Esercizi sul Polinomio di Taylor

Esercizi sul Polinomio di Taylor

Esercizi sul Polinomio di Taylor

Versione italiana

Esercizi sul Polinomio di Taylor

Concetti Chiave

1. Definizione di Polinomio di Taylor:
   Il polinomio di Taylor di una funzione f(x)$f(x)$ attorno a un punto a$a$ è un'approssimazione della funzione mediante un polinomio. È dato dalla formula:

   P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n

   $$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$

   dove n$n$ è il grado del polinomio.

2. Derivate:
   Le derivate di f(x)$f(x)$ sono calcolate in a$a$ e utilizzate per costruire il polinomio di Taylor.

3. Resto di Taylor:
   Il resto R_n(x)$R_n(x)$ rappresenta l'errore tra la funzione originale e il polinomio di Taylor. Può essere espresso come:

   R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}

   $$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$

   per qualche c$c$ tra a$a$ e x$x$.

Esercizi

Esercizio 1: Polinomio di Taylor di Primo Grado

Problema: Trova il polinomio di Taylor di primo grado per la funzione f(x) = e^x$f(x) = e^x$ attorno al punto a = 0$a = 0$.

Soluzione:

1. Calcola f(0)$f(0)$ e f'(0)$f'(0)$:

   f(0) = e^0 = 1, \quad f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1

   $$f(0) = e^0 = 1, \quad f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1$$
2. Scrivi il polinomio di Taylor di primo grado:

   P_1(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 1 \cdot x = 1 + x

   $$P_1(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 1 \cdot x = 1 + x$$

Esercizio 2: Polinomio di Taylor di Secondo Grado

Problema: Trova il polinomio di Taylor di secondo grado per la funzione f(x) = \sin(x)$f(x) = \sin(x)$ attorno al punto a = 0$a = 0$.

Soluzione:

1. Calcola f(0)$f(0)$, f'(0)$f'(0)$, e f''(0)$f''(0)$:

   f(0) = \sin(0) = 0, \quad f'(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(0) = \cos(0) = 1

   $$f(0) = \sin(0) = 0, \quad f'(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(0) = \cos(0) = 1$$

   f''(x) = -\sin(x) \Rightarrow f''(0) = -\sin(0) = 0

   $$f''(x) = -\sin(x) \Rightarrow f''(0) = -\sin(0) = 0$$
2. Scrivi il polinomio di Taylor di secondo grado:

   P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 = 0 + 1 \cdot x + 0 = x

   $$P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 = 0 + 1 \cdot x + 0 = x$$

English version

Taylor Polynomial Exercises

Key Concepts

1. Definition of Taylor Polynomial:
   The Taylor polynomial of a function f(x)$f(x)$ around a point a$a$ is an approximation of the function by a polynomial. It is given by the formula:

P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n

$$P_n(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \frac{f'''(a)}{3!}(x - a)^3 + \ldots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n$$

where n$n$ is the degree of the polynomial.

2. Derivatives:
   The derivatives of f(x)$f(x)$ are computed in a$a$ and used to construct the Taylor polynomial.

3. Taylor Remainder:
   The remainder R_n(x)$R_n(x)$ represents the error between the original function and the Taylor polynomial. It can be expressed as:

R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}

$$R_n(x) = \frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x - a)^{n+1}$$

for some c$c$ between a$a$ and x$x$.

Exercises

Exercise 1: First Degree Taylor Polynomial

Problem: Find the first degree Taylor polynomial for the function f(x) = e^x$f(x) = e^x$ around the point a = 0$a = 0$.

Solution:

1. Calculate f(0)$f(0)$ and f'(0)$f'(0)$:

f(0) = e^0 = 1, \quad f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1

$$f(0) = e^0 = 1, \quad f'(x) = e^x \Rightarrow f'(0) = e^0 = 1$$

2. Write the first-degree Taylor polynomial:

P_1(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 1 \cdot x = 1 + x

$$P_1(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + 1 \cdot x = 1 + x$$

Exercise 2: Second-degree Taylor polynomial

Problem: Find the second-degree Taylor polynomial for the function f(x) = \sin(x)$f(x) = \sin(x)$ around the point a = 0$a = 0$.

Solution:

1. Calculate f(0)$f(0)$, f'(0)$f'(0)$, and f''(0)$f''(0)$:

f(0) = \sin(0) = 0, \quad f'(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(0) = \cos(0) = 1

$$f(0) = \sin(0) = 0, \quad f'(x) = \cos(x) \Rightarrow f'(0) = \cos(0) = 1$$

f''(x) = -\sin(x) \Rightarrow f''(0) = -\sin(0) = 0

$$f''(x) = -\sin(x) \Rightarrow f''(0) = -\sin(0) = 0$$

2. Write the second degree Taylor polynomial:

P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 = 0 + 1 \cdot x + 0 = x

$$P_2(x) = f(0) + f'(0)(x - 0) + \frac{f''(0)}{2!}(x - 0)^2 = 0 + 1 \cdot x + 0 = x$$