Esercizi sul principio di Archimede

Esercizi sul principio di Archimede

Esercizi sul principio di Archimede

Versione italiana

Esercizi sul Principio di Archimede

Concetti Principali

Definizione

Il principio di Archimede afferma che un corpo immerso in un fluido (liquido o gas) subisce una forza di galleggiamento verso l'alto, pari al peso del fluido spostato dal corpo. Questa forza è chiamata spinta idrostatica.

Formula della Spinta Idrostatica

La spinta idrostatica F_b$F_b$ può essere calcolata con la seguente formula:

F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g

$$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g$$

dove:

• \rho_f$\rho_f$ è la densità del fluido
• V_s$V_s$ è il volume del fluido spostato (che è uguale al volume del corpo immerso)
• g$g$ è l'accelerazione di gravità (\approx 9.81 \, \text{m/s}^2$\approx 9.81 \, \text{m/s}^2$)

Condizioni di Galleggiamento

Un corpo galleggia se la spinta idrostatica è uguale al suo peso:

F_b = mg

$$F_b = mg$$

Un corpo affonda se il peso è maggiore della spinta idrostatica:

mg > F_b

$$mg > F_b$$

Un corpo è in equilibrio se la spinta idrostatica è uguale al suo peso:

mg = F_b

$$mg = F_b$$

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo della Spinta Idrostatica

Un cubo di legno con un lato di 0.5 \, \text{m}$0.5 \, \text{m}$ è completamente immerso in acqua. Calcola la spinta idrostatica che agisce sul cubo. Assumi che la densità dell'acqua sia \rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$.

Soluzione:

1. Calcola il volume del cubo:

   V_s = l^3 = (0.5)^3 = 0.125 \, \text{m}^3

   $$V_s = l^3 = (0.5)^3 = 0.125 \, \text{m}^3$$

2. Calcola la spinta idrostatica:

   F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 1000 \cdot 0.125 \cdot 9.81 \approx 1226.25 \, \text{N}

   $$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 1000 \cdot 0.125 \cdot 9.81 \approx 1226.25 \, \text{N}$$

Esercizio 2: Condizioni di Galleggiamento

Un oggetto di massa 2 \, \text{kg}$2 \, \text{kg}$ e volume 0.002 \, \text{m}^3$0.002 \, \text{m}^3$ è immerso in acqua. Determina se l'oggetto galleggia o affonda. Assumi che la densità dell'acqua sia \rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$.

Soluzione:

1. Calcola il peso dell'oggetto:

   mg = 2 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}

   $$mg = 2 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}$$

2. Calcola la spinta idrostatica:

   F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 1000 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}

   $$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 1000 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}$$

3. Confronta il peso e la spinta:

   mg = F_b \implies 19.62 \, \text{N} = 19.62 \, \text{N}

   $$mg = F_b \implies 19.62 \, \text{N} = 19.62 \, \text{N}$$

   L'oggetto è in equilibrio e quindi galleggia.

Esercizio 3: Oggetto in Olio

Un oggetto di massa 2 \, \text{kg}$2 \, \text{kg}$ e volume 0.002 \, \text{m}^3$0.002 \, \text{m}^3$ è immerso in olio con densità 800 \, \text{kg/m}^3$800 \, \text{kg/m}^3$. Calcola la spinta idrostatica e determina se l'oggetto galleggia o affonda.

Soluzione:

1. Calcola il peso dell'oggetto:

   mg = 2 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}

   $$mg = 2 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}$$

2. Calcola la spinta idrostatica:

   F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 800 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 15.696 \, \text{N}

   $$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 800 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 15.696 \, \text{N}$$

3. Confronta il peso e la spinta:

   mg = 19.62 \, \text{N} > F_b = 15.696 \, \text{N}

   $$mg = 19.62 \, \text{N} > F_b = 15.696 \, \text{N}$$

   L'oggetto affonda.

Esercizio 5: Calcolo della Densità di un Fluido

Un oggetto di massa 5 \, \text{kg}$5 \, \text{kg}$ e volume 0.004 \, \text{m}^3$0.004 \, \text{m}^3$ è immerso in un fluido e provoca una spinta idrostatica di 30 \, \text{N}$30 \, \text{N}$. Calcola la densità del fluido.

Soluzione:

1. Calcola il peso dell'oggetto:

   mg = 5 \cdot 9.81 = 49.05 \, \text{N}

   $$mg = 5 \cdot 9.81 = 49.05 \, \text{N}$$

2. La spinta idrostatica è data da:

   F_b = 30 \, \text{N}

   $$F_b = 30 \, \text{N}$$

3. Poiché F_b < mg$F_b < mg$, l'oggetto affonda. Calcoliamo la densità del fluido:

   F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g

   $$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g$$

   Sostituendo i valori:

   30 = \rho_f \cdot 0.004 \cdot 9.81

   $$30 = \rho_f \cdot 0.004 \cdot 9.81$$

   Risolvendo per \rho_f$\rho_f$:

   \rho_f = \frac{30}{0.004 \cdot 9.81} \approx 765.19 \, \text{kg/m}^3

   $$\rho_f = \frac{30}{0.004 \cdot 9.81} \approx 765.19 \, \text{kg/m}^3$$

English version

Exercises on Archimedes' Principle

Main Concepts

Definition

Archimedes' principle states that a body immersed in a fluid (liquid or gas) experiences an upward buoyancy force equal to the weight of the fluid displaced by the body. This force is called hydrostatic thrust.

