Esercizi sul Rifasamento

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Esercizi sul Rifasamento

Versione italiana

Esercizi sul Rifasamento

Il rifasamento è una tecnica utilizzata per migliorare il fattore di potenza in un sistema elettrico. Si tratta di compensare il ritardo di fase tra corrente e tensione in un circuito, in modo da ridurre le perdite di energia e migliorare l'efficienza del sistema.

Concetti Chiave

1. Fattore di Potenza (FP): Il fattore di potenza è definito come il coseno dell'angolo di fase \phi$\phi$ tra la tensione e la corrente. Si esprime come:
   FP = \cos(\phi) $FP = \cos(\phi)$
   Un fattore di potenza pari a 1 indica che la corrente e la tensione sono in fase.

2. Potenza Reattiva (Q): La potenza reattiva è la potenza che oscilla tra la sorgente e il carico, ed è espressa in var (volt-ampere reattivi). Si calcola come:
   Q = V \cdot I \cdot \sin(\phi) $Q = V \cdot I \cdot \sin(\phi)$

3. Potenza Apparente (S): La potenza apparente è la combinazione della potenza attiva (P) e della potenza reattiva (Q) ed è espressa in VA (volt-ampere). Si calcola come:
   S = \sqrt{P^2 + Q^2} $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$

4. Rifasamento: Per migliorare il fattore di potenza, si possono utilizzare condensatori o induttori per compensare la potenza reattiva. L'obiettivo è ridurre l'angolo di fase \phi$\phi$ e quindi aumentare il fattore di potenza.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo del Fattore di Potenza

Un carico assorbe una potenza attiva di P = 500 \, W$P = 500 \, W$ e una potenza reattiva di Q = 400 \, var$Q = 400 \, var$. Calcola il fattore di potenza del carico.

Soluzione:
Prima calcoliamo la potenza apparente S$S$:
S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{500^2 + 400^2} = \sqrt{250000 + 160000} = \sqrt{410000} \approx 640.31 \, VA $S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{500^2 + 400^2} = \sqrt{250000 + 160000} = \sqrt{410000} \approx 640.31 \, VA$
Ora calcoliamo il fattore di potenza:
FP = \frac{P}{S} = \frac{500}{640.31} \approx 0.78 $FP = \frac{P}{S} = \frac{500}{640.31} \approx 0.78$

Esercizio 2: Rifasamento con Condensatore

Un carico induttivo ha un fattore di potenza di 0.6. Se la potenza attiva è di P = 300 \, W$P = 300 \, W$, calcola la potenza reattiva e la capacità del condensatore necessaria per portare il fattore di potenza a 0.9.

Soluzione:
Calcoliamo prima la potenza apparente S$S$:
S = \frac{P}{FP} = \frac{300}{0.6} = 500 \, VA $S = \frac{P}{FP} = \frac{300}{0.6} = 500 \, VA$
Ora calcoliamo la potenza reattiva Q$Q$:
Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{500^2 - 300^2} = \sqrt{250000 - 90000} = \sqrt{160000} = 400 \, var $Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{500^2 - 300^2} = \sqrt{250000 - 90000} = \sqrt{160000} = 400 \, var$
Per portare il fattore di potenza a 0.9, calcoliamo la nuova potenza apparente S'$S'$:
S' = \frac{P}{0.9} = \frac{300}{0.9} \approx 333.33 \, VA $S' = \frac{P}{0.9} = \frac{300}{0.9} \approx 333.33 \, VA$
Ora calcoliamo la nuova potenza reattiva Q'$Q'$:
Q' = \sqrt{S'^2 - P^2} = \sqrt{(333.33)^2 - 300^2} \approx \sqrt{111111.11 - 90000} \approx \sqrt{21111.11} \approx 145.0 \, var $Q' = \sqrt{S'^2 - P^2} = \sqrt{(333.33)^2 - 300^2} \approx \sqrt{111111.11 - 90000} \approx \sqrt{21111.11} \approx 145.0 \, var$
La potenza reattiva da compensare è:
\Delta Q = Q - Q' = 400 - 145 \approx 255 \, var $\Delta Q = Q - Q' = 400 - 145 \approx 255 \, var$
La capacità del condensatore necessaria è data da:
C = \frac{\Delta Q}{\omega V^2} $C = \frac{\Delta Q}{\omega V^2}$
Dove \omega = 2\pi f$\omega = 2\pi f$ è la frequenza angolare e V$V$ è la tensione efficace. Supponiamo che la tensione di alimentazione sia V = 230 \, V$V = 230 \, V$ e la frequenza sia f = 50 \, Hz$f = 50 \, Hz$.

