Esercizi sul moto oscillatorio

Esercizi sul moto oscillatorio

Esercizi sul moto oscillatorio

Versione italiana

Esercizi sul moto oscillatorio

Il moto oscillatorio è un argomento fondamentale in fisica, che descrive il movimento di un oggetto che si muove avanti e indietro attorno a una posizione di equilibrio. Gli esempi più comuni di moto oscillatorio includono il moto di un pendolo e le oscillazioni di una molla. Ecco alcuni concetti chiave e alcuni esercizi pratici.

Concetti Fondamentali

1. Moto armonico semplice (MAS): È un tipo di moto oscillatorio in cui la forza che agisce sull'oggetto è proporzionale e opposta allo spostamento dalla posizione di equilibrio. La formula per la posizione x(t)$x(t)$ di un oggetto in moto armonico semplice è:

   x(t) = A \cos(\omega t + \phi)

   $$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

   dove:

   • A è l'ampiezza dell'oscillazione,
   • \omega$\omega$ è la pulsazione (frequenza angolare) in rad/s,
   • \phi$\phi$ è la fase iniziale.

2. Pulsazione: La pulsazione è data da:

   \omega = 2\pi f

   $$\omega = 2\pi f$$

   dove f è la frequenza in hertz (Hz).

3. Energia nel moto oscillatorio: L'energia totale E di un sistema in moto armonico semplice è costante e può essere espressa come la somma dell'energia cinetica K e dell'energia potenziale U:

   E = K + U

   $$E = K + U$$
   • L'energia cinetica è massima quando l'oggetto passa per la posizione di equilibrio.
   • L'energia potenziale è massima quando l'oggetto si trova all'estremità dell'oscillazione.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo della posizione

• Un oggetto in moto armonico semplice ha un'ampiezza di 0.5 m, una frequenza di 2 Hz e una fase iniziale di 0. Calcola la posizione dell'oggetto dopo 1 secondo.
• Soluzione:
  • Calcola la pulsazione:

  \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 \approx 12.57 \, \text{rad/s}.

  $$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 \approx 12.57 \, \text{rad/s}.$$
  • Usa la formula per la posizione:

  x(t) = A \cos(\omega t + \phi) = 0.5 \cos(12.57 \cdot 1 + 0) = 0.5 \cos(12.57) \approx 0.5 \cdot 0 \approx 0 \, m.

  $$x(t) = A \cos(\omega t + \phi) = 0.5 \cos(12.57 \cdot 1 + 0) = 0.5 \cos(12.57) \approx 0.5 \cdot 0 \approx 0 \, m.$$

Esercizio 2: Calcolo della velocità

• Usando i dati dell'esercizio precedente, calcola la velocità dell'oggetto dopo 1 secondo.
• Soluzione:
  • La velocità v(t)$v(t)$ in un moto armonico semplice è data da:

  v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi).

  $$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi).$$
  • Sostituendo i valori:

  v(1) = -0.5 \cdot 12.57 \cdot \sin(12.57) \approx -0.5 \cdot 12.57 \cdot 0 \approx 0 \, m/s.

  $$v(1) = -0.5 \cdot 12.57 \cdot \sin(12.57) \approx -0.5 \cdot 12.57 \cdot 0 \approx 0 \, m/s.$$

Esercizio 3: Energia totale

• Un oggetto di massa 2 kg oscilla con un'ampiezza di 0.3 m e una frequenza di 1 Hz. Calcola l'energia totale del sistema.
• Soluzione:
  • Calcola la pulsazione:

  \omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1 \approx 6.28 \, \text{rad/s}.

  $$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1 \approx 6.28 \, \text{rad/s}.$$
  • L'energia totale è data da:

  E = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2.

  $$E = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2.$$
  • Sostituendo i valori:

  E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.3)^2 \cdot (6.28)^2 \approx 1 \cdot 0.09 \cdot 39.478 \approx 3.55 \, J.

  $$E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.3)^2 \cdot (6.28)^2 \approx 1 \cdot 0.09 \cdot 39.478 \approx 3.55 \, J.$$

Esercizio 4: Periodo di un Pendolo

• Un pendolo ha una lunghezza di L = m. Calcola il periodo T del pendolo.
• Soluzione:
  • Il periodo di un pendolo semplice è dato dalla formula:

  T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

  $$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$
  dove g è l'accelerazione di gravità, approssimativamente 9.81 \, m/s^2$9.81 \, m/s^2$.
  • Sostituendo i valori:

  T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}} \approx 2\pi \sqrt{0.1019} \approx 2\pi \cdot 0.319 \approx 2.007 \, s.

  $$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}} \approx 2\pi \sqrt{0.1019} \approx 2\pi \cdot 0.319 \approx 2.007 \, s.$$
• Quindi, il periodo del pendolo è di circa 2.007 \, s$2.007 \, s$.

