Esercizi sulla Proiezione Ortogonale di un Vettore su uno Spazio Vettoriale

Esercizi sulla Proiezione Ortogonale di un Vettore su uno Spazio Vettoriale

Esercizi sulla Proiezione Ortogonale di un Vettore su uno Spazio Vettoriale

Versione italiana

Esercizi sulla Proiezione Ortogonale di un Vettore su uno Spazio Vettoriale

Introduzione

La proiezione ortogonale di un vettore \vec{v}$\vec{v}$ su uno spazio vettoriale generato da un insieme di vettori \{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_n}\}$\{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_n}\}$ è il vettore più vicino a \vec{v}$\vec{v}$ che appartiene a questo spazio. La proiezione è utile in molte applicazioni, come la regressione lineare e l'analisi dei dati.

Formula della Proiezione Ortogonale

La proiezione ortogonale di un vettore \vec{v}$\vec{v}$ su un vettore \vec{u}$\vec{u}$ è data dalla formula:

\text{Proiezione}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \vec{u}

$$\text{Proiezione}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \vec{u}$$

Esercizio 1: Proiezione di un Vettore su un Vettore

Problema: Trova la proiezione ortogonale del vettore \vec{v} = (3, 4)$\vec{v} = (3, 4)$ sul vettore \vec{u} = (1, 2)$\vec{u} = (1, 2)$.

Soluzione:

1. Calcoliamo il prodotto scalare \vec{v} \cdot \vec{u}$\vec{v} \cdot \vec{u}$:

   \vec{v} \cdot \vec{u} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11

   $$\vec{v} \cdot \vec{u} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11$$

2. Calcoliamo il prodotto scalare \vec{u} \cdot \vec{u}$\vec{u} \cdot \vec{u}$:

   \vec{u} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5

   $$\vec{u} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$$

3. Ora possiamo calcolare la proiezione:

   \text{Proiezione}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{11}{5} \vec{u} = \frac{11}{5} (1, 2) = \left( \frac{11}{5}, \frac{22}{5} \right)

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{11}{5} \vec{u} = \frac{11}{5} (1, 2) = \left( \frac{11}{5}, \frac{22}{5} \right)$$

Esercizio 2: Proiezione di un Vettore su uno Spazio Vettoriale

Problema: Trova la proiezione ortogonale del vettore \vec{v} = (1, 2, 3)$\vec{v} = (1, 2, 3)$ sul piano generato dai vettori \vec{u_1} = (1, 0, 0)$\vec{u_1} = (1, 0, 0)$ e \vec{u_2} = (0, 1, 0)$\vec{u_2} = (0, 1, 0)$.

Soluzione:

1. Calcoliamo la proiezione di \vec{v}$\vec{v}$ su \vec{u_1}$\vec{u_1}$:

   \text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_1}}{\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}} \vec{u_1}

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_1}}{\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}} \vec{u_1}$$
   • \vec{v} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$\vec{v} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$
   • \vec{u_1} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$\vec{u_1} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$
   • Quindi:

   \text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} = 1 \cdot (1, 0, 0) = (1, 0, 0)

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} = 1 \cdot (1, 0, 0) = (1, 0, 0)$$

2. Calcoliamo la proiezione di \vec{v}$\vec{v}$ su \vec{u_2}$\vec{u_2}$:

   \text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_2}}{\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}} \vec{u_2}

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_2}}{\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}} \vec{u_2}$$
   • Calcoliamo \vec{v} \cdot \vec{u_2}$\vec{v} \cdot \vec{u_2}$:

   \vec{v} \cdot \vec{u_2} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2

   $$\vec{v} \cdot \vec{u_2} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2$$
   • Calcoliamo \vec{u_2} \cdot \vec{u_2}$\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}$:

   \vec{u_2} \cdot \vec{u_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1

   $$\vec{u_2} \cdot \vec{u_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$$
   • Quindi:

   \text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v} = 2 \cdot (0, 1, 0) = (0, 2, 0)

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v} = 2 \cdot (0, 1, 0) = (0, 2, 0)$$

