Esercizi sulla distanza tra un punto e una retta

Esercizi sulla distanza tra un punto e una retta

Esercizi sulla distanza tra un punto e una retta

Versione italiana

Esercizi sulla distanza tra un punto e una retta

Distanza Punto-Retta con Vettori

Introduzione

La distanza tra un punto e una retta nel piano può essere calcolata utilizzando i vettori. Consideriamo un punto P(x_0, y_0)$P(x_0, y_0)$ e una retta definita dall'equazione parametrica:

\mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t \mathbf{b}

$$\mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t \mathbf{b}$$

Dove:

• \mathbf{a}$\mathbf{a}$ è un punto sulla retta (ad esempio, A(x_1, y_1)$A(x_1, y_1)$).
• \mathbf{b}$\mathbf{b}$ è un vettore direttore della retta.
• t è un parametro.

Formula della Distanza

La distanza d tra il punto P e la retta può essere calcolata utilizzando la seguente formula:

d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}

$$d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$$

Dove:

• \mathbf{AP}$\mathbf{AP}$ è il vettore che va dal punto A sulla retta al punto P.
• \mathbf{n}$\mathbf{n}$ è un vettore normale alla retta.

Vettore Normale

Se \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$, un vettore normale \mathbf{n}$\mathbf{n}$ alla retta può essere dato da:

\mathbf{n} = \begin{bmatrix} -b_2 \\ b_1 \end{bmatrix}

$$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} -b_2 \\ b_1 \end{bmatrix}$$

Esercizi

Esercizio 1: Distanza da un Punto a una Retta

Problema: Calcola la distanza dal punto P(3, 4) alla retta definita dai punti A(1, 2) e B(5, 6).

Soluzione:

1. Trova il vettore direttore \mathbf{b}$\mathbf{b}$ della retta:

   \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 - 1 \\ 6 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}

   $$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 - 1 \\ 6 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}$$

2. Trova il vettore \mathbf{AP}$\mathbf{AP}$:

   \mathbf{AP} = \begin{bmatrix} 3 - 1 \\ 4 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

   $$\mathbf{AP} = \begin{bmatrix} 3 - 1 \\ 4 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

3. Calcola il vettore normale \mathbf{n}$\mathbf{n}$:

   \mathbf{n} = \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \end{bmatrix}

   $$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \end{bmatrix}$$

4. Calcola il prodotto scalare \mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}$\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}$:

   \mathbf{AP} \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \end{bmatrix} = 2(-4) + 2(4) = -8 + 8 = 0

   $$\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \end{bmatrix} = 2(-4) + 2(4) = -8 + 8 = 0$$

5. Calcola la norma di \mathbf{n}$\mathbf{n}$:

   |\mathbf{n}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

   $$|\mathbf{n}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

6. Calcola la distanza d:

   d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|0|}{4\sqrt{2}} = 0

   $$d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|0|}{4\sqrt{2}} = 0$$

Quindi, la distanza dal punto P(3, 4) alla retta è 0, il che significa che il punto si trova sulla retta.

Esercizio 2: Distanza da un Punto a una Retta

Problema: Calcola la distanza dal punto P(2, 3) alla retta definita dall'equazione 2x + 3y - 6 = 0.

Soluzione:

1. Trova un punto sulla retta. Scegliamo A(0, 2) (quando x = 0):

   • Verifica: 2(0) + 3(2) - 6 = 0 → 0 + 6 - 6 = 0 (quindi A(0, 2) è un punto sulla retta).

2. Trova un altro punto sulla retta. Scegliamo B(3, 0) (quando y = 0):

   • Verifica: 2(3) + 3(0) - 6 = 0 → 6 + 0 - 6 = 0 (quindi B(3, 0) è un altro punto sulla retta).

3. Trova il vettore direttore \mathbf{b}$\mathbf{b}$ della retta:

   \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 - 0 \\ 0 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}

   $$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 - 0 \\ 0 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$$

4. Trova il vettore \mathbf{AP}$\mathbf{AP}$:

   \mathbf{AP} = \begin{bmatrix} 2 - 0 \\ 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

   $$\mathbf{AP} = \begin{bmatrix} 2 - 0 \\ 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

5. Calcola il vettore normale \mathbf{n}$\mathbf{n}$:

   • Dalla retta 2x + 3y - 6 = 0, il vettore normale è dato da \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$.

6. Calcola il prodotto scalare \mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}$\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}$:

   \mathbf{AP} \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = 2(2) + 1(3) = 4 + 3 = 7

   $$\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = 2(2) + 1(3) = 4 + 3 = 7$$

7. Calcola la norma di \mathbf{n}$\mathbf{n}$:

   |\mathbf{n}| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

   $$|\mathbf{n}| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

8. Calcola la distanza d:

   d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|7|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}} \approx 1.94

   $$d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|7|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}} \approx 1.94$$

Quindi, la distanza dal punto P(2, 3) alla retta 2x + 3y - 6 = 0 è \frac{7}{\sqrt{13}}$\frac{7}{\sqrt{13}}$ unità, che è approssimativamente 1.94 unità.