Esercizio 5: Oscillazioni di una Molla

• Una molla ha una costante elastica k = 200 \, N/m$k = 200 \, N/m$ e un oggetto di massa m = 2 \, kg$m = 2 \, kg$ è attaccato ad essa. Calcola la frequenza delle oscillazioni.
• Soluzione:
  • La frequenza f$f$ di un sistema massa-molla è data dalla formula:

  f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.

  $$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.$$
  • Sostituendo i valori:

  f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{200}{2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{100} = \frac{1}{2\pi} \cdot 10 \approx \frac{10}{6.28} \approx 1.59 \, Hz.

  $$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{200}{2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{100} = \frac{1}{2\pi} \cdot 10 \approx \frac{10}{6.28} \approx 1.59 \, Hz.$$
• Quindi, la frequenza delle oscillazioni è di circa 1.59 \, Hz$1.59 \, Hz$.

Esercizio 6: Ampiezza di Oscillazione

• Un oggetto di massa 0.5 \, kg$0.5 \, kg$ è attaccato a una molla con costante elastica k = 150 \, N/m$k = 150 \, N/m$. Se l'oggetto viene allungato di 0.2 \, m$0.2 \, m$ e poi rilasciato, calcola l'ampiezza dell'oscillazione.
• Soluzione:
  • L'ampiezza A è semplicemente la distanza massima dalla posizione di equilibrio, che in questo caso è 0.2 \, m$0.2 \, m$ (l'allungamento iniziale della molla).
• Quindi, l'ampiezza dell'oscillazione è di 0.2 \, m$0.2 \, m$.

Esercizio 7: Energia Potenziale in una Molla

• Calcola l'energia potenziale immagazzinata in una molla quando è allungata di 0.1 \, m$0.1 \, m$ e ha una costante elastica k = 300 \, N/m$k = 300 \, N/m$.
• Soluzione:
  • L'energia potenziale U immagazzinata in una molla è data dalla formula:

  U = \frac{1}{2} k x^2,

  $$U = \frac{1}{2} k x^2,$$
  dove x è l'allungamento della molla.
  • Sostituendo i valori:

  U = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot (0.1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot 0.01 = \frac{1.5}{2} = 1.5 \, J.

  $$U = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot (0.1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot 0.01 = \frac{1.5}{2} = 1.5 \, J.$$
• Quindi, l'energia potenziale immagazzinata nella molla è di 1.5 \, J$1.5 \, J$.

English version

Oscillatory Motion Exercises

Oscillatory motion is a fundamental topic in physics, describing the motion of an object as it bounces back and forth around an equilibrium position. Common examples of oscillatory motion include the motion of a pendulum and the oscillations of a spring. Here are some key concepts and practice exercises.

Fundamental Concepts

1. Simple Harmonic Motion (SHM): It is a type of oscillatory motion in which the force acting on the object is proportional and opposite to the displacement from the equilibrium position. The formula for the position x(t)$x(t)$ of an object in simple harmonic motion is:

x(t) = A \cos(\omega t + \phi)

$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi)$$

where:

• A is the amplitude of the oscillation,
• \omega$\omega$ is the pulsation (angular frequency) in rad/s,
• \phi$\phi$ is the initial phase.

2. Pulsation: The pulsation is given by:

\omega = 2\pi f

$$\omega = 2\pi f$$

where f is the frequency in hertz (Hz).

3. Energy in oscillatory motion: The total energy E of a system in simple harmonic motion is constant and can be expressed as the sum of the kinetic energy K and the potential energy U:

E = K + U

$$E = K + U$$

• The kinetic energy is maximum when the object passes through the equilibrium position.
• The potential energy is maximum when the object is at the end of the oscillation.

Exercises

Exercise 1: Calculating the position

• An object in simple harmonic motion has an amplitude of 0.5 m, a frequency of 2 Hz and an initial phase of 0. Calculate the position of the object after 1 second.
• Solution:
• Calculate the pulsation:

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 \approx 12.57 \, \text{rad/s}.

