Esercizi sulla portata

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Esercizi sulla portata

Versione italiana

Esercizi sulla portata

La portata è un concetto fondamentale nella fluidodinamica che descrive il volume di fluido che passa attraverso una sezione trasversale di un condotto in un'unità di tempo. Ecco una panoramica dei concetti fondamentali e alcuni esercizi pratici.

Concetti Fondamentali

1. Portata (Q): La portata è definita come il volume di fluido che attraversa una sezione trasversale in un certo intervallo di tempo. Si misura in metri cubi al secondo (m³/s) o litri al secondo (L/s). La formula per calcolare la portata è:

   Q = A \cdot v

   $$Q = A \cdot v$$

   dove:

   • Q è la portata (in m³/s),
   • A è l'area della sezione trasversale del condotto (in m²),
   • v è la velocità del fluido (in m/s).

2. Area della sezione trasversale: Per un condotto circolare, l'area può essere calcolata con la formula:

   A = \pi \cdot r^2

   $$A = \pi \cdot r^2$$

   dove r è il raggio del condotto.

3. Conservazione della massa: In un sistema chiuso, la portata deve rimanere costante. Se un fluido scorre attraverso sezioni di area diversa, la velocità del fluido cambierà in modo tale che la portata rimanga costante.

Esercizi Pratici

Esercizio 1: Calcolo della portata

Un tubo ha un diametro di 0.1 m e il fluido scorre con una velocità di 2 m/s. Calcola la portata del fluido.

• Calcoliamo il raggio del tubo:

  r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m}

  $$r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m}$$

• Calcoliamo l'area della sezione trasversale:

  A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2

  $$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2$$

• Calcoliamo la portata:

  Q = A \cdot v = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \text{m/s} \approx 0.0157 \, \text{m}^3/s

  $$Q = A \cdot v = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \text{m/s} \approx 0.0157 \, \text{m}^3/s$$

Quindi, la portata del fluido è di circa 0.0157 m³/s.

Esercizio 2: Variazione della velocità

Un fluido scorre attraverso un tubo che si restringe. Nella sezione più ampia, il diametro è di 0.2 m e la velocità è di 1 m/s. Qual è la velocità del fluido in una sezione più stretta con un diametro di 0.1 m?

• Calcoliamo l'area della sezione più ampia:

  A_1 = \pi \cdot \left(\frac{0.2}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.1)^2 \approx 0.0314 \, \text{m}^2

  $$A_1 = \pi \cdot \left(\frac{0.2}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.1)^2 \approx 0.0314 \, \text{m}^2$$

• Calcoliamo la portata nella sezione più ampia:

  Q = A_1 \cdot v_1 = 0.0314 \, \text{m}^2 \cdot 1 \, \text{m/s} \approx 0.0314 \, \text{m}^3/s

  $$Q = A_1 \cdot v_1 = 0.0314 \, \text{m}^2 \cdot 1 \, \text{m/s} \approx 0.0314 \, \text{m}^3/s$$

• Calcoliamo l'area della sezione più stretta:

  A_2 = \pi \cdot \left(\frac{0.1}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.05)^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2

  $$A_2 = \pi \cdot \left(\frac{0.1}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.05)^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2$$

• Poiché la portata deve rimanere costante, possiamo scrivere:

  Q = A_2 \cdot v_2

  $$Q = A_2 \cdot v_2$$

  0.0314 \, \text{m}^3/s = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot v_2

  $$0.0314 \, \text{m}^3/s = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot v_2$$

• Isoliamo v_2$v_2$:

v_2 = \frac{0.0314 \, \text{m}^3/s}{0.00785 \, \text{m}^2} \approx 4 \, \text{m/s}

$$v_2 = \frac{0.0314 \, \text{m}^3/s}{0.00785 \, \text{m}^2} \approx 4 \, \text{m/s}$$

Quindi, la velocità del fluido nella sezione più stretta è di circa 4 m/s.

Esercizio 3: Calcolo della portata in litri al secondo

Un tubo ha un diametro di 0.15 m e il fluido scorre con una velocità di 3 m/s. Calcola la portata in litri al secondo.

