Esercizi sul Moto Laminare

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Versione italiana

Esercizi sul Moto Laminare

Concetti Chiave

1. Moto Laminare: Un tipo di flusso in cui le particelle di fluido si muovono in strati paralleli senza mescolarsi. Si verifica a basse velocità e in fluidi con alta viscosità.

2. Numero di Reynolds (Re): Un parametro adimensionale che determina il regime di flusso. È definito come:
   Re = \frac{\rho v L}{\mu}$Re = \frac{\rho v L}{\mu}$
   dove:

   • $ \rho $ = densità del fluido (kg/m³)

   • v$v$ = velocità del fluido (m/s)

   • L$L$ = lunghezza caratteristica (m)

   • \mu$\mu$ = viscosità dinamica del fluido (Pa·s)

   • Se Re < 2000$Re < 2000$, il flusso è laminare.

   • Se Re > 4000$Re > 4000$, il flusso è turbolento.

3. Viscosità: Una misura della resistenza di un fluido al flusso. Maggiore è la viscosità, maggiore è la resistenza al moto.

4. Legge di Poiseuille: Descrive il flusso di un fluido viscoso attraverso un tubo cilindrico. La portata volumetrica Q$Q$ è data da:
   Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$
   dove:

   • r$r$ = raggio del tubo (m)
   • P_1 - P_2$P_1 - P_2$ = differenza di pressione (Pa)
   • L$L$ = lunghezza del tubo (m)

Esercizio 1: Calcolo del Numero di Reynolds

Problema

Un fluido con densità \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ e viscosità \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$ scorre attraverso un tubo con raggio r = 0.01 \, \text{m}$r = 0.01 \, \text{m}$ a una velocità v = 0.5 \, \text{m/s}$v = 0.5 \, \text{m/s}$. Calcola il numero di Reynolds.

Soluzione

1. Calcola la lunghezza caratteristica:
   L = 2r = 2 \times 0.01 = 0.02 \, \text{m}$L = 2r = 2 \times 0.01 = 0.02 \, \text{m}$

2. Calcola il numero di Reynolds:
   Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{1000 \times 0.5 \times 0.02}{0.001} = 10000$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{1000 \times 0.5 \times 0.02}{0.001} = 10000$

3. Conclusione: Poiché Re > 4000$Re > 4000$, il flusso è turbolento.

Esercizio 2: Portata Volumetrica con la Legge di Poiseuille

Problema

Calcola la portata volumetrica Q$Q$ di un fluido che scorre attraverso un tubo di raggio r = 0.01 \, \text{m}$r = 0.01 \, \text{m}$ e lunghezza L = 1 \, \text{m}$L = 1 \, \text{m}$ con una differenza di pressione P_1 - P_2 = 500 \, \text{Pa}$P_1 - P_2 = 500 \, \text{Pa}$ e viscosità \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$.

Soluzione

1. Applica la legge di Poiseuille:
   Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$

2. Calcola Q$Q$:
   Q = \frac{\pi (0.01)^4 (500)}{8 \times 0.001 \times 1}$Q = \frac{\pi (0.01)^4 (500)}{8 \times 0.001 \times 1}$
   Q = \frac{\pi \times 1 \times 10^{-8} \times 500}{0.008}$Q = \frac{\pi \times 1 \times 10^{-8} \times 500}{0.008}$
   Q \approx \frac{1.57 \times 10^{-5}}{0.008} \approx 1.96 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}$Q \approx \frac{1.57 \times 10^{-5}}{0.008} \approx 1.96 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}$

3. Conclusione: La portata volumetrica è di circa 1.96 \, \text{L/s}$1.96 \, \text{L/s}$.

Esercizio 3: Viscosità e Flusso Laminare

Problema

Un fluido con densità \rho = 850 \, \text{kg/m}^3$\rho = 850 \, \text{kg/m}^3$ e viscosità \mu = 0.002 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.002 \, \text{Pa*s}$ scorre attraverso un tubo di raggio r = 0.005 \, \text{m}$r = 0.005 \, \text{m}$ a una velocità v = 0.1 \, \text{m/s}$v = 0.1 \, \text{m/s}$. Determina se il flusso è laminare o turbolento.

