Esercizi sul Teorema di Carnot

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Esercizi sul Teorema di Carnot

Versione italiana

Esercizi sul Teorema di Carnot

Il teorema di Carnot è un principio fondamentale della termodinamica che stabilisce i limiti di efficienza per le macchine termiche. Esso afferma che nessuna macchina termica può essere più efficiente di una macchina di Carnot che opera tra due sorgenti di calore.

Concetti Chiave

1. Macchina di Carnot: Una macchina di Carnot è un ciclo termodinamico ideale che consiste in due trasformazioni isoterme e due trasformazioni adiabatiche. È il modello teorico per la massima efficienza delle macchine termiche.

2. Efficienza di Carnot: L'efficienza \eta$\eta$ di una macchina di Carnot è data dalla formula:
   \eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$
   dove T_H$T_H$ è la temperatura della sorgente calda e T_C$T_C$ è la temperatura della sorgente fredda, entrambe espresse in Kelvin.

3. Ciclo di Carnot: Il ciclo di Carnot è composto da quattro fasi:

   • Espansione isoterma: Il gas assorbe calore dalla sorgente calda.
   • Espansione adiabatiche: Il gas si espande senza scambiare calore.
   • Compressione isoterma: Il gas cede calore alla sorgente fredda.
   • Compressione adiabatiche: Il gas viene compresso senza scambiare calore.

Esercizi

Esercizio 1

Calcola l'efficienza di una macchina di Carnot che opera tra una sorgente calda a 500 \, \text{K}$500 \, \text{K}$ e una sorgente fredda a 300 \, \text{K}$300 \, \text{K}$.

Soluzione:
Utilizzando la formula dell'efficienza:
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4 $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$
Quindi, l'efficienza è 40\%$40\%$.

Esercizio 2

Una macchina di Carnot assorbe 600 \, \text{J}$600 \, \text{J}$ di calore dalla sorgente calda. Se l'efficienza della macchina è 25\%$25\%$, calcola il lavoro svolto dalla macchina.

Soluzione:
Utilizzando la formula del lavoro:
W = \eta Q_H = 0.25 \times 600 \, \text{J} = 150 \, \text{J} $W = \eta Q_H = 0.25 \times 600 \, \text{J} = 150 \, \text{J}$
Quindi, il lavoro svolto dalla macchina è 150 \, \text{J}$150 \, \text{J}$.

Esercizio 3

Se una macchina di Carnot ha un'efficienza del 50\%$50\%$, quali sono le temperature della sorgente calda e della sorgente fredda?

Soluzione:
Utilizzando la formula dell'efficienza:
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} \implies 0.5 = 1 - \frac{T_C}{T_H} $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} \implies 0.5 = 1 - \frac{T_C}{T_H}$
Da cui si ricava:
\frac{T_C}{T_H} = 0.5 \implies T_C = 0.5 T_H $\frac{T_C}{T_H} = 0.5 \implies T_C = 0.5 T_H$
Se assumiamo T_H = 400 \, \text{K}$T_H = 400 \, \text{K}$, allora:
T_C = 0.5 \times 400 \, \text{K} = 200 \, \text{K} $T_C = 0.5 \times 400 \, \text{K} = 200 \, \text{K}$

English version

Carnot Theorem Exercises

Carnot's theorem is a fundamental principle of thermodynamics that establishes the limits of efficiency for heat engines. It states that no heat engine can be more efficient than a Carnot engine operating between two heat sources.

Key Concepts

1. Carnot Engine: A Carnot engine is an ideal thermodynamic cycle consisting of two isothermal processes and two adiabatic processes. It is the theoretical model for the maximum efficiency of heat engines.

2. Carnot Efficiency: The efficiency \eta$\eta$ of a Carnot engine is given by the formula:
   \eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H}$
   where T_H$T_H$ is the temperature of the hot source and T_C$T_C$ is the temperature of the cold source, both expressed in Kelvin.

3. Carnot Cycle: The Carnot cycle consists of four phases:

• Isothermal expansion: The gas absorbs heat from the hot source.
• Adiabatic expansion: The gas expands without exchanging heat.
• Isothermal compression: The gas releases heat to the cold source.
• Adiabatic compression: The gas is compressed without exchanging heat.

Exercises

Exercise 1

Calculate the efficiency of a Carnot engine operating between a hot source at 500 \, \text{K}$500 \, \text{K}$ and a cold source at 300 \, \text{K}$300 \, \text{K}$.

Solution:
Using the efficiency formula:
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4 $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} = 1 - \frac{300}{500} = 1 - 0.6 = 0.4$
So, the efficiency is 40\%$40\%$.

Exercise 2

A Carnot engine absorbs 600 \, \text{J}$600 \, \text{J}$ of heat from the hot source. If the efficiency of the engine is 25\%$25\%$, calculate the work done by the engine.

Solution:
Using the work formula:
W = \eta Q_H = 0.25 \times 600 \, \text{J} = 150 \, \text{J} $W = \eta Q_H = 0.25 \times 600 \, \text{J} = 150 \, \text{J}$
So, the work done by the engine is 150 \, \text{J}$150 \, \text{J}$.

Exercise 3

If a Carnot engine has an efficiency of 50\%$50\%$, what are the temperatures of the hot source and the cold source?

Solution:
Using the efficiency formula:
\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} \implies 0.5 = 1 - \frac{T_C}{T_H} $\eta = 1 - \frac{T_C}{T_H} \implies 0.5 = 1 - \frac{T_C}{T_H}$
From which we obtain:
\frac{T_C}{T_H} = 0.5 \implies T_C = 0.5 T_H $\frac{T_C}{T_H} = 0.5 \implies T_C = 0.5 T_H$
If we assume T_H = 400 \, \text{K}$T_H = 400 \, \text{K}$, then:
T_C = 0.5 \times 400 \, \text{K} = 200 \, \text{K} $T_C = 0.5 \times 400 \, \text{K} = 200 \, \text{K}$