Calcoliamo \omega$\omega$:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \approx 314.16 \, rad/s $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \approx 314.16 \, rad/s$

Ora possiamo calcolare la capacità C$C$:
C = \frac{\Delta Q}{\omega V^2} = \frac{255 \, var}{314.16 \cdot (230)^2} $C = \frac{\Delta Q}{\omega V^2} = \frac{255 \, var}{314.16 \cdot (230)^2}$

Calcoliamo il denominatore:
(230)^2 = 52900 $(230)^2 = 52900$
Quindi:
C = \frac{255}{314.16 \cdot 52900} \approx \frac{255}{16610784.4} \approx 1.54 \times 10^{-8} \, F \approx 15.4 \, \mu F $C = \frac{255}{314.16 \cdot 52900} \approx \frac{255}{16610784.4} \approx 1.54 \times 10^{-8} \, F \approx 15.4 \, \mu F$

Esercizio 3: Calcolo della Potenza Reattiva Necessaria

Un motore elettrico ha un fattore di potenza di 0.75 e assorbe una potenza attiva di P = 1200 \, W$P = 1200 \, W$. Calcola la potenza reattiva necessaria per migliorare il fattore di potenza a 0.9.

Soluzione:
Calcoliamo prima la potenza apparente S$S$:
S = \frac{P}{FP} = \frac{1200}{0.75} = 1600 \, VA $S = \frac{P}{FP} = \frac{1200}{0.75} = 1600 \, VA$

Ora calcoliamo la potenza reattiva Q$Q$:
Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{1600^2 - 1200^2} = \sqrt{2560000 - 1440000} = \sqrt{1120000} \approx 105.83 \, var $Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{1600^2 - 1200^2} = \sqrt{2560000 - 1440000} = \sqrt{1120000} \approx 105.83 \, var$

Per portare il fattore di potenza a 0.9, calcoliamo la nuova potenza apparente S'$S'$:
S' = \frac{P}{0.9} = \frac{1200}{0.9} \approx 1333.33 \, VA $S' = \frac{P}{0.9} = \frac{1200}{0.9} \approx 1333.33 \, VA$

Ora calcoliamo la nuova potenza reattiva Q'$Q'$:
Q' = \sqrt{(S')^2 - P^2} = \sqrt{(1333.33)^2 - 1200^2} \approx \sqrt{1777777.78 - 1440000} \approx \sqrt{337777.78} \approx 581.67 \, var $Q' = \sqrt{(S')^2 - P^2} = \sqrt{(1333.33)^2 - 1200^2} \approx \sqrt{1777777.78 - 1440000} \approx \sqrt{337777.78} \approx 581.67 \, var$

La potenza reattiva da compensare è:
\Delta Q = Q - Q' = 105.83 - 581.67 \approx -475.84 \, var $\Delta Q = Q - Q' = 105.83 - 581.67 \approx -475.84 \, var$

Poiché il valore è negativo, significa che è necessario aggiungere una potenza reattiva capacitiva per migliorare il fattore di potenza.

English version

Power Factor Correction Exercises

Power factor correction is a technique used to improve the power factor in an electrical system. It involves compensating for the phase delay between current and voltage in a circuit, in order to reduce energy losses and improve the efficiency of the system.

Key Concepts

1. Power Factor (PF): The power factor is defined as the cosine of the phase angle \phi$\phi$ between the voltage and the current. It is expressed as:
   PF = \cos(\phi) $PF = \cos(\phi)$
   A power factor of 1 indicates that the current and voltage are in phase.

2. Reactive Power (Q): The reactive power is the power that oscillates between the source and the load, and is expressed in var (volt-ampere reactive). It is calculated as:
   Q = V \cdot I \cdot \sin(\phi) $Q = V \cdot I \cdot \sin(\phi)$

3. Apparent Power (S): The apparent power is the combination of the active power (P) and the reactive power (Q) and is expressed in VA (volt-ampere). It is calculated as:
   S = \sqrt{P^2 + Q^2} $S = \sqrt{P^2 + Q^2}$

4. Power factor correction: To improve the power factor, capacitors or inductors can be used to compensate for the reactive power. The goal is to reduce the phase angle \phi$\phi$ and therefore increase the power factor.

Exercises

Exercise 1: Calculating the Power Factor

A load absorbs an active power of P = 500 \, W$P = 500 \, W$ and a reactive power of Q = 400 \, var$Q = 400 \, var$. Calculate the power factor of the load.

Solution:
First we calculate the apparent power S$S$:
S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{500^2 + 400^2} = \sqrt{250000 + 160000} = \sqrt{410000} \approx 640.31 \, VA $S = \sqrt{P^2 + Q^2} = \sqrt{500^2 + 400^2} = \sqrt{250000 + 160000} = \sqrt{410000} \approx 640.31 \, VA$
Now we calculate the power factor:
FP = \frac{P}{S} = \frac{500}{640.31} \approx 0.78 $FP = \frac{P}{S} = \frac{500}{640.31} \approx 0.78$

Exercise 2: Power Factor Correction with Capacitor

An inductive load has a power factor of 0.6. If the active power is P = 300 \, W$P = 300 \, W$, calculate the reactive power and the capacitor capacity needed to bring the power factor to 0.9.