1. Calcoliamo il raggio del tubo:

   r = \frac{d}{2} = \frac{0.15 \, \text{m}}{2} = 0.075 \, \text{m}

   $$r = \frac{d}{2} = \frac{0.15 \, \text{m}}{2} = 0.075 \, \text{m}$$

2. Calcoliamo l'area della sezione trasversale:

   A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.075 \, \text{m})^2 \approx 0.01767 \, \text{m}^2

   $$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.075 \, \text{m})^2 \approx 0.01767 \, \text{m}^2$$

3. Calcoliamo la portata:

   Q = A \cdot v = 0.01767 \, \text{m}^2 \cdot 3 \, \text{m/s} \approx 0.05301 \, \text{m}^3/s

   $$Q = A \cdot v = 0.01767 \, \text{m}^2 \cdot 3 \, \text{m/s} \approx 0.05301 \, \text{m}^3/s$$

4. Convertiamo la portata in litri al secondo:
   Poiché 1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{litri}$1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{litri}$:

   Q \approx 0.05301 \, \text{m}^3/s \cdot 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 53.01 \, \text{L/s}

   $$Q \approx 0.05301 \, \text{m}^3/s \cdot 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 53.01 \, \text{L/s}$$

Quindi, la portata del fluido è di circa 53.01 L/s.

Esercizio 4: Determinazione della portata in un condotto inclinato

Un condotto inclinato ha un diametro di 0.1 m e il fluido scorre con una velocità di 1.5 m/s. Calcola la portata del fluido.

1. Calcoliamo il raggio del condotto:

   r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m}

   $$r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m}$$

2. Calcoliamo l'area della sezione trasversale:

   A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2

   $$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2$$

3. Calcoliamo la portata:

   Q = A \cdot v = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot 1.5 \, \text{m/s} \approx 0.01178 \, \text{m}^3/s

   $$Q = A \cdot v = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot 1.5 \, \text{m/s} \approx 0.01178 \, \text{m}^3/s$$

4. Convertiamo la portata in litri al secondo:

   Q \approx 0.01178 \, \text{m}^3/s \cdot 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 11.78 \, \text{L/s}

   $$Q \approx 0.01178 \, \text{m}^3/s \cdot 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 11.78 \, \text{L/s}$$

Quindi, la portata del fluido nel condotto inclinato è di circa 11.78 L/s.

English version

Flow Exercises

Flow is a fundamental concept in fluid dynamics that describes the volume of fluid passing through a cross-section of a pipe in a unit of time. Here is an overview of the fundamental concepts and some practical exercises.

Fundamental Concepts

1. Flow (Q): Flow is defined as the volume of fluid passing through a cross-section in a certain interval of time. It is measured in cubic meters per second (m³/s) or liters per second (L/s). The formula for calculating flow is:

Q = A \cdot v

$$Q = A \cdot v$$

where:

• Q is the flow rate (in m³/s),
• A is the cross-sectional area of ​​the pipe (in m²),
• v is the velocity of the fluid (in m/s).

2. Cross-sectional area: For a circular pipe, the area can be calculated using the formula:

A = \pi \cdot r^2

$$A = \pi \cdot r^2$$

where r is the radius of the pipe.

3. Conservation of mass: In a closed system, the flow rate must remain constant. If a fluid flows through sections of different areas, the velocity of the fluid will change such that the flow rate remains constant.

Practical Exercises

Exercise 1: Calculating the flow rate

A pipe has a diameter of 0.1 m and the fluid flows with a velocity of 2 m/s. Calculate the flow rate of the fluid.

• Let's calculate the radius of the pipe:

r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m}

$$r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m}$$

• Let's calculate the cross-sectional area:

A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2

$$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2$$

• Let's calculate the flow rate:

Q = A \cdot v = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \text{m/s} \approx 0.0157 \, \text{m}^3/s

$$Q = A \cdot v = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \text{m/s} \approx 0.0157 \, \text{m}^3/s$$

So, the flow rate of the fluid is approximately 0.0157 m³/s.

Exercise 2: Velocity Variation

A fluid flows through a narrowing tube. In the widest section, the diameter is 0.2 m and the velocity is 1 m/s. What is the velocity of the fluid in a narrower section with a diameter of 0.1 m?

