Esercizi sulle Coniche

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Esercizi sulle Coniche

Versione italiana

Esercizi sulle Coniche

Introduzione alle Coniche

Le coniche sono curve ottenute dall'intersezione di un piano con un cono. Le principali coniche sono:

• Cerchio
• Ellisse
• Iperbole

Classificazione delle Coniche con Matrici

La classificazione di una conica può essere effettuata utilizzando l'equazione generale:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Dove:

• A, B, C, D, E, F sono coefficienti reali.

Matrice Associata

L'equazione generale può essere rappresentata in forma matriciale come:

\begin{bmatrix}
x & y & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\
\frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\
\frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
= 0

$$\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0$$

Condizioni per la Classificazione

1. Determinante della Matrice:

   • Calcola il determinante della matrice M:

   M = \begin{bmatrix}
   A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\
   \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\
   \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F
   \end{bmatrix}

   $$M = \begin{bmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{bmatrix}$$

2. Classificazione:

   • Se \text{det}(M) < 0$\text{det}(M) < 0$ : Ellisse (o cerchio se A = C e B = 0)
   • Se \text{det}(M) = 0$\text{det}(M) = 0$: Parabola
   • Se \text{det}(M) > 0$\text{det}(M) > 0$: Iperbole

1. Cerchio

Equazione del Cerchio

L'equazione di un cerchio con centro (h, k) e raggio r è:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Esercizio 1: Identificazione del Cerchio

Problema: Determina se la seguente equazione rappresenta un cerchio:

x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0

$$x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$$

Soluzione:

1. Riscrivi l'equazione:

   (x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) + 9 = 0

   $$(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) + 9 = 0$$
2. Completa il quadrato:

   (x - 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 9 = 0

   $$(x - 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 9 = 0$$

   (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16

   $$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$$
3. Questa è l'equazione di un cerchio con centro (3, 4) e raggio 4.

2. Ellisse

Equazione dell'Ellisse

L'equazione di un'ellisse con centro (h, k) è:

\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

Esercizio 2: Identificazione dell'Ellisse

Problema: Determina se la seguente equazione rappresenta un'ellisse:

4x^2 + 9y^2 - 36 = 0

$$4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$$

Soluzione:

1. Riscrivi l'equazione:

   4x^2 + 9y^2 = 36

   $$4x^2 + 9y^2 = 36$$
2. Dividi per 36:

   \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1

   $$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$
3. Questa è l'equazione di un'ellisse con centro (0, 0), semiassi a = 3 e b = 2.

Certo! Proseguiamo con la classificazione delle coniche e gli esercizi per l'iperbole e la parabola, utilizzando le matrici.

3. Iperbole

Equazione dell'Iperbole

L'equazione di un'iperbole con centro (h, k) è:

\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

Esercizio 3: Identificazione dell'Iperbole

Problema: Determina se la seguente equazione rappresenta un'iperbole:

3x^2 - 4y^2 + 6x + 8y - 12 = 0

$$3x^2 - 4y^2 + 6x + 8y - 12 = 0$$

Soluzione:

1. Identifica i coefficienti: A = 3, B = 0, C = -4, D = 6, E = 8, F = -12$A = 3, B = 0, C = -4, D = 6, E = 8, F = -12$.
2. Costruisci la matrice associata:

   M = \begin{bmatrix}
   3 & 0 & 6 \\
   0 & -4 & 8 \\
   6 & 8 & -12
   \end{bmatrix}

   $$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 6 \\ 0 & -4 & 8 \\ 6 & 8 & -12 \end{bmatrix}$$
3. Calcola il determinante:

   \text{det}(M) = 3(-4)(-12) + 0 + 6(8)(0) - 6(0)(-4) - 0 - 3(8)(8)

   $$\text{det}(M) = 3(-4)(-12) + 0 + 6(8)(0) - 6(0)(-4) - 0 - 3(8)(8)$$

   = 144 - 192 = -48

   $$= 144 - 192 = -48$$
4. Poiché \text{det}(M) > 0$\text{det}(M) > 0$, l'equazione rappresenta un'iperbole.

Esercizio 4: Scrivere l'Iperbole in Forma Standard

Problema: Scrivi l'equazione dell'iperbole 2x^2 - 8y^2 + 16x + 32 = 0$2x^2 - 8y^2 + 16x + 32 = 0$ in forma standard.

Soluzione:

1. Riscrivi l'equazione:

   2x^2 - 8y^2 + 16x + 32 = 0

   $$2x^2 - 8y^2 + 16x + 32 = 0$$
2. Isola i termini quadratici:

   2(x^2 + 8x) - 8y^2 + 32 = 0

   $$2(x^2 + 8x) - 8y^2 + 32 = 0$$
3. Completa il quadrato per x:

   2((x + 4)^2 - 16) - 8y^2 + 32 = 0

   $$2((x + 4)^2 - 16) - 8y^2 + 32 = 0$$

   2(x + 4)^2 - 32 - 8y^2 + 32 = 0

   $$2(x + 4)^2 - 32 - 8y^2 + 32 = 0$$

   2(x + 4)^2 - 8y^2 = 0

   $$2(x + 4)^2 - 8y^2 = 0$$
4. Porta i termini costanti a destra:

   2(x + 4)^2 - 8y^2 = -32

   $$2(x + 4)^2 - 8y^2 = -32$$
5. Dividi per -32:

   -\frac{(x + 4)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1

   $$-\frac{(x + 4)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$
6. Riscrivi in forma standard:

   \frac{(x + 4)^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1

   $$\frac{(x + 4)^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$$

English version

Exercises on Conics

Introduction to Conics

Conics are curves obtained by the intersection of a plane with a cone. The main conics are:

• Circle
• Ellipse
• Hyperbola

Classification of Conics with Matrices

The classification of a conic can be done using the general equation:

Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0

$$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$$

Where:

• A, B, C, D, E, F are real coefficients.

