Esercizi sulle Posizioni tra Retta e Piano

Esercizi sulle Posizioni tra Retta e Piano

Esercizi sulle Posizioni tra Retta e Piano

Versione italiana

Esercizi sulle Posizioni tra Retta e Piano

Concetti Chiave

1. Retta: Una linea infinita che si estende in entrambe le direzioni, definita da un'equazione parametrica o cartesiana.
2. Piano: Una superficie bidimensionale infinita, definita da un'equazione del tipo Ax + By + Cz + D = 0$Ax + By + Cz + D = 0$.
3. Posizioni relative: Le posizioni relative tra una retta e un piano possono essere:
   • Intersezione: La retta interseca il piano in un punto.
   • Parallela: La retta è parallela al piano e non lo interseca.
   • Coincidente: La retta giace completamente nel piano.

Equazione del Piano

Un piano nello spazio tridimensionale può essere rappresentato dall'equazione:

Ax + By + Cz + D = 0 $Ax + By + Cz + D = 0$

dove A$A$, B$B$, C$C$ e D$D$ sono costanti.

Equazione della Retta

Una retta nello spazio tridimensionale può essere rappresentata in forma parametrica come:

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$

dove (x_0, y_0, z_0)$(x_0, y_0, z_0)$ è un punto sulla retta e (a, b, c)$(a, b, c)$ è il vettore direttore della retta.

Esercizio 1: Intersezione tra Retta e Piano

Problema: Determina se la retta definita dalle equazioni parametriche

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 + 3t \end{cases} $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 + 3t \end{cases}$

interseca il piano definito dall'equazione

2x + y - z - 5 = 0. $2x + y - z - 5 = 0.$

Soluzione:

1. Sostituiamo le equazioni parametriche della retta nell'equazione del piano:

2(1 + 2t) + (3 - t) - (4 + 3t) - 5 = 0. $2(1 + 2t) + (3 - t) - (4 + 3t) - 5 = 0.$

2. Semplifichiamo l'equazione:

2 + 4t + 3 - t - 4 - 3t - 5 = 0 \implies 0 = 0. $2 + 4t + 3 - t - 4 - 3t - 5 = 0 \implies 0 = 0.$

3. Poiché l'equazione è sempre vera, la retta è coincidente con il piano.

Esercizio 2: Parallela al Piano

Problema: Determina se la retta definita dalle equazioni parametriche

\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 3 + 4t \end{cases} $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$

è parallela al piano definito dall'equazione

x - 2y + z - 1 = 0. $x - 2y + z - 1 = 0.$

Soluzione:

1. Troviamo il vettore normale del piano, che è dato dai coefficienti dell'equazione del piano: (1, -2, 1)$(1, -2, 1)$.
2. Il vettore direttore della retta è (1, -2, 4)$(1, -2, 4)$.
3. Due oggetti sono paralleli se il loro prodotto scalare è zero. Calcoliamo il prodotto scalare:

(1, -2, 1) \cdot (1, -2, 4) = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 1 + 4 + 4 = 9 \neq 0. $(1, -2, 1) \cdot (1, -2, 4) = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 1 + 4 + 4 = 9 \neq 0.$

4. Poiché il prodotto scalare non è zero, la retta non è parallela al piano.

Esercizio 3: Intersezione in un Punto

Problema: Determina se la retta definita dalle equazioni parametriche

\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases} $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$

interseca il piano definito dall'equazione

x + y + z - 6 = 0. $x + y + z - 6 = 0.$

Soluzione:

1. Sostituiamo le equazioni parametriche della retta nell'equazione del piano:

(1 + t) + (2 + 2t) + (3 - t) - 6 = 0. $(1 + t) + (2 + 2t) + (3 - t) - 6 = 0.$

2. Semplifichiamo l'equazione:

1 + t + 2 + 2t + 3 - t - 6 = 0 \implies 0 + 2t = 0. $1 + t + 2 + 2t + 3 - t - 6 = 0 \implies 0 + 2t = 0.$

3. Risolvendo per t$t$, otteniamo:

2t = 0 \implies t = 0. $2t = 0 \implies t = 0.$

4. Sostituiamo t = 0$t = 0$ nelle equazioni parametriche della retta per trovare il punto di intersezione:

\begin{cases} x = 1 + 0 = 1 \\ y = 2 + 2 \cdot 0 = 2 \\ z = 3 - 0 = 3 \end{cases} $\begin{cases} x = 1 + 0 = 1 \\ y = 2 + 2 \cdot 0 = 2 \\ z = 3 - 0 = 3 \end{cases}$