English version

Exercises on the distance between a point and a line

Point-Line Distance with Vectors

Introduction

The distance between a point and a line in the plane can be calculated using vectors. Consider a point P(x_0, y_0)$P(x_0, y_0)$ and a line defined by the parametric equation:

\mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t \mathbf{b}

$$\mathbf{r}(t) = \mathbf{a} + t \mathbf{b}$$

Where:

• \mathbf{a}$\mathbf{a}$ is a point on the line (for example, A(x_1, y_1)$A(x_1, y_1)$).
• \mathbf{b}$\mathbf{b}$ is a direction vector of the line.
• t is a parameter.

Distance Formula

The distance d between the point P and the line can be calculated using the following formula:

d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}

$$d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|}$$

Where:

• \mathbf{AP}$\mathbf{AP}$ is the vector from point A on the line to point P.
• \mathbf{n}$\mathbf{n}$ is a vector normal to the line.

Normal Vector

If \mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \end{bmatrix}$, a normal vector \mathbf{n}$\mathbf{n}$ to the line can be given by:

\mathbf{n} = \begin{bmatrix} -b_2 \\ b_1 \end{bmatrix}

$$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} -b_2 \\ b_1 \end{bmatrix}$$

Exercises

Exercise 1: Distance from a Point to a Line

Problem: Calculate the distance from the point P(3, 4) to the line defined by the points A(1, 2) and B(5, 6).

Solution:

1. Find the director vector \mathbf{b}$\mathbf{b}$ of the line:

\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 - 1 \\ 6 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}

$$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 - 1 \\ 6 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 4 \end{bmatrix}$$

2. Find the vector \mathbf{AP}$\mathbf{AP}$:

\mathbf{AP} = \begin{bmatrix} 3 - 1 \\ 4 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}

$$\mathbf{AP} = \begin{bmatrix} 3 - 1 \\ 4 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix}$$

3. Calculate the normal vector \mathbf{n}$\mathbf{n}$:

\mathbf{n} = \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \end{bmatrix}

$$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \end{bmatrix}$$

4. Calculate the scalar product \mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}$\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}$:

\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \end{bmatrix} = 2(-4) + 2(4) = -8 + 8 = 0 

$$\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} -4 \\ 4 \end{bmatrix} = 2(-4) + 2(4) = -8 + 8 = 0$$

5. Calculate the norm of \mathbf{n}$\mathbf{n}$:

 |\mathbf{n}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}

$$|\mathbf{n}| = \sqrt{(-4)^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$$

6. Calculate the distance d:

d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|0|}{4\sqrt{2}} = 0

$$d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|0|}{4\sqrt{2}} = 0$$

So, the distance from the point P(3, 4) to the line is 0, which means that the point is on the line.

Exercise 2: Distance from a Point to a Line

Problem: Calculate the distance from the point P(2, 3) to the line defined by the equation 2x + 3y - 6 = 0.

Solution:

1. Find a point on the line. Let's choose A(0, 2) (when x = 0):

• Verify: 2(0) + 3(2) - 6 = 0 → 0 + 6 - 6 = 0 (so A(0, 2) is a point on the line).

2. Find another point on the line. Let's choose B(3, 0) (when y = 0):

• Verify: 2(3) + 3(0) - 6 = 0 → 6 + 0 - 6 = 0 (so B(3, 0) is another point on the line).

3. Find the director vector \mathbf{b}$\mathbf{b}$ of the line:

\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 - 0 \\ 0 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}

$$\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 - 0 \\ 0 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}$$

4. Find the vector \mathbf{AP}$\mathbf{AP}$:

\mathbf{AP} = \begin{bmatrix} 2 - 0 \\ 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}

$$\mathbf{AP} = \begin{bmatrix} 2 - 0 \\ 3 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$$

5. Calculate the normal vector \mathbf{n}$\mathbf{n}$:

• From the line 2x + 3y - 6 = 0, the normal vector is given by

\mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$\mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix}$.

6. Calculate the dot product \mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}$\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}$:

\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = 2(2) + 1(3) = 4 + 3 = 7 

$$\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = 2(2) + 1(3) = 4 + 3 = 7$$

7. Compute the norm of \mathbf{n}$\mathbf{n}$:

 |\mathbf{n}| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}

$$|\mathbf{n}| = \sqrt{(2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$$

8. Calculate the distance d:

d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|7|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}} \approx 1.94

$$d = \frac{|\mathbf{AP} \cdot \mathbf{n}|}{|\mathbf{n}|} = \frac{|7|}{\sqrt{13}} = \frac{7}{\sqrt{13}} \approx 1.94$$

So, the distance from the point P(2, 3) to the line 2x + 3y - 6 = 0 is \frac{7}{\sqrt{13}}$\frac{7}{\sqrt{13}}$ units, which is approximately 1.94 units.