Esercizi sulla classificazione statica

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Versione statica

Esercizi sulla classificazione statica

La classificazione statica con l'uso delle matrici è un approccio utile per analizzare sistemi di forze e momenti in equilibrio.

Concetti Fondamentali

1. Sistemi di Equazioni: In un problema di equilibrio statico, possiamo avere più forze e momenti. Le equazioni di equilibrio possono essere scritte in forma matriciale.

2. Matrici di Forza: Le forze possono essere rappresentate in una matrice colonna. Ad esempio, per un sistema bidimensionale, possiamo avere:

   \begin{bmatrix}
   F_x \\
   F_y \\
   M
   \end{bmatrix}

   $$\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ M \end{bmatrix}$$

   dove F_x$F_x$ e F_y$F_y$ sono le forze nelle direzioni x e y, e M è il momento.

3. Equazioni di Equilibrio: Le equazioni di equilibrio possono essere scritte come:

   \begin{bmatrix}
   1 & 0 & 0 \\
   0 & 1 & 0 \\
   0 & 0 & 1
   \end{bmatrix}
   \begin{bmatrix}
   R_A \\
   R_B \\
   R_C
   \end{bmatrix}
   =
   \begin{bmatrix}
   F_{x,\text{tot}} \\
   F_{y,\text{tot}} \\
   M_{\text{tot}}
   \end{bmatrix}

   $$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_A \\ R_B \\ R_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{x,\text{tot}} \\ F_{y,\text{tot}} \\ M_{\text{tot}} \end{bmatrix}$$

Esercizi Esempio

Esercizio 1:

Un trave orizzontale di lunghezza 4 \, \text{m}$4 \, \text{m}$ è sostenuto da due supporti A e B. Una forza di 200 \, \text{N}$200 \, \text{N}$ è applicata al centro del trave. Calcola le reazioni nei supporti usando le matrici.

Soluzione:

• Definiamo le reazioni nei supporti come R_A$R_A$ e R_B$R_B$.
• Le equazioni di equilibrio sono:

  R_A + R_B = 200 \quad (1)

  $$R_A + R_B = 200 \quad (1)$$

  R_B \cdot 4 - 200 \cdot 2 = 0 \quad (2)

  $$R_B \cdot 4 - 200 \cdot 2 = 0 \quad (2)$$

Scriviamo queste equazioni in forma matriciale:

\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
200 \\
400
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_A \\ R_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 200 \\ 400 \end{bmatrix}$$

Risolvendo il sistema di equazioni:

• Dalla (1): R_B = 200 - R_A$R_B = 200 - R_A$
• Sostituendo nella (2):

  0 \cdot R_A + 4(200 - R_A) = 400 \implies 800 - 4R_A = 400 \implies 4R_A = 400 \implies R_A = 100 \, \text{N}

  $$0 \cdot R_A + 4(200 - R_A) = 400 \implies 800 - 4R_A = 400 \implies 4R_A = 400 \implies R_A = 100 \, \text{N}$$
• Sostituendo R_A$R_A$ nella (1):

  100 + R_B = 200 \implies R_B = 100 \, \text{N}

  $$100 + R_B = 200 \implies R_B = 100 \, \text{N}$$

Le reazioni nei supporti sono R_A = 100 \, \text{N}$R_A = 100 \, \text{N}$ e R_B = 100 \, \text{N}$R_B = 100 \, \text{N}$.

Esercizio 2

Un trave di 6 \, \text{m}$6 \, \text{m}$ è appeso orizzontalmente e sostenuto da un supporto centrale. Se una forza di 300 \, \text{N}$300 \, \text{N}$ è applicata a 2 \, \text{m}$2 \, \text{m}$ da un'estremità, calcola le reazioni nei supporti usando le matrici.

Soluzione:

• Definiamo le reazioni nei supporti come R_A$R_A$ e R_B$R_B$.
• Le equazioni di equilibrio sono:
  1. R_A + R_B = 300$R_A + R_B = 300$ (Equazione 1)
  2. R_B \cdot 6 - 300 \cdot 2 = 0$R_B \cdot 6 - 300 \cdot 2 = 0$ (Equazione 2)

Possiamo riscrivere queste equazioni in forma matriciale. Le reazioni nei supporti possono essere rappresentate come una matrice colonna:

\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} R_A \\ R_B \end{bmatrix}$$

Le equazioni possono essere scritte come:

\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
300 \\
600
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_A \\ R_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 300 \\ 600 \end{bmatrix}$$

