Esercizi sulle curve piane

Esercizi sulle curve piane

Esercizi sulle curve piane

Versione italiana

Esercizi sulle Curve Piane

Le curve piane sono figure geometriche bidimensionali che possono essere descritte in vari modi. In questo contesto, esploreremo la lunghezza delle curve, la velocità e l'accelerazione, e le definizioni di curve semplici, cartesiane e chiuse.

Concetti Chiave

1. Lunghezza di una Curva

La lunghezza L$L$ di una curva parametrica \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ da t = a$t = a$ a t = b$t = b$ è data dalla formula:
L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt $L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$

2. Velocità

La velocità scalare v$v$ di un punto che si muove lungo una curva è definita come la derivata della lunghezza rispetto al tempo:
v = \frac{ds}{dt} $v = \frac{ds}{dt}$
dove ds$ds$ è un elemento infinitesimale di lunghezza.

La velocità vettoriale è data da:
\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right) $\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$

3. Accelerazione

L'accelerazione scalare a$a$ è la derivata della velocità rispetto al tempo:
a = \frac{dv}{dt} $a = \frac{dv}{dt}$

L'accelerazione vettoriale è data da:
\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right) $\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)$

4. Curve Semplici, Cartesiane e Chiuse

• Curve Semplici: Una curva è semplice se non si interseca mai, ovvero non ha punti di autointersezione.
• Curve Cartesiane: Una curva è cartesiana se può essere descritta da un'equazione del tipo y = f(x)$y = f(x)$.
• Curve Chiuse: Una curva è chiusa se il punto iniziale coincide con il punto finale, ovvero \mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)$\mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)$.

Esercizi

Esercizio 1: Lunghezza di una Curva

Calcola la lunghezza della curva parametrica \mathbf{r}(t) = (t, t^2)$\mathbf{r}(t) = (t, t^2)$ per t$t$ che varia da 0$0$ a 2$2$.

Soluzione:
Calcoliamo le derivate:
\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t $\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t$
La lunghezza è:
L = \int_0^2 \sqrt{(1)^2 + (2t)^2} \, dt = \int_0^2 \sqrt{1 + 4t^2} \, dt $L = \int_0^2 \sqrt{(1)^2 + (2t)^2} \, dt = \int_0^2 \sqrt{1 + 4t^2} \, dt$
Per calcolare l'integrale, possiamo usare una sostituzione o una calcolatrice.

Esercizio 2: Velocità e Accelerazione

Considera la curva parametrica \mathbf{r}(t) = (3\cos(t), 3\sin(t))$\mathbf{r}(t) = (3\cos(t), 3\sin(t))$ per t$t$ che varia da 0$0$ a 2\pi$2\pi$. Calcola la velocità e l'accelerazione.

Soluzione:
Calcoliamo la velocità:
\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(-3\sin(t), 3\cos(t)\right) $\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(-3\sin(t), 3\cos(t)\right)$
Calcoliamo l'accelerazione:
\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \left(-3\cos(t), -3\sin(t)\right) $\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \left(-3\cos(t), -3\sin(t)\right)$

Esercizio 3: Curve Semplici e Chiuse

Verifica se la curva definita da x(t) = \cos(t)$x(t) = \cos(t)$ e y(t) = \sin(t)$y(t) = \sin(t)$ per t$t$ che varia da 0$0$ a 2\pi$2\pi$ è semplice e chiusa.

Soluzione:

1. Curve Chiuse: Verifichiamo se la curva è chiusa calcolando i punti iniziali e finali:

   • Punto iniziale (quando t = 0$t = 0$):
     \begin{cases} x(0) = \cos(0) = 1 \\ y(0) = \sin(0) = 0 \end{cases} $\begin{cases} x(0) = \cos(0) = 1 \\ y(0) = \sin(0) = 0 \end{cases}$
   • Punto finale (quando t = 2\pi$t = 2\pi$):
     \begin{cases} x(2\pi) = \cos(2\pi) = 1 \\ y(2\pi) = \sin(2\pi) = 0 \end{cases} $\begin{cases} x(2\pi) = \cos(2\pi) = 1 \\ y(2\pi) = \sin(2\pi) = 0 \end{cases}$
     Poiché il punto iniziale coincide con il punto finale, la curva è chiusa.

2. Curve Semplici: La curva è semplice se non si interseca mai. Poiché \cos(t)$\cos(t)$ e \sin(t)$\sin(t)$ descrivono un cerchio, non ci sono punti di autointersezione per t$t$ in [0, 2\pi]$[0, 2\pi]$. Quindi, la curva è semplice.

Esercizio 4: Lunghezza di una Curva Chiusa

Calcola la lunghezza della curva chiusa definita da x(t) = \cos(t)$x(t) = \cos(t)$ e y(t) = \sin(t)$y(t) = \sin(t)$ per t$t$ che varia da 0$0$ a 2\pi$2\pi$.

Soluzione:
Calcoliamo le derivate:
\frac{dx}{dt} = -\sin(t), \quad \frac{dy}{dt} = \cos(t) $\frac{dx}{dt} = -\sin(t), \quad \frac{dy}{dt} = \cos(t)$
La lunghezza della curva è:
L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(-\sin(t)\right)^2 + \left(\cos(t)\right)^2} \, dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)} \, dt $L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(-\sin(t)\right)^2 + \left(\cos(t)\right)^2} \, dt = \int_0^{2\pi} \sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)} \, dt$
Poiché \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$, abbiamo:
L = \int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi $L = \int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi$
Quindi, la lunghezza della curva è 2\pi$2\pi$.

