Esercizi sul Polinomio di Taylor
Esercizi sul Polinomio di Taylor
Esercizi sul Polinomio di Taylor
Versione italiana
Esercizi sul Polinomio di Taylor
Concetti Chiave
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Definizione di Polinomio di Taylor:
Il polinomio di Taylor di una funzione f(x)f(x) attorno a un punto aa è un'approssimazione della funzione mediante un polinomio. È dato dalla formula:
P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
Pn​(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)​(x−a)2+3!f′′′(a)​(x−a)3+…+n!f(n)(a)​(x−a)n
dove nn è il grado del polinomio.
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Derivate:
Le derivate di f(x)f(x) sono calcolate in aa e utilizzate per costruire il polinomio di Taylor.
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Resto di Taylor:
Il resto R_n(x)Rn​(x) rappresenta l'errore tra la funzione originale e il polinomio di Taylor. Può essere espresso come:
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(c)​(x−a)n+1
per qualche cc tra aa e xx.
Esercizi
Esercizio 1: Polinomio di Taylor di Primo Grado
Problema: Trova il polinomio di Taylor di primo grado per la funzione f(x) = e^xf(x)=ex attorno al punto a = 0a=0.
Soluzione:
- Calcola f(0)f(0) e f'(0)f′(0):
f(0) = e^0 = 1, \quad f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1
f(0)=e0=1,f′(x)=ex⇒f′(0)=e0=1
- Scrivi il polinomio di Taylor di primo grado:
P_1(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 1 \cdot x = 1 + x
P1​(x)=f(0)+f′(0)(x−0)=1+1⋅x=1+x
Esercizio 2: Polinomio di Taylor di Secondo Grado
Problema: Trova il polinomio di Taylor di secondo grado per la funzione f(x) = \sin(x)f(x)=sin(x) attorno al punto a = 0a=0.
Soluzione:
- Calcola f(0)f(0), f'(0)f′(0), e f''(0)f′′(0):
f(0) = \sin(0) = 0, \quad f'(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(0) = \cos(0) = 1
f(0)=sin(0)=0,f′(x)=cos(x)⇒f′(0)=cos(0)=1
f''(x) = -\sin(x) \Rightarrow f''(0) = -\sin(0) = 0
f′′(x)=−sin(x)⇒f′′(0)=−sin(0)=0
- Scrivi il polinomio di Taylor di secondo grado:
P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 = 0 + 1 \cdot x + 0 = x
P2​(x)=f(0)+f′(0)(x−0)+2!f′′(0)​(x−0)2=0+1⋅x+0=x
English version
Taylor Polynomial Exercises
Key Concepts
- Definition of Taylor Polynomial:
The Taylor polynomial of a function f(x)f(x) around a point aa is an approximation of the function by a polynomial. It is given by the formula:
P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
Pn​(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+2!f′′(a)​(x−a)2+3!f′′′(a)​(x−a)3+…+n!f(n)(a)​(x−a)n
where nn is the degree of the polynomial.
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Derivatives:
The derivatives of f(x)f(x) are computed in aa and used to construct the Taylor polynomial.
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Taylor Remainder:
The remainder R_n(x)Rn​(x) represents the error between the original function and the Taylor polynomial. It can be expressed as:
R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}
Rn​(x)=(n+1)!f(n+1)(c)​(x−a)n+1
for some cc between aa and xx.
Exercises
Exercise 1: First Degree Taylor Polynomial
Problem: Find the first degree Taylor polynomial for the function f(x) = e^xf(x)=ex around the point a = 0a=0.
Solution:
- Calculate f(0)f(0) and f'(0)f′(0):
f(0) = e^0 = 1, \quad f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1
f(0)=e0=1,f′(x)=ex⇒f′(0)=e0=1
- Write the first-degree Taylor polynomial:
P_1(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 1 \cdot x = 1 + x
P1​(x)=f(0)+f′(0)(x−0)=1+1⋅x=1+x
Exercise 2: Second-degree Taylor polynomial
Problem: Find the second-degree Taylor polynomial for the function f(x) = \sin(x)f(x)=sin(x) around the point a = 0a=0.
Solution:
- Calculate f(0)f(0), f'(0)f′(0), and f''(0)f′′(0):
f(0) = \sin(0) = 0, \quad f'(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(0) = \cos(0) = 1
f(0)=sin(0)=0,f′(x)=cos(x)⇒f′(0)=cos(0)=1
f''(x) = -\sin(x) \Rightarrow f''(0) = -\sin(0) = 0
f′′(x)=−sin(x)⇒f′′(0)=−sin(0)=0
- Write the second degree Taylor polynomial:
P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 = 0 + 1 \cdot x + 0 = x
P2​(x)=f(0)+f′(0)(x−0)+2!f′′(0)​(x−0)2=0+1⋅x+0=x
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