3. La proiezione ortogonale di \vec{v}$\vec{v}$ sul piano generato da \vec{u_1}$\vec{u_1}$ e \vec{u_2}$\vec{u_2}$ è la somma delle proiezioni sui singoli vettori:

   \text{Proiezione}_{\text{piano}} \vec{v} = \text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} + \text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v}

   $$\text{Proiezione}_{\text{piano}} \vec{v} = \text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} + \text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v}$$

   \text{Proiezione}_{\text{piano}} \vec{v} = (1, 0, 0) + (0, 2, 0) = (1, 2, 0)

   $$\text{Proiezione}_{\text{piano}} \vec{v} = (1, 0, 0) + (0, 2, 0) = (1, 2, 0)$$

Esercizio 3: Proiezione Ortogonale in uno Spazio di Dimensione Superiore

Problema: Trova la proiezione ortogonale del vettore \vec{v} = (2, 3, 4)$\vec{v} = (2, 3, 4)$ sul piano generato dai vettori \vec{u_1} = (1, 1, 0)$\vec{u_1} = (1, 1, 0)$ e \vec{u_2} = (0, 1, 1)$\vec{u_2} = (0, 1, 1)$.

Soluzione:

1. Calcoliamo la proiezione di \vec{v}$\vec{v}$ su \vec{u_1}$\vec{u_1}$:

   \text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_1}}{\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}} \vec{u_1}

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_1}}{\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}} \vec{u_1}$$
   • Calcoliamo \vec{v} \cdot \vec{u_1}$\vec{v} \cdot \vec{u_1}$:

   \vec{v} \cdot \vec{u_1} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 2 + 3 + 0 = 5

   $$\vec{v} \cdot \vec{u_1} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 2 + 3 + 0 = 5$$
   • Calcoliamo \vec{u_1} \cdot \vec{u_1}$\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}$:

   \vec{u_1} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 1 + 0 = 2

   $$\vec{u_1} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 1 + 0 = 2$$
   • Quindi:

   \text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{5}{2} (1, 1, 0) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 0 \right)

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{5}{2} (1, 1, 0) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 0 \right)$$

2. Calcoliamo la proiezione di \vec{v}$\vec{v}$ su \vec{u_2}$\vec{u_2}$:

   \text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_2}}{\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}} \vec{u_2}

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_2}}{\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}} \vec{u_2}$$
   • Calcoliamo \vec{v} \cdot \vec{u_2}$\vec{v} \cdot \vec{u_2}$:

   \vec{v} \cdot \vec{u_2} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 0 + 3 + 4 = 7

   $$\vec{v} \cdot \vec{u_2} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 0 + 3 + 4 = 7$$
   • Calcoliamo \vec{u_2} \cdot \vec{u_2}$\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}$:

   \vec{u_2} \cdot \vec{u_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 + 1 = 2

   $$\vec{u_2} \cdot \vec{u_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 + 1 = 2$$
   • Quindi:

   \text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{7}{2} (0, 1, 1) = \left( 0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right)

   $$\text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{7}{2} (0, 1, 1) = \left( 0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right)$$

3. La proiezione ortogonale di \vec{v}$\vec{v}$ sul piano generato da \vec{u_1}$\vec{u_1}$ e \vec{u_2}$\vec{u_2}$ è la somma delle proiezioni sui singoli vettori:

   \text{Proiezione}_{\text{piano}} \vec{v} = \text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} + \text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v}

   $$\text{Proiezione}_{\text{piano}} \vec{v} = \text{Proiezione}_{\vec{u_1}} \vec{v} + \text{Proiezione}_{\vec{u_2}} \vec{v}$$

   \text{Proiezione}_{\text{piano}} \vec{v} = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 0 \right) + \left( 0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2} + \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 6, \frac{7}{2} \right)

   $$\text{Proiezione}_{\text{piano}} \vec{v} = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 0 \right) + \left( 0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2} + \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 6, \frac{7}{2} \right)$$

English version

Exercises on Orthogonal Projection of a Vector on a Vector Space

Introduction

The orthogonal projection of a vector \vec{v}$\vec{v}$ on a vector space generated by a set of vectors \{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_n}\}$\{\vec{u_1}, \vec{u_2}, \ldots, \vec{u_n}\}$ is the closest vector to \vec{v}$\vec{v}$ that belongs to this space. The projection is useful in many applications, such as linear regression and data analysis.