English version

Plane Curves Exercises

Plane curves are two-dimensional geometric figures that can be described in a variety of ways. In this context, we will explore the length of curves, velocity and acceleration, and the definitions of simple, Cartesian, and closed curves.

Key Concepts

1. Length of a Curve

The length L$L$ of a parametric curve \mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))$ from t = a$t = a$ to t = b$t = b$ is given by the formula:
L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt $L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} \, dt$

2. Velocity

The scalar velocity v$v$ of a point moving along a curve is defined as the derivative of the length with respect to time:
v = \frac{ds}{dt} $v = \frac{ds}{dt}$
where ds$ds$ is an infinitesimal element of length.

The vector velocity is given by:
\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(\frac{dx}{dt}, \frac{dy}{dt}\right)$

3. Acceleration

The scalar acceleration a$a$ is the derivative of the velocity with respect to time: a = \frac{dv}{dt}$a = \frac{dv}{dt}$
The vector acceleration is given by:
= \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)$= \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \left(\frac{d^2x}{dt^2}, \frac{d^2y}{dt^2}\right)$

4. Simple, Cartesian and Closed

• Simple Curves: A curve is simple if it never intersects itself, that is, it has no self-intersection points.
• Cartesian Curves: A curve is Cartesian if it can be described by an equation of the type y = f(x)$y = f(x)$.
• Closed Curves: A curve is closed if the initial point coincides with the final point, that is, \mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)$\mathbf{r}(a) = \mathbf{r}(b)$.

Exercises

Exercise 1: Length of a Curve

Calculate the length of the parametric curve \mathbf{r}(t) = (t, t^2)$\mathbf{r}(t) = (t, t^2)$ for t$t$ that varies from 0$0$ to 2$2$.

Solution:
Let's calculate the derivatives:
\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t $\frac{dx}{dt} = 1, \quad \frac{dy}{dt} = 2t$
The length is:
L = \int_0^2 \sqrt{(1)^2 + (2t)^2} \, dt = \int_0^2 \sqrt{1 + 4t^2} \, dt $L = \int_0^2 \sqrt{(1)^2 + (2t)^2} \, dt = \int_0^2 \sqrt{1 + 4t^2} \, dt$
To calculate the integral, we can use a substitution or a calculator.

Exercise 2: Velocity and Acceleration

Consider the parametric curve \mathbf{r}(t) = (3\cos(t), 3\sin(t))$\mathbf{r}(t) = (3\cos(t), 3\sin(t))$ for t$t$ that varies from 0$0$ to 2\pi$2\pi$. Calculate the velocity and acceleration.

Solution:
We calculate the velocity:
\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(-3\sin(t), 3\cos(t)\right)$\mathbf{v}(t) = \frac{d\mathbf{r}}{dt} = \left(-3\sin(t), 3\cos(t)\right)$
We calculate the acceleration:
\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \left(-3\cos(t), -3\sin(t)\right )$\mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \left(-3\cos(t), -3\sin(t)\right )$

Exercise 3: Simple and Closed Curves

Check whether the curve defined by x(t) = \cos(t)$x(t) = \cos(t)$ and y(t) = \sin(t)$y(t) = \sin(t)$ for t$t$ ranging from 0$0$ to 2\pi$2\pi$ is simple and closed.

Solution:

1. Closed Curves: Let's check if the curve is closed by calculating the initial and final points:

• Initial point (when t = 0$t = 0$):
  \begin{cases} x(0) = \cos(0) = 1 \\ y(0) = \sin(0) = 0 \end{cases} $\begin{cases} x(0) = \cos(0) = 1 \\ y(0) = \sin(0) = 0 \end{cases}$
• Final point (when t = 2\pi$t = 2\pi$):
  \begin{cases} x(2\pi) = \cos(2\pi) = 1 \\ y(2\pi) = \sin(2\pi) = 0 \end{cases} $\begin{cases} x(2\pi) = \cos(2\pi) = 1 \\ y(2\pi) = \sin(2\pi) = 0 \end{cases}$
  Since the initial point coincides with the final point, the curve is closed.

2. Simple Curves: The curve is simple if it never intersects itself. Since \cos(t)$\cos(t)$ and \sin(t)$\sin(t)$ describe a circle, there are no self-intersection points for t$t$ in [0, 2\pi]$[0, 2\pi]$. Therefore, the curve is simple.

Exercise 4: Length of a Closed Curve

Calculate the length of the closed curve defined by x(t) = \cos(t)$x(t) = \cos(t)$ and y(t) = \sin(t)$y(t) = \sin(t)$ for t$t$ ranging from 0$0$ to 2\pi$2\pi$.

Solution: We calculate the derivatives:
\frac{dx}{dt} = -\sin(t), \quad \frac{dy}{dt} = \cos(t)$\frac{dx}{dt} = -\sin(t), \quad \frac{dy}{dt} = \cos(t)$
The length of the curve is:
L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(-\sin(t)\right)^2 + \left(\cos(t)\right)^2} \, dt = \int_0^{2\pi} sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)} \, dt$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(-\sin(t)\right)^2 + \left(\cos(t)\right)^2} \, dt = \int_0^{2\pi} sqrt{\sin^2(t) + \cos^2(t)} \, dt$
Since \sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$\sin^2(t) + \cos^2(t) = 1$, we have:
L = \int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi$L = \int_0^{2\pi} 1 \, dt = 2\pi$
Therefore, the length of the curve is 2\pi$2\pi$.