• Let's calculate the area of ​​the widest section:

A_1 = \pi \cdot \left(\frac{0.2}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.1)^2 \approx 0.0314 \, \text{m}^2

$$A_1 = \pi \cdot \left(\frac{0.2}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.1)^2 \approx 0.0314 \, \text{m}^2$$

• Let's calculate the flow rate in the widest section:

Q = A_1 \cdot v_1 = 0.0314 \, \text{m}^2 \cdot 1 \, \text{m/s} \approx 0.0314 \, \text{m}^3/s

$$Q = A_1 \cdot v_1 = 0.0314 \, \text{m}^2 \cdot 1 \, \text{m/s} \approx 0.0314 \, \text{m}^3/s$$

• Let's calculate the area of ​​the narrowest section:

A_2 = \pi \cdot \left(\frac{0.1}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.05)^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2

$$A_2 = \pi \cdot \left(\frac{0.1}{2}\right)^2 = \pi \cdot (0.05)^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2$$

• Since the flow rate must remain constant, we can write:

Q = A_2 \cdot v_2

$$Q = A_2 \cdot v_2$$

0.0314 \, \text{m}^3/s = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot v_2

$$0.0314 \, \text{m}^3/s = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot v_2$$

• Let's isolate v_2$v_2$:

v_2 = \frac{0.0314 \, \text{m}^3/s}{0.00785 \, \text{m}^2} \approx 4 \, \text{m/s}

$$v_2 = \frac{0.0314 \, \text{m}^3/s}{0.00785 \, \text{m}^2} \approx 4 \, \text{m/s}$$

So, the velocity of the fluid in the narrowest section is about 4 m/s.

Exercise 3: Calculating the flow rate in liters per second

A pipe has a diameter of 0.15 m and the fluid flows with a velocity of 3 m/s. Calculate the flow rate in liters per second.

1. Let's calculate the radius of the pipe:

r = \frac{d}{2} = \frac{0.15 \, \text{m}}{2} = 0.075 \, \text{m}

$$r = \frac{d}{2} = \frac{0.15 \, \text{m}}{2} = 0.075 \, \text{m}$$

2. Let's calculate the cross-sectional area:

A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.075 \, \text{m})^2 \approx 0.01767 \, \text{m}^2

$$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.075 \, \text{m})^2 \approx 0.01767 \, \text{m}^2$$

3. Let's calculate the flow rate:

Q = A \cdot v = 0.01767 \, \text{m}^2 \cdot 3 \, \text{m/s} \approx 0.05301 \, \text{m}^3/s

$$Q = A \cdot v = 0.01767 \, \text{m}^2 \cdot 3 \, \text{m/s} \approx 0.05301 \, \text{m}^3/s$$

4. Let's convert the flow rate to liters per second:
   Since 1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{liters}$1 \, \text{m}^3 = 1000 \, \text{liters}$:

Q \approx 0.05301 \, \text{m}^3/s \cdot 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 53.01 \, \text{L/s}

$$Q \approx 0.05301 \, \text{m}^3/s \cdot 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 53.01 \, \text{L/s}$$

Therefore, the flow rate of the fluid is approximately 53.01 L/s.

Exercise 4: Determining the flow rate in an inclined duct

An inclined duct has a diameter of 0.1 m and the fluid flows with a speed of 1.5 m/s. Calculate the flow rate of the fluid.

1. Let's calculate the radius of the duct:

r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m}

$$r = \frac{d}{2} = \frac{0.1 \, \text{m}}{2} = 0.05 \, \text{m}$$

2. Let's calculate the cross-sectional area:

A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2

$$A = \pi \cdot r^2 = \pi \cdot (0.05 \, \text{m})^2 \approx 0.00785 \, \text{m}^2$$

3. Let's calculate the flow rate:

Q = A \cdot v = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot 1.5 \, \text{m/s} \approx 0.01178 \, \text{m}^3/s

$$Q = A \cdot v = 0.00785 \, \text{m}^2 \cdot 1.5 \, \text{m/s} \approx 0.01178 \, \text{m}^3/s$$

4. Let's convert the flow rate to liters per second:

Q \approx 0.01178 \, \text{m}^3/s \cdot 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 11.78 \, \text{L/s}

$$Q \approx 0.01178 \, \text{m}^3/s \cdot 1000 \, \text{L/m}^3 \approx 11.78 \, \text{L/s}$$

So, the flow rate of the fluid in the inclined duct is about 11.78 L/s.