Esercizi sulla distribuzione normale

Esercizi sulla distribuzione normale

Esercizi sulla distribuzione normale

Versione italiana

Esercizi sulla distribuzione normale

La distribuzione normale, nota anche come distribuzione gaussiana, è una delle distribuzioni di probabilità più importanti in statistica. È caratterizzata da una forma a campana e descrive come i valori di una variabile casuale sono distribuiti. Ecco alcuni concetti chiave e esercizi pratici.

Concetti chiave della distribuzione normale

1. Media (\mu$\mu$): È il valore centrale della distribuzione. In una distribuzione normale, la media, la moda e la mediana coincidono.

2. Deviazione standard (\sigma$\sigma$): Misura la dispersione dei dati rispetto alla media. Una deviazione standard più piccola indica che i dati sono più concentrati attorno alla media.

3. Curva di distribuzione normale: La forma della curva è simmetrica rispetto alla media. Circa il 68% dei dati si trova entro una deviazione standard dalla media, circa il 95% entro due deviazioni standard e circa il 99,7% entro tre deviazioni standard (Regola empirica o 68-95-99.7).

4. Z-score: Indica quanti deviazioni standard un valore è distante dalla media. È calcolato come:

   z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}

   $$z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$$

   dove X è il valore osservato, \mu$\mu$ è la media e \sigma$\sigma$ è la deviazione standard.

Esercizi sulla distribuzione normale

Esercizio 1: Calcolo dello Z-score

Problema: In una distribuzione normale, la media è 100 e la deviazione standard è 15. Calcola lo Z-score per un valore di 130.

Soluzione:
Utilizziamo la formula dello Z-score:

z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}

$$z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$$

Sostituiamo i valori:

z = \frac{(130 - 100)}{15} = \frac{30}{15} = 2

$$z = \frac{(130 - 100)}{15} = \frac{30}{15} = 2$$

Quindi, lo Z-score è 2, il che significa che 130 è 2 deviazioni standard sopra la media.

Esercizio 2: Percentuale di dati sotto un certo valore

Problema: Utilizzando la stessa distribuzione normale (media = 100, deviazione standard = 15), qual è la percentuale di dati che si trovano sotto il valore di 115?

Soluzione:

1. Calcoliamo lo Z-score per 115:

   z = \frac{(115 - 100)}{15} = \frac{15}{15} = 1

   $$z = \frac{(115 - 100)}{15} = \frac{15}{15} = 1$$
2. Consultiamo una tabella della distribuzione normale standard (o utilizziamo una calcolatrice statistica) per trovare la percentuale di dati sotto uno Z-score di 1. La percentuale è circa 84,13%.

Quindi, circa l'84,13% dei dati si trova sotto il valore di 115.

Esercizio 3: Intervallo di valori

Problema: In una distribuzione normale con media 50 e deviazione standard 5, qual è l'intervallo di valori che contiene il 68% dei dati?

Soluzione:
Secondo la regola empirica, il 68% dei dati si trova entro una deviazione standard dalla media. Pertanto, l'intervallo è:

\text{Media} - \sigma \quad \text{a} \quad \text{Media} + \sigma

$$\text{Media} - \sigma \quad \text{a} \quad \text{Media} + \sigma$$

Calcoliamo:

50 - 5 = 45 \quad \text{e} \quad 50 + 5 = 55

$$50 - 5 = 45 \quad \text{e} \quad 50 + 5 = 55$$

Quindi, l'intervallo che contiene il 68% dei dati è da 45 a 55.

Esercizio 4: Probabilità di un valore specifico

Problema: In una distribuzione normale con media 200 e deviazione standard 20, qual è la probabilità di ottenere un valore superiore a 240?

