Esercizi sulle Operazioni tra Vettori

Esercizi sulle Operazioni tra Vettori

Esercizi sulle Operazioni tra Vettori

Versione italiana

Esercizi sulle Operazioni tra Vettori

I vettori sono entità matematiche che hanno sia una grandezza che una direzione. Le operazioni fondamentali tra vettori includono l'addizione, la sottrazione e il prodotto scalare.

Concetti Chiave

1. Vettore: Un vettore in uno spazio euclideo \mathbb{R}^n$\mathbb{R}^n$ è rappresentato come un insieme di n$n$ componenti. Ad esempio, un vettore in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$ può essere scritto come:
   \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$

2. Addizione di Vettori: L'addizione di due vettori \mathbf{u}$\mathbf{u}$ e \mathbf{v}$\mathbf{v}$ è effettuata sommando le loro componenti corrispondenti:
   \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix} $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix}$

3. Sottrazione di Vettori: La sottrazione di due vettori \mathbf{u}$\mathbf{u}$ e \mathbf{v}$\mathbf{v}$ è effettuata sottraendo le loro componenti corrispondenti:
   \mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 - v_1 \\ u_2 - v_2 \end{pmatrix} $\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 - v_1 \\ u_2 - v_2 \end{pmatrix}$

4. Prodotto Scalare: Il prodotto scalare di due vettori \mathbf{u}$\mathbf{u}$ e \mathbf{v}$\mathbf{v}$ è dato dalla somma dei prodotti delle loro componenti:
   \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$

Esercizi

Esercizio 1

Siano i vettori \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ e \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$. Calcola \mathbf{u} + \mathbf{v}$\mathbf{u} + \mathbf{v}$.

Soluzione:

\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}

$$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Esercizio 2

Siano i vettori \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ e \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$. Calcola \mathbf{u} - \mathbf{v}$\mathbf{u} - \mathbf{v}$.

Soluzione:

\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}

$$\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$$

English version

Vector Operations Exercises

Vectors are mathematical entities that have both magnitude and direction. Fundamental vector operations include addition, subtraction, and dot product.

Key Concepts

1. Vector: A vector in a Euclidean space \mathbb{R}^n$\mathbb{R}^n$ is represented as a set of n$n$ components. For example, a vector in \mathbb{R}^2$\mathbb{R}^2$ can be written as:
   \mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} $\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$

2. Vector Addition: The addition of two vectors \mathbf{u}$\mathbf{u}$ and \mathbf{v}$\mathbf{v}$ is done by adding their corresponding components:
   \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix} $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \end{pmatrix}$

3. Vector Subtraction: The subtraction of two vectors \mathbf{u}$\mathbf{u}$ and \mathbf{v}$\mathbf{v}$ is performed by subtracting their corresponding components:
   \mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 - v_1 \\ u_2 - v_2 \end{pmatrix} $\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} u_1 - v_1 \\ u_2 - v_2 \end{pmatrix}$

4. Door Product: The dot product of two vectors \mathbf{u}$\mathbf{u}$ and \mathbf{v}$\mathbf{v}$ is given by the sum of the products of their components:
   \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2$

Exercises

Exercise 1

Let the vectors \mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ and \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$. Compute \mathbf{u} + \mathbf{v}$\mathbf{u} + \mathbf{v}$.

Solution:

\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}

$$\mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 \\ 3 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Exercise 2 Let the vectors be

\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix}$ and \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix}$. Compute \mathbf{u} - \mathbf{v}$\mathbf{u} - \mathbf{v}$.

Solution:

\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}

$$\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{pmatrix} 5 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 - 3 \\ 2 - 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix}$$