Esercizi sul Pendolo Semplice e Pendolo Reale

Esercizi sul Pendolo Semplice e Pendolo Reale

Esercizi sul Pendolo Semplice e Pendolo Reale

Versione italiana

Esercizi sul Pendolo Semplice e Pendolo Reale

Concetti Principali

Pendolo Semplice

• Definizione: Un pendolo semplice è un sistema composto da una massa puntiforme (chiamata "bob") sospesa a un filo inestensibile e privo di massa, che oscilla attorno a un punto di equilibrio.
• Equazione del Moto: Per piccole oscillazioni, il moto del pendolo semplice può essere descritto da un'oscillazione armonica semplice:

  \theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi)

  $$\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi)$$
  dove \theta_0$\theta_0$ è l'ampiezza, \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ è la pulsazione angolare, g$g$ è l'accelerazione di gravità e L$L$ è la lunghezza del pendolo.
• Periodo: Il periodo T$T$ del pendolo semplice è dato da:

  T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

  $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Pendolo Reale

• Definizione: Un pendolo reale considera la massa del filo e la distribuzione della massa del bob. In questo caso, il pendolo non è più un sistema ideale.
• Momento d'Inerzia: Il periodo di un pendolo reale dipende dal momento d'inerzia del bob e dalla sua forma. La formula per il periodo diventa più complessa e può essere espressa come:

  T = 2\pi \sqrt{\frac{I + m d^2}{m g L}}

  $$T = 2\pi \sqrt{\frac{I + m d^2}{m g L}}$$
  dove I$I$ è il momento d'inerzia del bob rispetto all'asse di rotazione, m$m$ è la massa del bob, d$d$ è la distanza dal centro di massa al punto di sospensione, e L$L$ è la lunghezza del pendolo.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo del Periodo di un Pendolo Semplice

Un pendolo semplice ha una lunghezza di L = 2 \, \text{m}$L = 2 \, \text{m}$. Calcola il periodo delle sue oscillazioni.

Soluzione:
Utilizziamo la formula del periodo:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Assumendo g = 9.81 \, \text{m/s}^2$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$:

T = 2\pi \sqrt{\frac{2}{9.81}} \approx 2.83 \, \text{s}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{2}{9.81}} \approx 2.83 \, \text{s}$$

Esercizio 2: Oscillazioni di un Pendolo Reale

Un pendolo reale ha un bob di massa m = 1 \, \text{kg}$m = 1 \, \text{kg}$ e un momento d'inerzia I = 0.1 \, \text{kg m}^2$I = 0.1 \, \text{kg m}^2$. La lunghezza del pendolo è L = 1.5 \, \text{m}$L = 1.5 \, \text{m}$ e la distanza dal centro di massa al punto di sospensione è d = 0.5 \, \text{m}$d = 0.5 \, \text{m}$. Calcola il periodo delle oscillazioni.

Soluzione:
Utilizziamo la formula del periodo per il pendolo reale:

T = 2\pi \sqrt{\frac{I + m d^2}{m g L}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{I + m d^2}{m g L}}$$

Sostituendo i valori:

T = 2\pi \sqrt{\frac{0.1 + 1 \cdot (0.5)^2}{1 \cdot 9.81 \cdot 1.5}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.1 + 0.25}{14.715}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.35}{14.715}} \approx 0.48 \, \text{s}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.1 + 1 \cdot (0.5)^2}{1 \cdot 9.81 \cdot 1.5}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.1 + 0.25}{14.715}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.35}{14.715}} \approx 0.48 \, \text{s}$$

English version

Simple Pendulum and Real Pendulum Exercises

Main Concepts

Simple Pendulum

• Definition: A simple pendulum is a system composed of a point mass (called a "bob") suspended from an inextensible and massless string, which oscillates around an equilibrium point.
• Equation of Motion: For small oscillations, the motion of the simple pendulum can be described by a simple harmonic oscillation:

\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi)

$$\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t + \phi)$$

where \theta_0$\theta_0$ is the amplitude, \omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ is the angular pulsation, g$g$ is the gravitational acceleration, and L$L$ is the length of the pendulum.

• Period: The period T$T$ of the simple pendulum is given by:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Real Pendulum

• Definition: A real pendulum takes into account the mass of the string and the mass distribution of the bob. In this case, the pendulum is no longer an ideal system.
• Moment of Inertia: The period of a real pendulum depends on the moment of inertia of the bob and its shape. The formula for the period becomes more complex and can be expressed as:

T = 2\pi \sqrt{\frac{I + m d^2}{m g L}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{I + m d^2}{m g L}}$$

where I$I$ is the moment of inertia of the bob about the axis of rotation, m$m$ is the mass of the bob, d$d$ is the distance from the center of mass to the suspension point, and L$L$ is the length of the pendulum.

Exercises

Exercise 1: Calculating the Period of a Simple Pendulum

A simple pendulum has a length of L = 2 \, \text{m}$L = 2 \, \text{m}$. Calculate the period of its oscillations.

Solution:
We use the period formula:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

Assuming g = 9.81 \, \text{m/s}^2$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$:

T = 2\pi \sqrt{\frac{2}{9.81}} \approx 2.83 \, \text{s}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{2}{9.81}} \approx 2.83 \, \text{s}$$

Exercise 2: Oscillations of a Real Pendulum

A real pendulum has a bob of mass m = 1 \, \text{kg}$m = 1 \, \text{kg}$ and a moment of inertia I = 0.1 \, \text{kg m}^2$I = 0.1 \, \text{kg m}^2$. The length of the pendulum is L = 1.5 \, \text{m}$L = 1.5 \, \text{m}$ and the distance from the center of mass to the suspension point is d = 0.5 \, \text{m}$d = 0.5 \, \text{m}$. Calculate the period of the oscillations.

Solution:
We use the period formula for the real pendulum:

T = 2\pi \sqrt{\frac{I + m d^2}{m g L}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{I + m d^2}{m g L}}$$

Substituting the values:

T = 2\pi \sqrt{\frac{0.1 + 1 \cdot (0.5)^2}{1 \cdot 9.81 \cdot 1.5}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.1 + 0.25}{14.715}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.35}{14.715}} \approx 0.48 \, \text{s}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.1 + 1 \cdot (0.5)^2}{1 \cdot 9.81 \cdot 1.5}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.1 + 0.25}{14.715}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.35}{14.715}} \approx 0.48 \, \text{s}$$