Soluzione

1. Calcola la lunghezza caratteristica:
   L = 2r = 2 \times 0.005 = 0.01 \, \text{m}$L = 2r = 2 \times 0.005 = 0.01 \, \text{m}$

2. Calcola il numero di Reynolds:
   Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{850 \times 0.1 \times 0.01}{0.002}$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{850 \times 0.1 \times 0.01}{0.002}$
   Re = \frac{0.85}{0.002} = 425$Re = \frac{0.85}{0.002} = 425$

3. Conclusione: Poiché Re < 2000$Re < 2000$, il flusso è laminare.

Esercizio 4: Analisi della Viscosità

Problema

Un fluido scorre attraverso un tubo di raggio r = 0.02 \, \text{m}$r = 0.02 \, \text{m}$ e lunghezza L = 2 \, \text{m}$L = 2 \, \text{m}$ con una portata volumetrica Q = 0.0005 \, \text{m}^3/\text{s}$Q = 0.0005 \, \text{m}^3/\text{s}$. Se la differenza di pressione tra le estremità del tubo è P_1 - P_2 = 1000 \, \text{Pa}$P_1 - P_2 = 1000 \, \text{Pa}$, calcola la viscosità \mu$\mu$ del fluido.

Soluzione

1. Applica la legge di Poiseuille:
   Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$

2. Isola \mu$\mu$:
   \mu = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 Q L}$\mu = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 Q L}$

3. Calcola \mu$\mu$:
   \mu = \frac{\pi (0.02)^4 (1000)}{8 \times 0.0005 \times 2}$\mu = \frac{\pi (0.02)^4 (1000)}{8 \times 0.0005 \times 2}$
   \mu = \frac{\pi \times 1.6 \times 10^{-7} \times 1000}{0.008}$\mu = \frac{\pi \times 1.6 \times 10^{-7} \times 1000}{0.008}$
   \mu = \frac{5.0265 \times 10^{-4}}{0.008} \approx 0.0633 \, \text{Pa*s}$\mu = \frac{5.0265 \times 10^{-4}}{0.008} \approx 0.0633 \, \text{Pa*s}$

4. Conclusione: La viscosità del fluido è di circa 0.0633 \, \text{Pa*s}$0.0633 \, \text{Pa*s}$.

English version

Laminar Flow Exercises

Key Concepts

1. Laminar Flow: A type of flow in which fluid particles move in parallel layers without mixing. It occurs at low velocities and in fluids with high viscosity.

2. Reynolds Number (Re): A dimensionless parameter that determines the flow regime. It is defined as:
   Re = \frac{\rho v L}{\mu}$Re = \frac{\rho v L}{\mu}$
   where:

• $ \rho $ = density of the fluid (kg/m³)

• v$v$ = velocity of the fluid (m/s)

• L$L$ = characteristic length (m)

• \mu$\mu$ = dynamic viscosity of the fluid (Pa s)

• If Re < 2000$Re < 2000$, the flow is laminar.

• If Re > 4000$Re > 4000$, the flow is turbulent.

3. Viscosity: A measure of a fluid's resistance to flow. The higher the viscosity, the greater the resistance to motion.

4. Poiseuille's Law: Describes the flow of a viscous fluid through a cylindrical tube. The volumetric flow rate Q$Q$ is given by:
   Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$
   where:

• r$r$ = radius of the pipe (m)
• P_1 - P_2$P_1 - P_2$ = pressure difference (Pa)
• L$L$ = length of the pipe (m)

Exercise 1: Calculating the Reynolds Number

Problem

A fluid with density \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ and viscosity \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$ flows through a pipe with radius r = 0.01 \, \text{m}$r = 0.01 \, \text{m}$ at a speed v = 0.5 \, \text{m/s}$v = 0.5 \, \text{m/s}$. Calculate the Reynolds number.

