Esercizi sulla Topologia

Esercizi sulla Topologia

Esercizi sulla Topologia

Versione italiana

Esercizi sulla Topologia

Concetti Chiave

La topologia è un ramo della matematica che studia le proprietà degli spazi che sono preservate sotto deformazioni continue. Alcuni concetti fondamentali includono:

1. Spazio Topologico: Un insieme X insieme a una collezione di sottoinsiemi \tau$\tau$ che soddisfano le seguenti proprietà:

   • L'insieme vuoto \emptyset$\emptyset$ e l'insieme X appartengono a \tau$\tau$.
   • L'unione di qualsiasi collezione di elementi in \tau$\tau$ è in \tau$\tau$.
   • L'intersezione di un numero finito di elementi in \tau$\tau$ è in \tau$\tau$.

2. Base di una Topologia: Una base B per una topologia su X è un insieme di sottoinsiemi di X tale che ogni insieme aperto in \tau$\tau$ può essere scritto come un'unione di elementi di B.

3. Continuity: Una funzione f: (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$f: (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ è continua se per ogni insieme aperto V \in \tau_Y$V \in \tau_Y$, l'immagine inversa f^{-1}(V)$f^{-1}(V)$ è un insieme aperto in \tau_X$\tau_X$.

Esercizi

1. Costruzione di uno Spazio Topologico

Esercizio:
Sia X = \{a, b, c\}$X = \{a, b, c\}$. Costruisci una topologia su X che contenga \emptyset$\emptyset$ e X.

Soluzione:
Una possibile topologia \tau$\tau$ su X è:

\tau = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \}

$$\tau = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \}$$

Questa collezione soddisfa le proprietà di una topologia.

2. Verifica di una Base di Topologia

Esercizio:
Sia B = \{ \{1\}, \{1, 2\}, \{2\}, \{2, 3\}, \{3\} \}$B = \{ \{1\}, \{1, 2\}, \{2\}, \{2, 3\}, \{3\} \}$. Verifica se B è una base per una topologia su X = \{1, 2, 3\}$X = \{1, 2, 3\}$.

Soluzione:
Verifichiamo le condizioni:

• Ogni elemento di B è non vuoto e contiene elementi di X.
• L'unione di elementi di B può generare tutti gli insiemi aperti.
• Ogni punto di X è contenuto in almeno un elemento di B.

Quindi, B è una base per la topologia su X.

3. Continuità di una Funzione

Esercizio:
Siano (X, \tau_X)$(X, \tau_X)$ e (Y, \tau_Y)$(Y, \tau_Y)$ due spazi topologici. Definisci la funzione f: X \to Y$f: X \to Y$ tale che f(x) = y$f(x) = y$ per ogni x \in X$x \in X$. Verifica se f è continua.

Soluzione:
Per verificare la continuità, dobbiamo controllare se per ogni insieme aperto V \in \tau_Y$V \in \tau_Y$, l'immagine inversa f^{-1}(V)$f^{-1}(V)$ è aperta in \tau_X$\tau_X$. Se questa condizione è soddisfatta per tutti gli insiemi aperti, allora f è continua.

English version

Topology Exercises

Key Concepts

Topology is a branch of mathematics that studies the properties of spaces that are preserved under continuous deformations. Some fundamental concepts include:

1. Topological Space: A set X along with a collection of subsets \tau$\tau$ that satisfy the following properties:

• The empty set \emptyset$\emptyset$ and the set X are in \tau$\tau$.
• The union of any collection of elements in \tau$\tau$ is in \tau$\tau$.
• The intersection of a finite number of elements in \tau$\tau$ is in \tau$\tau$.

2. Base of a Topology: A basis B for a topology on X is a set of subsets of X such that every open set in \tau$\tau$ can be written as a union of elements of B.

3. Continuity: A function f: (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$f: (X, \tau_X) \to (Y, \tau_Y)$ is continuous if for every open set V \in \tau_Y$V \in \tau_Y$, the inverse image f^{-1}(V)$f^{-1}(V)$ is an open set in \tau_X$\tau_X$.

Exercises

1. Construction of a Topological Space

Exercise:
Let X = \{a, b, c\}$X = \{a, b, c\}$. Construct a topology on X that contains \emptyset$\emptyset$ and X.

Solution:
A possible \tau$\tau$ topology on X is:

\tau = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \}

$$\tau = \{ \emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a, b\}, \{a, b, c\} \}$$

This collection satisfies the properties of a topology.

2. Verify a Topology Basis

Exercise:
Let B = \{ \{1\}, \{1, 2\}, \{2\}, \{2, 3\}, \{3\} \}$B = \{ \{1\}, \{1, 2\}, \{2\}, \{2, 3\}, \{3\} \}$. Verify whether B is a basis for a topology on X = \{1, 2, 3\}$X = \{1, 2, 3\}$.

Solution:
Let's check the conditions:

• Every element of B is non-empty and contains elements of X.
• The union of elements of B can generate all open sets.
• Every point of X is contained in at least one element of B.

Therefore, B is a basis for the topology on X.

3. Continuity of a Function

Exercise:
Let (X, \tau_X)$(X, \tau_X)$ and (Y, \tau_Y)$(Y, \tau_Y)$ be two topological spaces. Define the function f: X \to Y$f: X \to Y$ such that f(x) = y$f(x) = y$ for every x \in X$x \in X$. Check whether f is continuous.

Solution:
To check continuity, we need to check whether for every open set V \in \tau_Y$V \in \tau_Y$, the inverse image f^{-1}(V)$f^{-1}(V)$ is open in \tau_X$\tau_X$. If this condition is satisfied for all open sets, then f is continuous.