Soluzione:

1. Calcoliamo lo Z-score per 240:

   z = \frac{(240 - 200)}{20} = \frac{40}{20} = 2

   $$z = \frac{(240 - 200)}{20} = \frac{40}{20} = 2$$
2. Consultiamo una tabella della distribuzione normale standard per trovare la probabilità di Z > 2. La probabilità di Z < 2 è circa 97,72%, quindi:

   P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228

   $$P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0,9772 = 0,0228$$

Quindi, la probabilità di ottenere un valore superiore a 240 in una distribuzione normale con media 200 e deviazione standard 20 è:

P(Z > 2) = 0,0228

$$P(Z > 2) = 0,0228$$

Questo significa che c'è circa il 2,28% di probabilità di ottenere un valore superiore a 240.

Esercizio 5: Calcolo dell'intervallo di confidenza

Problema: In una distribuzione normale con media 75 e deviazione standard 10, calcola l'intervallo di confidenza al 95% per la media.

Soluzione:

1. Per un intervallo di confidenza al 95%, utilizziamo il valore critico Z, che è circa 1,96 per una distribuzione normale.
2. Calcoliamo l'intervallo di confidenza:

   \text{Intervallo} = \mu \pm (Z \cdot \sigma)

   $$\text{Intervallo} = \mu \pm (Z \cdot \sigma)$$
   Sostituiamo i valori:

   \text{Intervallo} = 75 \pm (1,96 \cdot 10)

   $$\text{Intervallo} = 75 \pm (1,96 \cdot 10)$$

   \text{Intervallo} = 75 \pm 19,6

   $$\text{Intervallo} = 75 \pm 19,6$$
   Quindi, l'intervallo di confidenza al 95% è:

   [75 - 19,6, 75 + 19,6] = [55,4, 94,6]

   $$[75 - 19,6, 75 + 19,6] = [55,4, 94,6]$$

Esercizio 6: Determinazione della media da uno Z-score

Problema: Un valore ha uno Z-score di -1,5 in una distribuzione normale con deviazione standard di 4. Qual è il valore corrispondente se la media è sconosciuta?

Soluzione:
Utilizziamo la formula dello Z-score:

z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}

$$z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$$

Sappiamo che:

• z = -1,5$z = -1,5$
• \sigma = 4$\sigma = 4$

Sostituiamo i valori nella formula:

-1,5 = \frac{(X - \mu)}{4}

$$-1,5 = \frac{(X - \mu)}{4}$$

Moltiplichiamo entrambi i lati per 4:

-6 = X - \mu

$$-6 = X - \mu$$

Quindi:

X = \mu - 6

$$X = \mu - 6$$

Questo significa che il valore X è 6 unità sotto la media \mu$\mu$.

English version

Normal Distribution Exercises

The normal distribution, also known as the Gaussian distribution, is one of the most important probability distributions in statistics. It is characterized by a bell shape and describes how the values ​​of a random variable are distributed. Here are some key concepts and practice exercises.

Key Concepts of the Normal Distribution

1. Mean (\mu$\mu$): It is the central value of the distribution. In a normal distribution, the mean, the mode and the median coincide.

2. Standard Deviation (\sigma$\sigma$): It measures the dispersion of the data from the mean. A smaller standard deviation indicates that the data is more concentrated around the mean.

3. Normal Distribution Curve: The shape of the curve is symmetrical about the mean. About 68% of the data lies within one standard deviation of the mean, about 95% within two standard deviations and about 99.7% within three standard deviations (Rule of Thumb or 68-95-99.7).

4. Z-score: Indicates how many standard deviations a value is away from the mean. It is calculated as:

z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}

$$z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$$

where X is the observed value, \mu$\mu$ is the mean and \sigma$\sigma$ is the standard deviation.

Normal Distribution Exercises

Exercise 1: Calculating the Z-score

Problem: In a normal distribution, the mean is 100 and the standard deviation is 15. Calculate the Z-score for a value of 130.

Solution:
We use the Z-score formula:

z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}

$$z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$$

We substitute the values:

z = \frac{(130 - 100)}{15} = \frac{30}{15} = 2

$$z = \frac{(130 - 100)}{15} = \frac{30}{15} = 2$$

So, the Z-score is 2, which means that 130 is 2 standard deviations above the mean.