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 2 \approx 12.57 \, \text{rad/s}.$$

• Use the formula for the position:

x(t) = A \cos(\omega t + \phi) = 0.5 \cos(12.57 \cdot 1 + 0) = 0.5 \cos(12.57) \approx 0.5 \cdot 0 \approx 0 \, m.

$$x(t) = A \cos(\omega t + \phi) = 0.5 \cos(12.57 \cdot 1 + 0) = 0.5 \cos(12.57) \approx 0.5 \cdot 0 \approx 0 \, m.$$

Exercise 2: Calculating the velocity

• Using the data from the previous exercise, calculate the velocity of the object after 1 second.
• Solution:
• The velocity v(t)$v(t)$ in a simple harmonic motion is given by:

v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi).

$$v(t) = -A \omega \sin(\omega t + \phi).$$

• Substituting the values:

v(1) = -0.5 \cdot 12.57 \cdot \sin(12.57) \approx -0.5 \cdot 12.57 \cdot 0 \approx 0 \, m/s.

$$v(1) = -0.5 \cdot 12.57 \cdot \sin(12.57) \approx -0.5 \cdot 12.57 \cdot 0 \approx 0 \, m/s.$$

Exercise 3: Total Energy

• An object of mass 2 kg oscillates with an amplitude of 0.3 m and a frequency of 1 Hz. Calculate the total energy of the system.
• Solution:
• Calculate the pulsation:

\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1 \approx 6.28 \, \text{rad/s}.

$$\omega = 2\pi f = 2\pi \cdot 1 \approx 6.28 \, \text{rad/s}.$$

• The total energy is given by:

E = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2.

$$E = \frac{1}{2} m A^2 \omega^2.$$

• Substituting the values:

E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.3)^2 \cdot (6.28)^2 \approx 1 \cdot 0.09 \cdot 39.478 \approx 3.55 \, J.

$$E = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot (0.3)^2 \cdot (6.28)^2 \approx 1 \cdot 0.09 \cdot 39.478 \approx 3.55 \, J.$$

Exercise 4: Period of a Pendulum

• A pendulum has a length of L = m. Calculate the period T of the pendulum.
• Solution:
• The period of a simple pendulum is given by the formula:

T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$$

where g is the acceleration of gravity, approximately 9.81 \, m/s^2$9.81 \, m/s^2$.

• Substituting the values:

T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}} \approx 2\pi \sqrt{0.1019} \approx 2\pi \cdot 0.319 \approx 2.007 \, s.

$$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{9.81}} \approx 2\pi \sqrt{0.1019} \approx 2\pi \cdot 0.319 \approx 2.007 \, s.$$

• Therefore, the period of the pendulum is approximately 2.007 \, s$2.007 \, s$.

Exercise 5: Oscillations of a Spring

• A spring has a spring constant k = 200 \, N/m$k = 200 \, N/m$ and an object of mass m = 2 \, kg$m = 2 \, kg$ is attached to it. Calculate the frequency of oscillations.
• Solution:
• The frequency f$f$ of a mass-spring system is given by the formula:

f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.

$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{k}{m}}.$$

• Substituting the values:

f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{200}{2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{100} = \frac{1}{2\pi} \cdot 10 \approx \frac{10}{6.28} \approx 1.59 \, Hz.

$$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{200}{2}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{100} = \frac{1}{2\pi} \cdot 10 \approx \frac{10}{6.28} \approx 1.59 \, Hz.$$

• Therefore, the frequency of oscillations is approximately 1.59 \, Hz$1.59 \, Hz$.

Exercise 6: Amplitude of Oscillation

• An object of mass 0.5 \, kg$0.5 \, kg$ is attached to a spring with spring constant k = 150 \, N/m$k = 150 \, N/m$. If the object is stretched by 0.2 \, m$0.2 \, m$ and then released, calculate the amplitude of the oscillation.
• Solution:
• The amplitude A is simply the maximum distance from the equilibrium position, which in this case is 0.2 \, m$0.2 \, m$ (the initial stretch of the spring).
• Therefore, the amplitude of the oscillation is 0.2 \, m$0.2 \, m$.

Exercise 7: Potential Energy in a Spring

• Calculate the potential energy stored in a spring when it is stretched by 0.1 \, m$0.1 \, m$ and has a spring constant k = 300 \, N/m$k = 300 \, N/m$.
• Solution:
• The potential energy U stored in a spring is given by the formula:

U = \frac{1}{2} k x^2,

$$U = \frac{1}{2} k x^2,$$

where x is the elongation of the spring.

• Substituting the values:

U = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot (0.1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot 0.01 = \frac{1.5}{2} = 1.5 \, J.

$$U = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot (0.1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 300 \cdot 0.01 = \frac{1.5}{2} = 1.5 \, J.$$

• Therefore, the potential energy stored in the spring is 1.5 \, J$1.5 \, J$.