Risoluzione del Sistema di Equazioni

1. Dalla prima equazione:

   R_A + R_B = 300 \quad (1)

   $$R_A + R_B = 300 \quad (1)$$

2. Dalla seconda equazione:

   6R_B = 600 \implies R_B = 100 \, \text{N} \quad (2)

   $$6R_B = 600 \implies R_B = 100 \, \text{N} \quad (2)$$

Ora sostituiamo il valore di R_B$R_B$ nell'equazione (1):

R_A + 100 = 300

$$R_A + 100 = 300$$

Da cui otteniamo:

R_A = 300 - 100 = 200 \, \text{N}

$$R_A = 300 - 100 = 200 \, \text{N}$$

Risultati Finali

Le reazioni nei supporti sono:

• R_A = 200 \, \text{N}$R_A = 200 \, \text{N}$
• R_B = 100 \, \text{N}$R_B = 100 \, \text{N}$

Esercizio 3: Trave con Forze Multiple

Consideriamo un trave di 5 \, \text{m}$5 \, \text{m}$ sostenuto da due supporti A e B. Una forza di 400 \, \text{N}$400 \, \text{N}$ è applicata a 1 \, \text{m}$1 \, \text{m}$ da A e una forza di 200 \, \text{N}$200 \, \text{N}$ è applicata a 4 \, \text{m}$4 \, \text{m}$ da A. Calcola le reazioni nei supporti A e B usando le matrici.

Soluzione:

1. Definiamo le reazioni nei supporti come R_A$R_A$ e R_B$R_B$.
2. Le equazioni di equilibrio sono:

   R_A + R_B = 400 + 200 \quad (1)

   $$R_A + R_B = 400 + 200 \quad (1)$$

   R_B \cdot 5 - 400 \cdot 1 - 200 \cdot 4 = 0 \quad (2)

   $$R_B \cdot 5 - 400 \cdot 1 - 200 \cdot 4 = 0 \quad (2)$$

Scrittura in Forma Matriciale

Possiamo scrivere queste equazioni in forma matriciale:

\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
600 \\
800
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_A \\ R_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 600 \\ 800 \end{bmatrix}$$

Risoluzione del Sistema di Equazioni

1. Dalla prima equazione:

   R_A + R_B = 600 \quad (1)

   $$R_A + R_B = 600 \quad (1)$$

2. Dalla seconda equazione:

   5R_B = 800 \implies R_B = 160 \, \text{N} \quad (2)

   $$5R_B = 800 \implies R_B = 160 \, \text{N} \quad (2)$$

Ora sostituiamo il valore di R_B$R_B$ nell'equazione (1):

R_A + 160 = 600

$$R_A + 160 = 600$$

Da cui otteniamo:

R_A = 600 - 160 = 440 \, \text{N}

$$R_A = 600 - 160 = 440 \, \text{N}$$

Risultati Finali

Le reazioni nei supporti sono:

• R_A = 440 \, \text{N}$R_A = 440 \, \text{N}$
• R_B = 160 \, \text{N}$R_B = 160 \, \text{N}$

English version

Static Classification Exercises

Static classification using matrices is a useful approach to analyze systems of forces and moments in equilibrium.

Fundamental Concepts

1. Systems of Equations: In a static equilibrium problem, we can have multiple forces and moments. Equilibrium equations can be written in matrix form.

2. Force Matrices: Forces can be represented in a column matrix. For example, for a two-dimensional system, we can have:

\begin{bmatrix}
F_x \\
F_y \\
M
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} F_x \\ F_y \\ M \end{bmatrix}$$

where F_x$F_x$ and F_y$F_y$ are the forces in the x and y directions, and M is the moment.

3. Equilibrium Equations: Equilibrium equations can be written as:

\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B \\
R_C
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
F_{x,\text{tot}} \\
F_{y,\text{tot}} \\
M_{\text{tot}}
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_A \\ R_B \\ R_C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F_{x,\text{tot}} \\ F_{y,\text{tot}} \\ M_{\text{tot}} \end{bmatrix}$$

Exercises Example

Exercise 1:

A horizontal beam of length 4 \, \text{m}$4 \, \text{m}$ is supported by two supports A and B. A force of 200 \, \text{N}$200 \, \text{N}$ is applied at the center of the beam. Calculate the reactions in the supports using matrices.