Associated Matrix

The general equation can be represented in matrix form as:

\begin{bmatrix}
x & y & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\
\frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\
\frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
1
\end{bmatrix}
= 0

$$\begin{bmatrix} x & y & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix} = 0$$

Conditions for Classification

1. Matrix Determinant:

• Calculate the determinant of matrix M:

M = \begin{bmatrix}
A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\
\frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\
\frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F
\end{bmatrix}

$$M = \begin{bmatrix} A & \frac{B}{2} & \frac{D}{2} \\ \frac{B}{2} & C & \frac{E}{2} \\ \frac{D}{2} & \frac{E}{2} & F \end{bmatrix}$$

2. Classification:

• If \text{det}(M) < 0$\text{det}(M) < 0$ : Ellipse (or circle if A = C and B = 0)
• If \text{det}(M) = 0$\text{det}(M) = 0$: Parabola
• If \text{det}(M) > 0$\text{det}(M) > 0$: Hyperbola

1. Circle

Equation of the Circle

The equation of a circle with center (h, k) and radius r is:

(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2

$$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$$

Exercise 1: Identifying the Circle

Problem: Determine whether the following equation represents a circle:

x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0

$$x^2 + y^2 - 6x - 8y + 9 = 0$$

Solution:

1. Rewrite the equation:

(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) + 9 = 0

$$(x^2 - 6x) + (y^2 - 8y) + 9 = 0$$

2. Complete the square:

(x - 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 9 = 0

$$(x - 3)^2 - 9 + (y - 4)^2 - 16 + 9 = 0$$

(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16

$$(x - 3)^2 + (y - 4)^2 = 16$$

3. This is the equation of a circle with center (3, 4) and radius 4.

2. Ellipse

Equation of Ellipse

The equation of an ellipse with center (h, k) is:

\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

Exercise 2: Identifying the Ellipse

Problem: Determine whether the following equation represents an ellipse:

4x^2 + 9y^2 - 36 = 0

$$4x^2 + 9y^2 - 36 = 0$$

Solution:

1. Rewrite the equation:

4x^2 + 9y^2 = 36

$$4x^2 + 9y^2 = 36$$

2. Divide by 36:

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1

$$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$$

3. This is the equation of an ellipse with center (0, 0), semiaxes a = 3 and b = 2.

Sure! Let's continue with the classification of conic sections and the exercises for the hyperbola and the parabola, using matrices.

3. Hyperbola

Equation of the Hyperbola

The equation of a hyperbola with center (h, k) is:

\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1

$$\frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1$$

Exercise 3: Identifying the Hyperbola

Problem: Determine whether the following equation represents a hyperbola:

3x^2 - 4y^2 + 6x + 8y - 12 = 0

$$3x^2 - 4y^2 + 6x + 8y - 12 = 0$$

Solution:

1. Identify the coefficients: A = 3, B = 0, C = -4, D = 6, E = 8, F = -12$A = 3, B = 0, C = -4, D = 6, E = 8, F = -12$.
2. Construct the associated matrix:

M = \begin{bmatrix}
3 & 0 & 6 \\
0 & -4 & 8 \\
6 & 8 & -12
\end{bmatrix}

$$M = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 6 \\ 0 & -4 & 8 \\ 6 & 8 & -12 \end{bmatrix}$$

3. Calculate the determinant:

\text{det}(M) = 3(-4)(-12) + 0 + 6(8)(0) - 6(0)(-4) - 0 - 3(8)(8)

$$\text{det}(M) = 3(-4)(-12) + 0 + 6(8)(0) - 6(0)(-4) - 0 - 3(8)(8)$$

= 144 - 192 = -48

$$= 144 - 192 = -48$$

4. Since \text{det}(M) > 0$\text{det}(M) > 0$, the equation represents a hyperbola.

Exercise 4: Writing the Hyperbola in Standard Form

Problem: Write the equation of the hyperbola 2x^2 - 8y^2 + 16x + 32 = 0$2x^2 - 8y^2 + 16x + 32 = 0$ in standard form.

Solution:

1. Rewrite the equation:

2x^2 - 8y^2 + 16x + 32 = 0

$$2x^2 - 8y^2 + 16x + 32 = 0$$

2. Isolate the quadratic terms:

2(x^2 + 8x) - 8y^2 + 32 = 0

$$2(x^2 + 8x) - 8y^2 + 32 = 0$$

3. Complete the square for x:

2((x + 4)^2 - 16) - 8y^2 + 32 = 0

$$2((x + 4)^2 - 16) - 8y^2 + 32 = 0$$

2(x + 4)^2 - 32 - 8y^2 + 32 = 0

$$2(x + 4)^2 - 32 - 8y^2 + 32 = 0$$

2(x + 4)^2 - 8y^2 = 0

$$2(x + 4)^2 - 8y^2 = 0$$

4. Bring the constant terms to the right:

2(x + 4)^2 - 8y^2 = -32

$$2(x + 4)^2 - 8y^2 = -32$$

5. Divide by -32:

-\frac{(x + 4)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1 

$$-\frac{(x + 4)^2}{16} + \frac{y^2}{4} = 1$$

6. Rewrite in standard form:

\frac{(x + 4)^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1 

$$\frac{(x + 4)^2}{16} - \frac{y^2}{4} = 1$$