Orthogonal Projection Formula

The orthogonal projection of a vector \vec{v}$\vec{v}$ onto a vector \vec{u}$\vec{u}$ is given by the formula:

\text{Projection}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \vec{u}

$$\text{Projection}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u}}{\vec{u} \cdot \vec{u}} \vec{u}$$

Exercise 1: Projection of a Vector onto a Vector

Problem: Find the orthogonal projection of the vector \vec{v} = (3, 4)$\vec{v} = (3, 4)$ onto the vector \vec{u} = (1, 2)$\vec{u} = (1, 2)$.

Solution:

1. Let's calculate the scalar product \vec{v} \cdot \vec{u}$\vec{v} \cdot \vec{u}$:

\vec{v} \cdot \vec{u} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11

$$\vec{v} \cdot \vec{u} = 3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 = 3 + 8 = 11$$

2. Let's calculate the scalar product \vec{u} \cdot \vec{u}$\vec{u} \cdot \vec{u}$:

\vec{u} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5

$$\vec{u} \cdot \vec{u} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 = 1 + 4 = 5$$

3. Now we can calculate the projection:

\text{Projection}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{11}{5} \vec{u} = \frac{11}{5} (1, 2) = \left( \frac{11}{5}, \frac{22}{5} \right)

$$\text{Projection}_{\vec{u}} \vec{v} = \frac{11}{5} \vec{u} = \frac{11}{5} (1, 2) = \left( \frac{11}{5}, \frac{22}{5} \right)$$

Exercise 2: Projection of a Vector on a Vector Space

Problem: Find the orthogonal projection of the vector \vec{v} = (1, 2, 3)$\vec{v} = (1, 2, 3)$ on the plane generated by the vectors \vec{u_1} = (1, 0, 0)$\vec{u_1} = (1, 0, 0)$ and \vec{u_2} = (0, 1, 0)$\vec{u_2} = (0, 1, 0)$.

Solution: 1. We calculate the projection of \vec{v}$\vec{v}$ on \vec{u_1}$\vec{u_1}$:

\text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_1}}{\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}} \vec{u_1}

$$\text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_1}}{\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}} \vec{u_1}$$

• \vec{v} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$\vec{v} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 2 \cdot 0 + 3 \cdot 0 = 1$
• \vec{u_1} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$\vec{u_1} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 + 0 \cdot 0 = 1$
• Therefore:

\text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} = 1 \cdot (1, 0, 0) = (1, 0, 0)

$$\text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} = 1 \cdot (1, 0, 0) = (1, 0, 0)$$

2. Let's calculate the projection of \vec{v}$\vec{v}$ onto \vec{u_2}$\vec{u_2}$:

\text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_2}}{\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}} \vec{u_2}

$$\text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_2}}{\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}} \vec{u_2}$$

• Let's calculate \vec{v} \cdot \vec{u_2}$\vec{v} \cdot \vec{u_2}$:

\vec{v} \cdot \vec{u_2} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2

$$\vec{v} \cdot \vec{u_2} = 1 \cdot 0 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 0 = 2$$

• Let's calculate \vec{u_2} \cdot \vec{u_2}$\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}$:

\vec{u_2} \cdot \vec{u_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1

$$\vec{u_2} \cdot \vec{u_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1$$

• Then:

\text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v} = 2 \cdot (0, 1, 0) = (0, 2, 0)

$$\text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v} = 2 \cdot (0, 1, 0) = (0, 2, 0)$$

3. The orthogonal projection of \vec{v}$\vec{v}$ on the plane generated by \vec{u_1}$\vec{u_1}$ and \vec{u_2}$\vec{u_2}$ is the sum of the projections on the individual vectors:

