Esercizi sulla Dinamica dei Corpi Rigidi

Esercizi sulla Dinamica dei Corpi Rigidi

Esercizi sulla Dinamica dei Corpi Rigidi

Versione italiana

Esercizi sulla Dinamica dei Corpi Rigidi

Concetti Chiave

1. Corpo Rigido: Un corpo che non subisce deformazioni sotto l'azione di forze esterne. Le distanze tra i punti del corpo rimangono costanti.

2. Forza: Una grandezza vettoriale che causa un cambiamento nel moto di un corpo. È definita come il prodotto della massa e dell'accelerazione:

   \vec{F} = m \vec{a} $\vec{F} = m \vec{a}$

3. Momento Torcentale: Il momento torcentale rispetto a un punto è dato da:

   \vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$

   dove \vec{r}$\vec{r}$ è il vettore posizione dal punto di rotazione alla linea d'azione della forza.

4. Equazioni del Moto: Le equazioni del moto per un corpo rigido possono essere scritte come:

   • Seconda Legge di Newton per la traslazione:
     \sum \vec{F} = m \vec{a} $\sum \vec{F} = m \vec{a}$

   • Seconda Legge di Newton per la rotazione:
     \sum \vec{M} = I \alpha $\sum \vec{M} = I \alpha$

   dove I$I$ è il momento d'inerzia e \alpha$\alpha$ è l'accelerazione angolare.

5. Momento d'Inerzia: Il momento d'inerzia di un corpo rigido rispetto a un asse di rotazione è dato da:

   I = \sum m_i r_i^2 $I = \sum m_i r_i^2$

   dove m_i$m_i$ è la massa dei punti e r_i$r_i$ è la distanza dal punto all'asse di rotazione.

Esercizio 1: Calcolo della Forza Necessaria per Accelerare un Corpo

Problema: Un corpo rigido di massa m = 5 \, \text{kg}$m = 5 \, \text{kg}$ deve essere accelerato con un'accelerazione di a = 2 \, \text{m/s}^2$a = 2 \, \text{m/s}^2$. Calcola la forza necessaria.

Soluzione:

1. Utilizziamo la seconda legge di Newton:

   \sum \vec{F} = m \vec{a} $\sum \vec{F} = m \vec{a}$

2. Sostituendo i valori:

   \sum \vec{F} = 5 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 = 10 \, \text{N} $\sum \vec{F} = 5 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 = 10 \, \text{N}$

Quindi, la forza necessaria è 10 \, \text{N}$10 \, \text{N}$.

Esercizio 2: Momento Torcentale su un Corpo Rigido

Problema: Un corpo rigido è soggetto a una forza di F = 20 \, \text{N}$F = 20 \, \text{N}$ applicata a una distanza di d = 0.5 \, \text{m}$d = 0.5 \, \text{m}$ dal punto di rotazione. Calcola il momento torcentale.

Soluzione:

1. Il momento torcentale è dato da:

   M = F \cdot d $M = F \cdot d$

2. Sostituendo i valori:

   M = 20 \, \text{N} \cdot 0.5 \, \text{m} = 10 \, \text{N} \cdot \text{m} $M = 20 \, \text{N} \cdot 0.5 \, \text{m} = 10 \, \text{N} \cdot \text{m}$

Quindi, il momento torcentale è 10 \, \text{N} \cdot \text{m}$10 \, \text{N} \cdot \text{m}$.

Esercizio 3: Accelerazione Angolare di un Corpo Rigido

Problema: Un corpo rigido ha un momento d'inerzia di I = 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$I = 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$ e un momento torcentale applicato di M = 12 \, \text{N} \cdot \text{m}$M = 12 \, \text{N} \cdot \text{m}$. Calcola l'accelerazione angolare \alpha$\alpha$.

Soluzione:

1. Utilizziamo la seconda legge di Newton per la rotazione:

   \sum \vec{M} = I \alpha $\sum \vec{M} = I \alpha$

2. Sostituendo i valori:

   12 \, \text{N} \cdot \text{m} = 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \alpha $12 \, \text{N} \cdot \text{m} = 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \alpha$

3. Risolvendo per \alpha$\alpha$:

   \alpha = \frac{12 \, \text{N} \cdot \text{m}}{4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} = 3 \, \text{rad/s}^2 $\alpha = \frac{12 \, \text{N} \cdot \text{m}}{4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} = 3 \, \text{rad/s}^2$

Quindi, l'accelerazione angolare \alpha$\alpha$ è 3 \, \text{rad/s}^2$3 \, \text{rad/s}^2$.

Esercizio 4: Momento d'Inerzia di un Corpo Rigido

Problema: Calcola il momento d'inerzia di un cilindro solido di massa m = 10 \, \text{kg}$m = 10 \, \text{kg}$ e raggio r = 0.5 \, \text{m}$r = 0.5 \, \text{m}$ rispetto al suo asse centrale.