Buoyancy Formula

The buoyancy F_b$F_b$ can be calculated with the following formula:

F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g

$$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g$$

where:

• \rho_f$\rho_f$ is the density of the fluid
• V_s$V_s$ is the volume of the displaced fluid (which is equal to the volume of the immersed body)
• g$g$ is the acceleration of gravity (\approx 9.81 \, \text{m/s}^2$\approx 9.81 \, \text{m/s}^2$)

Buoyancy Conditions

A body floats if the buoyancy is equal to its weight:

F_b = mg

$$F_b = mg$$

A body sinks if the weight is greater than the buoyancy:

mg > F_b

$$mg > F_b$$

A body is in equilibrium if the buoyancy is equal to its weight:

mg = F_b

$$mg = F_b$$

Exercises

Exercise 1: Calculating the Buoyancy

A wooden cube with a side of 0.5 \, \text{m}$0.5 \, \text{m}$ is completely immersed in water. Calculate the hydrostatic force acting on the cube. Assume that the density of water is \rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$.

Solution:

1. Calculate the volume of the cube:

V_s = l^3 = (0.5)^3 = 0.125 \, \text{m}^3

$$V_s = l^3 = (0.5)^3 = 0.125 \, \text{m}^3$$

2. Calculate the buoyancy:

F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 1000 \cdot 0.125 \cdot 9.81 \approx 1226.25 \, \text{N}

$$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 1000 \cdot 0.125 \cdot 9.81 \approx 1226.25 \, \text{N}$$

Exercise 2: Floating Conditions

An object of mass 2 \, \text{kg}$2 \, \text{kg}$ and volume 0.002 \, \text{m}^3$0.002 \, \text{m}^3$ is immersed in water. Determine whether the object floats or sinks. Assume that the density of water is \rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho_f = 1000 \, \text{kg/m}^3$.

Solution:

1. Calculate the weight of the object:

mg = 2 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}

$$mg = 2 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}$$

2. Calculate the buoyancy:

F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 1000 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}

$$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 1000 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}$$

3. Compare the weight and buoyancy:

mg = F_b \implies 19.62 \, \text{N} = 19.62 \, \text{N}

$$mg = F_b \implies 19.62 \, \text{N} = 19.62 \, \text{N}$$

The object is in equilibrium and therefore floats.

Exercise 3: Object in Oil

An object of mass 2 \, \text{kg}$2 \, \text{kg}$ and volume 0.002 \, \text{m}^3$0.002 \, \text{m}^3$ is immersed in oil with density 800 \, \text{kg/m}^3$800 \, \text{kg/m}^3$. Calculate the buoyancy and determine whether the object floats or sinks.

Solution:

1. Calculate the weight of the object:

mg = 2 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}

$$mg = 2 \cdot 9.81 = 19.62 \, \text{N}$$

2. Calculate the buoyancy force:

F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 800 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 15.696 \, \text{N}

$$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g = 800 \cdot 0.002 \cdot 9.81 = 15.696 \, \text{N}$$

3. Compare the weight and the buoyancy force:

mg = 19.62 \, \text{N} > F_b = 15.696 \, \text{N}

$$mg = 19.62 \, \text{N} > F_b = 15.696 \, \text{N}$$

The object sinks.

Exercise 5: Calculating the Density of a Fluid

An object of mass 5 \, \text{kg}$5 \, \text{kg}$ and volume 0.004 \, \text{m}^3$0.004 \, \text{m}^3$ is immersed in a fluid and causes a buoyancy force of 30 \, \text{N}$30 \, \text{N}$. Calculate the density of the fluid.

Solution:

1. Calculate the weight of the object:

mg = 5 \cdot 9.81 = 49.05 \, \text{N}

$$mg = 5 \cdot 9.81 = 49.05 \, \text{N}$$

2. The buoyancy force is given by:

F_b = 30 \, \text{N}

$$F_b = 30 \, \text{N}$$

3. Since F_b < mg$F_b < mg$, the object sinks. Let's calculate the density of the fluid:

F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g

$$F_b = \rho_f \cdot V_s \cdot g$$

Substituting the values:

30 = \rho_f \cdot 0.004 \cdot 9.81

$$30 = \rho_f \cdot 0.004 \cdot 9.81$$

Solving for \rho_f$\rho_f$:

\rho_f = \frac{30}{0.004 \cdot 9.81} \approx 765.19 \, \text{kg/m}^3

$$\rho_f = \frac{30}{0.004 \cdot 9.81} \approx 765.19 \, \text{kg/m}^3$$