\text{Projection}_{\text{plane}} \vec{v} = \text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} + \text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v}

$$\text{Projection}_{\text{plane}} \vec{v} = \text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} + \text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v}$$

\text{Projection}_{\text{plane}} \vec{v} = (1, 0, 0) + (0, 2, 0) = (1, 2, 0)

$$\text{Projection}_{\text{plane}} \vec{v} = (1, 0, 0) + (0, 2, 0) = (1, 2, 0)$$

Exercise 3: Orthogonal Projection in a Higher Dimensional Space

Problem: Find the orthogonal projection of the vector \vec{v} = (2, 3, 4)$\vec{v} = (2, 3, 4)$ on the plane generated by the vectors \vec{u_1} = (1, 1, 0)$\vec{u_1} = (1, 1, 0)$ and \vec{u_2} = (0, 1, 1)$\vec{u_2} = (0, 1, 1)$.

Solution:

1. Let's calculate the projection of \vec{v}$\vec{v}$ onto \vec{u_1}$\vec{u_1}$:

\text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_1}}{\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}} \vec{u_1}

$$\text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_1}}{\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}} \vec{u_1}$$

• Let's calculate \vec{v} \cdot \vec{u_1}$\vec{v} \cdot \vec{u_1}$:

\vec{v} \cdot \vec{u_1} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 2 + 3 + 0 = 5

$$\vec{v} \cdot \vec{u_1} = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 0 = 2 + 3 + 0 = 5$$

• Let's calculate \vec{u_1} \cdot \vec{u_1}$\vec{u_1} \cdot \vec{u_1}$:

\vec{u_1} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 1 + 0 = 2

$$\vec{u_1} \cdot \vec{u_1} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 = 1 + 1 + 0 = 2$$

• So:

\text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{5}{2} (1, 1, 0) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 0 \right)

$$\text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} = \frac{5}{2} (1, 1, 0) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 0 \right)$$

2. Let's calculate the projection of \vec{v}$\vec{v}$ onto \vec{u_2}$\vec{u_2}$:

\text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_2}}{\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}} \vec{u_2}

$$\text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{u_2}}{\vec{u_2} \cdot \vec{u_2}} \vec{u_2}$$

• Let's calculate \vec{v} \cdot \vec{u_2}$\vec{v} \cdot \vec{u_2}$:

\vec{v} \cdot \vec{u_2} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 0 + 3 + 4 = 7

$$\vec{v} \cdot \vec{u_2} = 2 \cdot 0 + 3 \cdot 1 + 4 \cdot 1 = 0 + 3 + 4 = 7$$

• Let's calculate \vec{u_2} \cdot c{u_2}$\vec{u_2} \cdot c{u_2}$:

\vec{u_2} \cdot \vec{u_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 + 1 = 2

$$\vec{u_2} \cdot \vec{u_2} = 0 \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 = 0 + 1 + 1 = 2$$

• Therefore:

\text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{7}{2} (0, 1, 1) = \left( 0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right)

$$\text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v} = \frac{7}{2} (0, 1, 1) = \left( 0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right)$$

3. The orthogonal projection of \vec{v}$\vec{v}$ on the plane generated by \vec{u_1}$\vec{u_1}$ and \vec{u_2}$\vec{u_2}$ is the sum of the projections on the individual vectors:

\text{Projection}_{\text{plane}} \vec{v} = \text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} + \text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v}

$$\text{Projection}_{\text{plane}} \vec{v} = \text{Projection}_{\vec{u_1}} \vec{v} + \text{Projection}_{\vec{u_2}} \vec{v}$$

\text{Projection}_{\text{plane}} \vec{v} = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 0 \right) + \left( 0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2} + \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 6, \frac{7}{2} \right)

$$\text{Projection}_{\text{plane}} \vec{v} = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2}, 0 \right) + \left( 0, \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, \frac{5}{2} + \frac{7}{2}, \frac{7}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 6, \frac{7}{2} \right)$$