Esercizi sul Teorema di Norton

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Versione italiana

Esercizi sul Teorema di Norton

Concetti Chiave

Il Teorema di Norton afferma che qualsiasi circuito lineare, composto da resistori e sorgenti di tensione e corrente, può essere semplificato in un circuito equivalente formato da una sorgente di corrente I_N$I_N$ in parallelo con una resistenza R_N$R_N$.

Passaggi per Applicare il Teorema di Norton

1. Identificare il carico: Rimuovere il carico dal circuito per analizzare il circuito rimanente.
2. Calcolare I_N$I_N$: Trovare la corrente che scorre attraverso il carico rimosso. Questa è la corrente di Norton.
3. Calcolare R_N$R_N$: Trovare la resistenza equivalente vista dai terminali del carico, con tutte le sorgenti indipendenti spente (sorgenti di tensione cortocircuitate e sorgenti di corrente aperte).
4. Ricostruire il circuito: Sostituire il circuito originale con il circuito equivalente di Norton.

Esercizi

Esercizio 1: Circuito Semplice

Considera il seguente circuito:

• Una sorgente di tensione V = 12 \, V$V = 12 \, V$
• Un resistore R_1 = 4 \, \Omega$R_1 = 4 \, \Omega$
• Un resistore R_2 = 8 \, \Omega$R_2 = 8 \, \Omega$

Calcola I_N$I_N$ e R_N$R_N$ rispetto ai terminali del resistore R_2$R_2$.

Esercizio 2: Circuito con Sorgente di Corrente

Considera un circuito con:

• Una sorgente di corrente I = 3 \, A$I = 3 \, A$
• Due resistori R_1 = 6 \, \Omega$R_1 = 6 \, \Omega$ e R_2 = 12 \, \Omega$R_2 = 12 \, \Omega$ in parallelo

Calcola I_N$I_N$ e R_N$R_N$ rispetto ai terminali del carico che si trova in parallelo con R_2$R_2$.

Soluzioni

Soluzione Esercizio 1

1. Calcolo di I_N$I_N$:

   • La corrente I_N$I_N$ che scorre attraverso R_2$R_2$ può essere calcolata usando il partitore di corrente. La corrente totale I_t$I_t$ che esce dalla sorgente è:
     I_t = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{12 \, V}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = \frac{12 \, V}{12 \, \Omega} = 1 \, A $I_t = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{12 \, V}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = \frac{12 \, V}{12 \, \Omega} = 1 \, A$
   • La corrente I_N$I_N$ che scorre attraverso R_2$R_2$ è quindi:
     I_N = I_t \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 1 \, A \cdot \frac{4 \, \Omega}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = 1 \, A \cdot \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \, A \approx 0.33 \, A $I_N = I_t \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 1 \, A \cdot \frac{4 \, \Omega}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = 1 \, A \cdot \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \, A \approx 0.33 \, A$

2. Calcolo di R_N$R_N$:

   • Per calcolare R_N$R_N$, cortocircuitiamo la sorgente di tensione e calcoliamo la resistenza equivalente:
     R_N = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4 \, \Omega \cdot 8 \, \Omega}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = \frac{32}{12} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega $R_N = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4 \, \Omega \cdot 8 \, \Omega}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = \frac{32}{12} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$

Soluzione Esercizio 2

1. Calcolo di I_N$I_N$:

   • La corrente I_N$I_N$ che scorre attraverso R_2$R_2$ è uguale alla corrente della sorgente, poiché i resistori sono in parallelo. La corrente totale I_t$I_t$ è:
     I_N = I = 3 \, A $I_N = I = 3 \, A$

2. Calcolo di R_N$R_N$:

   • Per calcolare R_N$R_N$, dobbiamo considerare i resistori in parallelo:
     R_N = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \, \Omega \cdot 12 \, \Omega}{6 \, \Omega + 12 \, \Omega} = \frac{72}{18} \, \Omega = 4 \, \Omega $R_N = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \, \Omega \cdot 12 \, \Omega}{6 \, \Omega + 12 \, \Omega} = \frac{72}{18} \, \Omega = 4 \, \Omega$

English version

Norton's Theorem Exercises

Key Concepts

Norton's Theorem states that any linear circuit, composed of resistors and voltage and current sources, can be simplified to an equivalent circuit consisting of a current source I_N$I_N$ in parallel with a resistance R_N$R_N$.