Exercise 2: Percentage of data below a certain value

Problem: Using the same normal distribution (mean = 100, standard deviation = 15), what percentage of data is below 115?

Solution:

1. Calculate the Z-score for 115:

z = \frac{(115 - 100)}{15} = \frac{15}{15} = 1

$$z = \frac{(115 - 100)}{15} = \frac{15}{15} = 1$$

2. Consult a standard normal distribution table (or use a statistical calculator) to find the percentage of data below a Z-score of 1. The percentage is approximately 84.13%.

Therefore, approximately 84.13% of the data lies below the value of 115.

Exercise 3: Range of values

Problem: In a normal distribution with mean 50 and standard deviation 5, what is the range of values ​​that contains 68% of the data?

Solution:
According to the rule of thumb, 68% of the data lies within one standard deviation of the mean. Therefore, the range is:

\text{Mean} - \sigma \quad \text{a} \quad \text{Mean} + \sigma

$$\text{Mean} - \sigma \quad \text{a} \quad \text{Mean} + \sigma$$

Let's calculate:

50 - 5 = 45 \quad \text{e} \quad 50 + 5 = 55

$$50 - 5 = 45 \quad \text{e} \quad 50 + 5 = 55$$

So, the range that contains 68% of the data is from 45 to 55.

Exercise 4: Probability of a Specific Value

Problem: In a normal distribution with mean 200 and standard deviation 20, what is the probability of obtaining a value greater than 240?

Solution:

1. Calculate the Z-score for 240:

z = \frac{(240 - 200)}{20} = \frac{40}{20} = 2

$$z = \frac{(240 - 200)}{20} = \frac{40}{20} = 2$$

2. Consult a standard normal distribution table to find the probability of Z > 2. The probability of Z < 2 is about 97.72%, so:

P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

$$P(Z > 2) = 1 - P(Z < 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228$$

So, the probability of getting a value greater than 240 in a normal distribution with mean 200 and standard deviation 20 is:

P(Z > 2) = 0.0228

$$P(Z > 2) = 0.0228$$

This means that there is about a 2.28% chance of getting a value greater than 240.

Exercise 5: Calculating the Confidence Interval

Problem: In a normal distribution with mean 75 and standard deviation 10, calculate the 95% confidence interval for the mean.

Solution:

1. For a 95% confidence interval, we use the critical value Z, which is approximately 1.96 for a normal distribution.
2. Let's calculate the confidence interval:

\text{Interval} = \mu \pm (Z \cdot \sigma)

$$\text{Interval} = \mu \pm (Z \cdot \sigma)$$

Let's substitute the values:

\text{Interval} = 75 \pm (1.96 \cdot 10)

$$\text{Interval} = 75 \pm (1.96 \cdot 10)$$

\text{Interval} = 75 \pm 19.6

$$\text{Interval} = 75 \pm 19.6$$

So, the 95% confidence interval is:

[75 - 19.6, 75 + 19.6] = [55.4, 94.6]

$$[75 - 19.6, 75 + 19.6] = [55.4, 94.6]$$

Exercise 6: Determining the mean from a Z-score

Problem: A value has a Z-score of -1.5 in a normal distribution with a standard deviation of 4. What is the corresponding value if the mean is unknown?

Solution:
We use the Z-score formula:

z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}

$$z = \frac{(X - \mu)}{\sigma}$$

We know that:

• z = -1.5$z = -1.5$
• \sigma = 4$\sigma = 4$

We substitute the values ​​into the formula:

-1.5 = \frac{(X - \mu)}{4}

$$-1.5 = \frac{(X - \mu)}{4}$$

We multiply both sides by 4:

-6 = X - \mu

$$-6 = X - \mu$$

So:

X = \mu - 6

$$X = \mu - 6$$

This means that the value X is 6 units below the average \mu$\mu$.