Solution

1. Calculate the characteristic length:
   L = 2r = 2 \times 0.01 = 0.02 \, \text{m}$L = 2r = 2 \times 0.01 = 0.02 \, \text{m}$

2. Calculate the Reynolds number:
   Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{1000 \times 0.5 \times 0.02}{0.001} = 10000$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{1000 \times 0.5 \times 0.02}{0.001} = 10000$

3. Conclusion: Since Re > 4000$Re > 4000$, the flow is turbulent.

Exercise 2: Volumetric Flow Rate with Poiseuille's Law

Problem

Calculate the volumetric flow rate Q$Q$ of a fluid flowing through a tube of radius r = 0.01 \, \text{m}$r = 0.01 \, \text{m}$ and length L = 1 \, \text{m}$L = 1 \, \text{m}$ with a pressure difference P_1 - P_2 = 500 \, \text{Pa}$P_1 - P_2 = 500 \, \text{Pa}$ and viscosity \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$.

Solution

1.Apply Poiseuille's law: Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$
2. Calculate Q$Q$: Q = \frac{\pi (0.01)^4 (500)}{8 \times 0.001 \times 1}$Q = \frac{\pi (0.01)^4 (500)}{8 \times 0.001 \times 1}$
Q = \frac{\pi \times 1 \times 10^{-8 } \times 500}{0.008}$Q = \frac{\pi \times 1 \times 10^{-8 } \times 500}{0.008}$
Q \approx \frac{1.57 \times 10^{-5}}{0.008} \approx 1.96 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}$Q \approx \frac{1.57 \times 10^{-5}}{0.008} \approx 1.96 \times 10^{-3} \, \text{m}^3/\text{s}$
3. Conclusion: The volumetric flow rate is approximately 1.96 \, \text{L/s}$1.96 \, \text{L/s}$.

Exercise 3: Viscosity and Laminar Flow

Problem

A fluid with density \rho = 850 \, \text{kg/m}^3$\rho = 850 \, \text{kg/m}^3$ and viscosity \mu = 0.002 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.002 \, \text{Pa*s}$ flows through a tube of radius r = 0.005 \, \text{m}$r = 0.005 \, \text{m}$ at a velocity v = 0.1 \, \text{m/s}$v = 0.1 \, \text{m/s}$. Determine whether the flow is laminar or turbulent.

Solution

1. Calculate the characteristic length:
   L = 2r = 2 \times 0.005 = 0.01 \, \text{m}$L = 2r = 2 \times 0.005 = 0.01 \, \text{m}$

2. Calculate the Reynolds number:
   Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{850 \times 0.1 \times 0.01}{0.002}$Re = \frac{\rho v L}{\mu} = \frac{850 \times 0.1 \times 0.01}{0.002}$
   Re = \frac{0.85}{0.002} = 425$Re = \frac{0.85}{0.002} = 425$

3. Conclusion: Since Re < 2000$Re < 2000$, the flow is laminar.

Exercise 4: Viscosity Analysis

Problem

A fluid flows through a tube of radius r = 0.02 \, \text{m}$r = 0.02 \, \text{m}$ and length L = 2 \, \text{m}$L = 2 \, \text{m}$ with a volumetric flow rate Q = 0.0005 \, \text{m}^3/\text{s}$Q = 0.0005 \, \text{m}^3/\text{s}$. If the pressure difference between the ends of the tube is P_1 - P_2 = 1000 \, \text{Pa}$P_1 - P_2 = 1000 \, \text{Pa}$, calculate the viscosity \mu$\mu$ of the fluid.

Solution

1. Apply Poiseuille's law: Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$Q = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 \mu L}$

2. Isolate \mu$\mu$: \mu = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 Q L}$\mu = \frac{\pi r^4 (P_1 - P_2)}{8 Q L}$

3. Calculate \mu$\mu$: \mu = \frac{\pi (0.02)^4 (1000 )}{8 \times 0.0005 \times 2}$\mu = \frac{\pi (0.02)^4 (1000 )}{8 \times 0.0005 \times 2}$ \mu = \frac{\pi \times 1.6 \times 10^{-7} \times 1000}{0.008}$\mu = \frac{\pi \times 1.6 \times 10^{-7} \times 1000}{0.008}$ \mu = \frac{5.0265 \times 10^{-4}}{0.008} \approx 0.0633 \, \text{Pa*s}$\mu = \frac{5.0265 \times 10^{-4}}{0.008} \approx 0.0633 \, \text{Pa*s}$

4. Conclusion: The viscosity of the fluid is approximately 0.0633 \, \text{Pa*s}$0.0633 \, \text{Pa*s}$.