Soluzione:

1. La formula per il momento d'inerzia di un cilindro solido rispetto al suo asse centrale è:

   I = \frac{1}{2} m r^2 $I = \frac{1}{2} m r^2$

2. Sostituendo i valori:

   I = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (0.5 \, \text{m})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.25 = 1.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 $I = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (0.5 \, \text{m})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.25 = 1.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$

Quindi, il momento d'inerzia del cilindro è 1.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$1.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$.

English version

Rigid Body Dynamics Exercises

Key Concepts

1. Rigid Body: A body that does not undergo deformation under the action of external forces. The distances between the points of the body remain constant.

2. Force: A vector quantity that causes a change in the motion of a body. It is defined as the product of the mass and the acceleration:

\vec{F} = m \vec{a} $\vec{F} = m \vec{a}$

3. Torque Moment: The torque about a point is given by:

\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F} $\vec{M} = \vec{r} \times \vec{F}$

where \vec{r}$\vec{r}$ is the position vector from the point of rotation to the line of action of the force.

4. Equations of Motion: The equations of motion for a rigid body can be written as:

• Newton's Second Law for translation:
  \sum \vec{F} = m \vec{a} $\sum \vec{F} = m \vec{a}$

• Newton's Second Law for rotation:
  \sum \vec{M} = I \alpha $\sum \vec{M} = I \alpha$

where I$I$ is the moment of inertia and \alpha$\alpha$ is the angular acceleration.

5. Moment of Inertia: The moment of inertia of a rigid body about an axis of rotation is given by:

I = \sum m_i r_i^2 $I = \sum m_i r_i^2$

where m_i$m_i$ is the mass of the points and r_i$r_i$ is the distance from the point to the axis of rotation.

Exercise 1: Calculating the Force Required to Accelerate a Body

Problem: A rigid body of mass m = 5 \, \text{kg}$m = 5 \, \text{kg}$ must be accelerated with an acceleration of a = 2 \, \text{m/s}^2$a = 2 \, \text{m/s}^2$. Calculate the force required.

Solution:

1. We use Newton's second law:

\sum \vec{F} = m \vec{a} $\sum \vec{F} = m \vec{a}$

2. Substituting the values:

\sum \vec{F} = 5 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 = 10 \, \text{N} $\sum \vec{F} = 5 \, \text{kg} \cdot 2 \, \text{m/s}^2 = 10 \, \text{N}$

Therefore, the force required is 10 \, \text{N}$10 \, \text{N}$.

Exercise 2: Torque Moment on a Rigid Body

Problem: A rigid body is subjected to a force of F = 20 \, \text{N}$F = 20 \, \text{N}$ applied at a distance of d = 0.5 \, \text{m}$d = 0.5 \, \text{m}$ from the point of rotation. Calculate the torque.

Solution:

1. The torque is given by:

M = F \cdot d $M = F \cdot d$

2. Substituting the values:

M = 20 \, \text{N} \cdot 0.5 \, \text{m} = 10 \, \text{N} \cdot \text{m} $M = 20 \, \text{N} \cdot 0.5 \, \text{m} = 10 \, \text{N} \cdot \text{m}$

Therefore, the torque is 10 \, \text{N} \cdot \text{m}$10 \, \text{N} \cdot \text{m}$.

Exercise 3: Angular Acceleration of a Rigid Body

Problem: A rigid body has a moment of inertia of I = 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$I = 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$ and an applied torque of M = 12 \, \text{N} \cdot \text{m}$M = 12 \, \text{N} \cdot \text{m}$. Calculate the angular acceleration \alpha$\alpha$.

Solution:

1. We use Newton's second law for rotation:

\sum \vec{M} = I \alpha $\sum \vec{M} = I \alpha$

2. Substituting the values:

12 \, \text{N} \cdot \text{m} = 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \alpha $12 \, \text{N} \cdot \text{m} = 4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 \cdot \alpha$

3. Solving for \alpha$\alpha$:

\alpha = \frac{12 \, \text{N} \cdot \text{m}}{4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} = 3 \, \text{rad/s}^2 $\alpha = \frac{12 \, \text{N} \cdot \text{m}}{4 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2} = 3 \, \text{rad/s}^2$

So, the angular acceleration \alpha$\alpha$ is 3 \, \text{rad/s}^2$3 \, \text{rad/s}^2$.

Exercise 4: Moment of Inertia of a Rigid Body

Problem: Calculate the moment of inertia of a solid cylinder of mass m = 10 \, \text{kg}$m = 10 \, \text{kg}$ and radius r = 0.5 \, \text{m}$r = 0.5 \, \text{m}$ with respect to its central axis.

Solution:

1. The formula for the moment of inertia of a solid cylinder about its central axis is:

I = \frac{1}{2} m r^2 $I = \frac{1}{2} m r^2$

2. Substituting the values:

I = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (0.5 \, \text{m})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.25 = 1.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2 $I = \frac{1}{2} \cdot 10 \, \text{kg} \cdot (0.5 \, \text{m})^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 0.25 = 1.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$

So, the moment of inertia of the cylinder is 1.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$1.25 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$.