Solution:
First, let's calculate the apparent power S$S$:
S = \frac{P}{FP} = \frac{300}{0.6} = 500 \, VA $S = \frac{P}{FP} = \frac{300}{0.6} = 500 \, VA$
Now, let's calculate the reactive power Q$Q$:
Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{500^2 - 300^2} = \sqrt{250000 - 90000} = \sqrt{160000} = 400 \, var $Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{500^2 - 300^2} = \sqrt{250000 - 90000} = \sqrt{160000} = 400 \, var$
To bring the power factor to 0.9, let's calculate the new apparent power S'$S'$:
S' = \frac{P}{0.9} = \frac{300}{0.9} \approx 333.33 \, VA $S' = \frac{P}{0.9} = \frac{300}{0.9} \approx 333.33 \, VA$
Now, let's calculate the new reactive power Q'$Q'$:
Q' = \sqrt{S'^2 - P^2} = \sqrt{(333.33)^2 - 300^2} \approx \sqrt{111111.11 - 90000} \approx \sqrt{21111.11} \approx 145.0 \, var $Q' = \sqrt{S'^2 - P^2} = \sqrt{(333.33)^2 - 300^2} \approx \sqrt{111111.11 - 90000} \approx \sqrt{21111.11} \approx 145.0 \, var$
The reactive power to be compensated is:
\Delta Q = Q - Q' = 400 - 145 \approx 255 \, var $\Delta Q = Q - Q' = 400 - 145 \approx 255 \, var$
The required capacitor capacity is given by:
C = \frac{\Delta Q}{\omega V^2} $C = \frac{\Delta Q}{\omega V^2}$
Where \omega = 2\pi f$\omega = 2\pi f$ is the angular frequency and V$V$ is the effective voltage. Suppose the supply voltage is V = 230 \, V$V = 230 \, V$ and the frequency is f = 50 \, Hz$f = 50 \, Hz$.

Let's calculate \omega$\omega$:
\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \approx 314.16 \, rad/s $\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 50 \approx 314.16 \, rad/s$

Now we can calculate the capacity C$C$:
C = \frac{\Delta Q}{\omega V^2} = \frac{255 \, var}{314.16 \cdot (230)^2} $C = \frac{\Delta Q}{\omega V^2} = \frac{255 \, var}{314.16 \cdot (230)^2}$

Let's calculate the denominator:
(230)^2 = 52900 $(230)^2 = 52900$
So:
C = \frac{255}{314.16 \cdot 52900} \approx \frac{255}{16610784.4} \approx 1.54 \times 10^{-8} \, F \approx 15.4 \, \mu F $C = \frac{255}{314.16 \cdot 52900} \approx \frac{255}{16610784.4} \approx 1.54 \times 10^{-8} \, F \approx 15.4 \, \mu F$

Exercise 3: Calculating the Reactive Power Required

An electric motor has a power factor of 0.75 and absorbs an active power of P = 1200 \, W$P = 1200 \, W$. Calculate the reactive power required to improve the power factor to 0.9.

Solution:
First, let's calculate the apparent power S$S$:
S = \frac{P}{FP} = \frac{1200}{0.75} = 1600 \, VA $S = \frac{P}{FP} = \frac{1200}{0.75} = 1600 \, VA$

Now, let's calculate the reactive power Q$Q$:
Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{1600^2 - 1200^2} = \sqrt{2560000 - 1440000} = \sqrt{1120000} \approx 105.83 \, var $Q = \sqrt{S^2 - P^2} = \sqrt{1600^2 - 1200^2} = \sqrt{2560000 - 1440000} = \sqrt{1120000} \approx 105.83 \, var$

To bring the power factor to 0.9, let's calculate the new apparent power S'$S'$:
S' = \frac{P}{0.9} = \frac{1200}{0.9} \approx 1333.33 \, VA $S' = \frac{P}{0.9} = \frac{1200}{0.9} \approx 1333.33 \, VA$

Now let's calculate the new reactive power Q'$Q'$:
Q' = \sqrt{(S')^2 - P^2} = \sqrt{(1333.33)^2 - 1200^2} \approx \sqrt{1777777.78 - 1440000} \approx \sqrt{337777.78} \approx 581.67 \, var $Q' = \sqrt{(S')^2 - P^2} = \sqrt{(1333.33)^2 - 1200^2} \approx \sqrt{1777777.78 - 1440000} \approx \sqrt{337777.78} \approx 581.67 \, var$

The reactive power to be compensated is:
\Delta Q = Q - Q' = 105.83 - 581.67 \approx -475.84 \, var $\Delta Q = Q - Q' = 105.83 - 581.67 \approx -475.84 \, var$

Since the value is negative, it means that it is necessary to add a capacitive reactive power to improve the power factor.