di v_f = 7 \, \text{m/s}$v_f = 7 \, \text{m/s}$. Calcola il lavoro eseguito sul corpo.

Soluzione:

1. Calcola l'energia cinetica iniziale e finale:

   • Energia cinetica iniziale:

   K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \cdot (3 \, \text{m/s})^2 = 36 \, \text{J} $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \cdot (3 \, \text{m/s})^2 = 36 \, \text{J}$

   • Energia cinetica finale:

   K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \ \cdot (7 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \cdot 49 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 196 \, \text{J} $K_f = \frac{1}{2} m v_f^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \ \cdot (7 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \cdot 49 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 196 \, \text{J}$

2. Calcola la variazione dell'energia cinetica:

   \Delta K = K_f - K_i = 196 \, \text{J} - 36 \, \text{J} = 160 \, \text{J} $\Delta K = K_f - K_i = 196 \, \text{J} - 36 \, \text{J} = 160 \, \text{J}$

3. Il lavoro eseguito sul corpo è uguale alla variazione dell'energia cinetica:

   W = \Delta K = 160 \, \text{J} $W = \Delta K = 160 \, \text{J}$

Risultato: Il lavoro eseguito sul corpo è W = 160 \, \text{J}$W = 160 \, \text{J}$.

Esercizio 3: Energia Potenziale e Lavoro

Problema: Un corpo di massa m = 10 \, \text{kg}$m = 10 \, \text{kg}$ viene sollevato a un'altezza h = 5 \, \text{m}$h = 5 \, \text{m}$. Calcola l'energia potenziale guadagnata dal corpo e il lavoro necessario per sollevarlo.

Soluzione:

1. Calcola l'energia potenziale:

   U = mgh = 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 5 \, \text{m} = 490.5 \, \text{J} $U = mgh = 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 5 \, \text{m} = 490.5 \, \text{J}$

2. Il lavoro necessario per sollevare il corpo è uguale all'energia potenziale guadagnata:

   W = U = 490.5 \, \text{J} $W = U = 490.5 \, \text{J}$

Risultato: L'energia potenziale guadagnata dal corpo è U = 490.5 \, \text{J}$U = 490.5 \, \text{J}$ e il lavoro necessario per sollevarlo è W = 490.5 \, \text{J}$W = 490.5 \, \text{J}$.

English version

Rigid System Energy Exercises

Key Concepts

1. Kinetic Energy: The kinetic energy of a rigid body is the sum of the kinetic energies of all its parts. For a rigid body of mass m$m$ rotating about an axis, the total kinetic energy is given by:

K = \frac{1}{2} I \omega^2 $K = \frac{1}{2} I \omega^2$

where I$I$ is the moment of inertia and \omega$\omega$ is the angular velocity.

2. Moment of Inertia: The moment of inertia I$I$ of a rigid body depends on the distribution of the mass about the axis of rotation. For a rigid body of mass m$m$ and radius r$r$, the moment of inertia can be calculated as:

I = \sum m_i r_i^2 $I = \sum m_i r_i^2$

where m_i$m_i$ is the mass of each point and r_i$r_i$ is the distance of each point from the axis of rotation.

3. Work and Energy: The work W$W$ done on a rigid body is related to the change in kinetic energy. If a body goes from an initial velocity v_i$v_i$ to a final velocity v_f$v_f$, the work done is given by:

W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2 $W = \Delta K = K_f - K_i = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$

4. Potential Energy: In a rigid system, potential energy can be due to conservative forces, such as gravity. The gravitational potential energy of a body of mass m$m$ at a height h$h$ is given by:

U = mgh $U = mgh$

Exercises

Exercise 1: Calculating Kinetic Energy

Problem: A disk of mass m = 5 \, \text{kg}$m = 5 \, \text{kg}$ and radius r = 0.2 \, \text{m}$r = 0.2 \, \text{m}$ rotates with an angular velocity \omega = 10 \, \text{rad/s}$\omega = 10 \, \text{rad/s}$. Calculate the kinetic energy of the disk.

Solution:

1. Calculate the moment of inertia of the disk:

I = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{kg} \cdot (0.2 \, \text{m})^2 = 0.1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 $I = \frac{1}{2} m r^2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \, \text{kg} \cdot (0.2 \, \text{m})^2 = 0.1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$

2. Calculate the kinetic energy:

K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (10 \, \text{rad/s})^2 = 5 \, \text{J} $K = \frac{1}{2} I \omega^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.1 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot (10 \, \text{rad/s})^2 = 5 \, \text{J}$

Exercise 2: Work and Change in Kinetic Energy

Problem: A rigid body of mass m = 8 \, \text{kg}$m = 8 \, \text{kg}$ goes from an initial velocity of v_i = 3 \, \text{m/s}$v_i = 3 \, \text{m/s}$ to a final velocity of v_f = 7 \, \text{m/s}$v_f = 7 \, \text{m/s}$. Calculate the work done on the body.

Solution: 1. Calculate the initial and final kinetic energy:

• Initial kinetic energy:
  K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \cdot (3 \, \text{m/s})^2 = 36 \, \text{J}$K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \cdot (3 \, \text{m/s})^2 = 36 \, \text{J}$
• Final kinetic energy:
  K_f = \frac{1}{2} m v _f^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \ \cdot (7 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \cdot 49 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 196 \, \text{J} $K_f = \frac{1}{2} m v _f^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \ \cdot (7 \, \text{m/s})^2 = \frac{1}{2} \cdot 8 \, \text{kg} \cdot 49 \, \text{m}^2/\text{s}^2 = 196 \, \text{J}$

2. Calculate the change in kinetic energy:

\Delta K = K_f - K_i = 196 \, \text{J} - 36 \, \text{J} = 160 \, \text{J} $\Delta K = K_f - K_i = 196 \, \text{J} - 36 \, \text{J} = 160 \, \text{J}$

3. The work done on the body is equal to the change in kinetic energy:

W = \Delta K = 160 \, \text{J} $W = \Delta K = 160 \, \text{J}$

Result: The work done on the body is W = 160 \, \text{J}$W = 160 \, \text{J}$.

Exercise 3: Potential Energy and Work

Problem: A body of mass m = 10 \, \text{kg}$m = 10 \, \text{kg}$ is lifted to a height h = 5 \, \text{m}$h = 5 \, \text{m}$. Calculate the potential energy gained by the body and the work required to lift it.

Solution:

1. Calculate the potential energy:

U = mgh = 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 5 \, \text{m} = 490.5 \, \text{J} $U = mgh = 10 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 \cdot 5 \, \text{m} = 490.5 \, \text{J}$

2. The work required to lift the body is equal to the potential energy gained:

W = U = 490.5 \, \text{J} $W = U = 490.5 \, \text{J}$

Result: The potential energy gained by the body is U = 490.5 \, \text{J}$U = 490.5 \, \text{J}$ and the work required to lift it is W = 490.5 \, \text{J}$W = 490.5 \, \text{J}$.