Steps to Apply Norton's Theorem

1. Identify the load: Remove the load from the circuit to analyze the remaining circuit.
2. Calculate I_N$I_N$: Find the current flowing through the removed load. This is the Norton current.
3. Calculate R_N$R_N$: Find the equivalent resistance seen from the load terminals, with all independent sources turned off (voltage sources shorted and current sources open).
4. Rebuild the circuit: Replace the original circuit with Norton's equivalent circuit.

Exercises

Exercise 1: Simple Circuit

Consider the following circuit:

• A voltage source V = 12 \, V$V = 12 \, V$
• A resistor R_1 = 4 \, \Omega$R_1 = 4 \, \Omega$
• A resistor R_2 = 8 \, \Omega$R_2 = 8 \, \Omega$

Calculate I_N$I_N$ and R_N$R_N$ with respect to the terminals of the resistor R_2$R_2$.

Exercise 2: Circuit with Current Source

Consider a circuit with:

• A current source I = 3 \, A$I = 3 \, A$
• Two resistors R_1 = 6 \, \Omega$R_1 = 6 \, \Omega$ and R_2 = 12 \, \Omega$R_2 = 12 \, \Omega$ in parallel

Calculate I_N$I_N$ and R_N$R_N$ with respect to the terminals of the load that is in parallel with R_2$R_2$.

Solutions

Solution Exercise 1

1. Calculating I_N$I_N$:

• The current I_N$I_N$ flowing through R_2$R_2$ can be calculated using the current divider. The total current I_t$I_t$ flowing out of the source is:
  I_t = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{12 \, V}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = \frac{12 \, V}{12 \, \Omega} = 1 \, A$I_t = \frac{V}{R_1 + R_2} = \frac{12 \, V}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = \frac{12 \, V}{12 \, \Omega} = 1 \, A$
• The current I_N$I_N$ flowing through R_2$R_2$ is therefore:
  I_N = I_t \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 1 \, A \cdot \frac{4 \, \Omega}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = 1 \, A \cdot \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \, A \approx 0.33 \, A$I_N = I_t \cdot \frac{R_1}{R_1 + R_2} = 1 \, A \cdot \frac{4 \, \Omega}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = 1 \, A \cdot \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \, A \approx 0.33 \, A$

2. Calculation of R_N$R_N$:

• To calculate R_N$R_N$, we short the voltage source and calculate the equivalent resistance:
  R_N = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4 \, \Omega \cdot 8 \, \Omega}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = \frac{32}{12} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega $R_N = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{4 \, \Omega \cdot 8 \, \Omega}{4 \, \Omega + 8 \, \Omega} = \frac{32}{12} \, \Omega \approx 2.67 \, \Omega$

Solution Exercise 2

1. Calculating I_N$I_N$:

• The current I_N$I_N$ flowing through R_2$R_2$ is equal to the source current, since the resistors are in parallel. The total current I_t$I_t$ is:
  I_N = I = 3 \, A $I_N = I = 3 \, A$

2. Calculation of R_N$R_N$:

• To calculate R_N$R_N$, we need to consider the resistors in parallel:
  R_N = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \, \Omega \cdot 12 \, \Omega}{6 \, \Omega + 12 \, \Omega} = \frac{72}{18} \, \Omega = 4 \, \Omega $R_N = R_1 \parallel R_2 = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{6 \, \Omega \cdot 12 \, \Omega}{6 \, \Omega + 12 \, \Omega} = \frac{72}{18} \, \Omega = 4 \, \Omega$