Solution:

• We define the reactions in the supports as R_A$R_A$ and R_B$R_B$.
• The equilibrium equations are:

R_A + R_B = 200 \quad (1)

$$R_A + R_B = 200 \quad (1)$$

R_B \cdot 4 - 200 \cdot 2 = 0 \quad (2)

$$R_B \cdot 4 - 200 \cdot 2 = 0 \quad (2)$$

Let's write these equations in matrix form:

\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 4
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
200 \\
400
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_A \\ R_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 200 \\ 400 \end{bmatrix}$$

Solving the system of equations:

• From (1): R_B = 200 - R_A$R_B = 200 - R_A$
• Substituting in (2):

0 \cdot R_A + 4(200 - R_A) = 400 \implies 800 - 4R_A = 400 \implies 4R_A = 400 \implies R_A = 100 \, \text{N}

$$0 \cdot R_A + 4(200 - R_A) = 400 \implies 800 - 4R_A = 400 \implies 4R_A = 400 \implies R_A = 100 \, \text{N}$$

• Substituting R_A$R_A$ into (1):

100 + R_B = 200 \implies R_B = 100 \, \text{N}

$$100 + R_B = 200 \implies R_B = 100 \, \text{N}$$

The reactions at the supports are R_A = 100 \, \text{N}$R_A = 100 \, \text{N}$ and R_B = 100 \, \text{N}$R_B = 100 \, \text{N}$.

Exercise 2

A beam of 6 \, \text{m}$6 \, \text{m}$ is hung horizontally and supported by a central support. If a force of 300 \, \text{N}$300 \, \text{N}$ is applied at 2 \, \text{m}$2 \, \text{m}$ from one end, calculate the reactions at the supports using matrices.

Solution:

• We define the reactions in the supports as R_A$R_A$ and R_B$R_B$.
• The equilibrium equations are:

1. R_A + R_B = 300$R_A + R_B = 300$ (Equation 1)
2. R_B \cdot 6 - 300 \cdot 2 = 0$R_B \cdot 6 - 300 \cdot 2 = 0$ (Equation 2)

We can rewrite these equations in matrix form. The reactions in the supports can be represented as a column matrix:

\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} R_A \\ R_B \end{bmatrix}$$

The equations can be written as:

\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 6
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
300 \\
600
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_A \\ R_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 300 \\ 600 \end{bmatrix}$$

Solving the System of Equations

1. From the first equation:

R_A + R_B = 300 \quad (1)

$$R_A + R_B = 300 \quad (1)$$

2. From the second equation:

6R_B = 600 \implies R_B = 100 \, \text{N} \quad (2)

$$6R_B = 600 \implies R_B = 100 \, \text{N} \quad (2)$$

Now we substitute the value of R_B$R_B$ in equation (1):

R_A + 100 = 300

$$R_A + 100 = 300$$

From which we obtain:

R_A = 300 - 100 = 200 \, \text{N}

$$R_A = 300 - 100 = 200 \, \text{N}$$

Final Results

The reactions in the supports are:

• R_A = 200 \, \text{N}$R_A = 200 \, \text{N}$
• R_B = 100 \, \text{N}$R_B = 100 \, \text{N}$

Exercise 3: Beam with Multiple Forces

Let's consider a beam of 5 \, \text{m}$5 \, \text{m}$ supported by two supports A and B. A force of 400 \, \text{N}$400 \, \text{N}$ is applied to 1 \, \text{m}$1 \, \text{m}$ from A and a force of 200 \, \text{N}$200 \, \text{N}$ is applied to 4 \, \text{m}$4 \, \text{m}$ from A. Calculate the reactions in the supports A and B using matrices.

Solution:

1. We define the reactions in the supports as R_A$R_A$ and R_B$R_B$.
2. The equilibrium equations are:

R_A + R_B = 400 + 200 \quad (1)

$$R_A + R_B = 400 + 200 \quad (1)$$

R_B \cdot 5 - 400 \cdot 1 - 200 \cdot 4 = 0 \quad (2)

$$R_B \cdot 5 - 400 \cdot 1 - 200 \cdot 4 = 0 \quad (2)$$

Writing in Matrix Form

We can write these equations in matrix form:

\begin{bmatrix}
1 & 1 \\
0 & 5
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
R_A \\
R_B
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
600 \\
800
\end{bmatrix}

$$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} R_A \\ R_B \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 600 \\ 800 \end{bmatrix}$$

Solving the System of Equations

1. From the first equation:

R_A + R_B = 600 \quad (1)

$$R_A + R_B = 600 \quad (1)$$

2. From the second equation:

5R_B = 800 \implies R_B = 160 \, \text{N} \quad (2)

$$5R_B = 800 \implies R_B = 160 \, \text{N} \quad (2)$$

Now we substitute the value of R_B$R_B$ in equation (1):

R_A + 160 = 600

$$R_A + 160 = 600$$

From which we obtain:

R_A = 600 - 160 = 440 \, \text{N}

$$R_A = 600 - 160 = 440 \, \text{N}$$

Final Results

The reactions in the supports are:

• R_A = 440 \, \text{N}$R_A = 440 \, \text{N}$
• R_B = 160 \, \text{N}$R_B = 160 \, \text{N}$