5. Quindi, la retta interseca il piano nel punto (1, 2, 3)$(1, 2, 3)$.

English version

Exercises on Positions between Line and Plane

Key Concepts

1. Line: An infinite line that extends in both directions, defined by a parametric or Cartesian equation.
2. Plane: An infinite two-dimensional surface, defined by an equation of the form Ax + By + Cz + D = 0$Ax + By + Cz + D = 0$.
3. Relative Positions: The relative positions between a line and a plane can be:

• Intersection: The line intersects the plane at a point.
• Parallel: The line is parallel to the plane and does not intersect it.
• Coincident: The line lies completely in the plane.

Equation of the Plane

A plane in three-dimensional space can be represented by the equation:

Ax + By + Cz + D = 0 $Ax + By + Cz + D = 0$

where A$A$, B$B$, C$C$, and D$D$ are constants.

Equation of a Line

A line in three-dimensional space can be represented parametrically as:

\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases} $\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}$

where (x_0, y_0, z_0)$(x_0, y_0, z_0)$ is a point on the line and (a, b, c)$(a, b, c)$ is the direction vector of the line.

Exercise 1: Intersection of Line and Plane

Problem: Determine whether the line defined by the parametric equations

\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 + 3t \end{cases} $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 + 3t \end{cases}$

intersects the plane defined by the equation

2x + y - z - 5 = 0. $2x + y - z - 5 = 0.$

Solution:

1. Substitute the parametric equations of the line into the equation of the plane:

2(1 + 2t) + (3 - t) - (4 + 3t) - 5 = 0. $2(1 + 2t) + (3 - t) - (4 + 3t) - 5 = 0.$

2. Simplify the equation:

2 + 4t + 3 - t - 4 - 3t - 5 = 0 \implies 0 = 0. $2 + 4t + 3 - t - 4 - 3t - 5 = 0 \implies 0 = 0.$

3. Since the equation is always true, the line is coincident with the plane.

Exercise 2: Parallel to the Plane

Problem: Determine whether the line defined by the parametric equations

\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 3 + 4t \end{cases} $\begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 3 + 4t \end{cases}$

is parallel to the plane defined by the equation

x - 2y + z - 1 = 0. $x - 2y + z - 1 = 0.$

Solution:

1. Find the normal vector of the plane, which is given by the coefficients of the equation of the plane: (1, -2, 1)$(1, -2, 1)$.
2. The direction vector of the line is (1, -2, 4)$(1, -2, 4)$.
3. Two objects are parallel if their scalar product is zero. Let's calculate the scalar product:

(1, -2, 1) \cdot (1, -2, 4) = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 1 + 4 + 4 = 9 \neq 0. $(1, -2, 1) \cdot (1, -2, 4) = 1 \cdot 1 + (-2) \cdot (-2) + 1 \cdot 4 = 1 + 4 + 4 = 9 \neq 0.$

4. Since the scalar product is not zero, the line is not parallel to the plane.

Exercise 3: Intersection at a Point

Problem: Determine whether the line defined by the parametric equations

\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases} $\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2t \\ z = 3 - t \end{cases}$

intersects the plane defined by the equation

x + y + z - 6 = 0. $x + y + z - 6 = 0.$

Solution:

1. Substitute the parametric equations of the line into the equation of the plane:

(1 + t) + (2 + 2t) + (3 - t) - 6 = 0. $(1 + t) + (2 + 2t) + (3 - t) - 6 = 0.$

2. Simplify the equation:

1 + t + 2 + 2t + 3 - t - 6 = 0 \implies 0 + 2t = 0. $1 + t + 2 + 2t + 3 - t - 6 = 0 \implies 0 + 2t = 0.$

3. Solving for t$t$, we get:

2t = 0 \implies t = 0. $2t = 0 \implies t = 0.$

4. We substitute t = 0$t = 0$ into the parametric equations of the line to find the intersection point:

\begin{cases} x = 1 + 0 = 1 \\ y = 2 + 2 \cdot 0 = 2 \\ z = 3 - 0 = 3 \end{cases} $\begin{cases} x = 1 + 0 = 1 \\ y = 2 + 2 \cdot 0 = 2 \\ z = 3 - 0 = 3 \end{cases}$

5. Therefore, the line intersects the plane at the point (1, 2, 3)$(1, 2, 3)$.