Esercizi sul moto di un proiettile

Esercizi sul moto di un proiettile

Esercizi sul moto di un proiettile

Versione italiana

Esercizi sul moto di un proiettile

Concetti Chiave

1. Moto di un Proiettile: È il movimento di un oggetto lanciato in aria, che segue una traiettoria parabolica a causa della forza di gravità.

2. Componenti del Moto:

   • Componente Orizzontale: La velocità orizzontale v_x$v_x$ rimane costante, poiché non ci sono forze orizzontali (trascurando la resistenza dell'aria).
   • Componente Verticale: La velocità verticale v_y$v_y$ cambia a causa della forza di gravità, che agisce verso il basso con un'accelerazione g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$.

3. Equazioni del Moto:

   • Posizione Orizzontale: x(t) = v_{0x} t$x(t) = v_{0x} t$
   • Posizione Verticale: y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$
   • Velocità Orizzontale: v_x = v_{0x}$v_x = v_{0x}$
   • Velocità Verticale: v_y(t) = v_{0y} - g t$v_y(t) = v_{0y} - g t$

4. Parametri Importanti:

   • Angolo di Lancio: L'angolo \theta$\theta$ rispetto all'orizzontale determina le componenti della velocità iniziale:

     v_{0x} = v_0 \cos(\theta), \quad v_{0y} = v_0 \sin(\theta)

     $$v_{0x} = v_0 \cos(\theta), \quad v_{0y} = v_0 \sin(\theta)$$
   • Altezza Massima: La massima altezza raggiunta dal proiettile può essere calcolata usando:

     h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g}

     $$h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g}$$
   • Portata: La distanza orizzontale totale percorsa dal proiettile è data da:

     R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

     $$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo della Traiettoria

Un proiettile viene lanciato con una velocità iniziale di 20 \, \text{m/s}$20 \, \text{m/s}$ a un angolo di 30^\circ$30^\circ$ rispetto all'orizzontale. Calcola le componenti della velocità iniziale.

Soluzione:

1. Calcola le componenti della velocità:

   v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 20 \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.32 \, \text{m/s}

   $$v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 20 \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.32 \, \text{m/s}$$

   v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 20 \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \, \text{m/s}

   $$v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 20 \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \, \text{m/s}$$

Le componenti della velocità iniziale sono v_{0x} \approx 17.32 \, \text{m/s}$v_{0x} \approx 17.32 \, \text{m/s}$ e v_{0y} = 10 \, \text{m/s}$v_{0y} = 10 \, \text{m/s}$.

Esercizio 2: Altezza Massima

Utilizzando i dati dell'esercizio precedente, calcola l'altezza massima raggiunta dal proiettile.

Soluzione:

1. Usa la formula per l'altezza massima:

   h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \cdot 9.81} \approx \frac{100}{19.62} \approx 5.1 \, \text{m}

   $$h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \cdot 9.81} \approx \frac{100}{19.62} \approx 5.1 \, \text{m}$$

Quindi, l'altezza massima raggiunta dal proiettile è di circa 5.1 \, \text{m}$5.1 \, \text{m}$.

Esercizio 3: Portata

Calcolare la portata del proiettile lanciato con le stesse condizioni dell'esercizio 1.
Soluzione:

1. Usa la formula per la portata:
   La portata R di un proiettile lanciato con una velocità iniziale v_0$v_0$ a un angolo \theta$\theta$ è data da:

   R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

   $$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

2. Calcola \sin(2\theta)$\sin(2\theta)$:
   Dato che \theta = 30^\circ$\theta = 30^\circ$:

   \sin(2\theta) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

   $$\sin(2\theta) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

3. Sostituisci i valori:

   R = \frac{(20)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.81} = \frac{400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.81} = \frac{200\sqrt{3}}{9.81}

   $$R = \frac{(20)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.81} = \frac{400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.81} = \frac{200\sqrt{3}}{9.81}$$

4. Calcola il valore numerico:
   Usando \sqrt{3} \approx 1.732$\sqrt{3} \approx 1.732$:

   R \approx \frac{200 \cdot 1.732}{9.81} \approx \frac{346.4}{9.81} \approx 35.3 \, \text{m}

   $$R \approx \frac{200 \cdot 1.732}{9.81} \approx \frac{346.4}{9.81} \approx 35.3 \, \text{m}$$

Quindi, la portata del proiettile è di circa 35.3 \, \text{m}$35.3 \, \text{m}$.

Esercizio 4: Tempo di Volo

Calcola il tempo totale di volo del proiettile lanciato con le stesse condizioni degli esercizi precedenti.

Soluzione:

1. Usa la formula per il tempo di volo:
   Il tempo totale di volo T di un proiettile lanciato con una velocità iniziale v_0$v_0$ a un angolo \theta$\theta$ è dato da:

   T = \frac{2v_{0y}}{g}

   $$T = \frac{2v_{0y}}{g}$$

2. Calcola il tempo di volo:
   Sappiamo che v_{0y} = 10 \, \text{m/s}$v_{0y} = 10 \, \text{m/s}$:

   T = \frac{2 \cdot 10}{9.81} \approx \frac{20}{9.81} \approx 2.04 \, \text{s}

   $$T = \frac{2 \cdot 10}{9.81} \approx \frac{20}{9.81} \approx 2.04 \, \text{s}$$

Quindi, il tempo totale di volo del proiettile è di circa 2.04 \, \text{s}$2.04 \, \text{s}$.

Esercizio 5: Posizione del Proiettile

Calcola la posizione del proiettile dopo 1 \, \text{s}$1 \, \text{s}$ di volo.

Soluzione:

1. Usa le equazioni della posizione:
   Le posizioni orizzontale e verticale del proiettile sono date da:

   x(t) = v_{0x} t

   $$x(t) = v_{0x} t$$

   y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2

   $$y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$$

2. Sostituisci i valori:
   Con t = 1 \, \text{s}$t = 1 \, \text{s}$:

   • Per la posizione orizzontale:

     x(1) = v_{0x} \cdot 1 = 17.32 \cdot 1 \approx 17.32 \, \text{m}

     $$x(1) = v_{0x} \cdot 1 = 17.32 \cdot 1 \approx 17.32 \, \text{m}$$
   • Per la posizione verticale:

     y(1) = v_{0y} \cdot 1 - \frac{1}{2} g \cdot (1)^2 = 10 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1^2 \approx 10 - 4.905 \approx 5.095 \, \text{m}

     $$y(1) = v_{0y} \cdot 1 - \frac{1}{2} g \cdot (1)^2 = 10 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1^2 \approx 10 - 4.905 \approx 5.095 \, \text{m}$$

Quindi, dopo 1 \, \text{s}$1 \, \text{s}$ di volo, la posizione del proiettile è approssimativamente (17.32 \, \text{m}, 5.095 \, \text{m})$(17.32 \, \text{m}, 5.095 \, \text{m})$.

English version

Projectile Motion Exercises

Key Concepts

1. Projectile Motion: It is the motion of an object thrown into the air, which follows a parabolic trajectory due to the force of gravity.

2. Components of Motion:

• Horizontal Component: The horizontal velocity v_x$v_x$ remains constant, since there are no horizontal forces (neglecting air resistance).
• Vertical Component: The vertical velocity v_y$v_y$ changes due to the force of gravity, which acts downwards with an acceleration g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$g \approx 9.81 \, \text{m/s}^2$.

3. Equations of Motion:

• Horizontal Position: x(t) = v_{0x} t$x(t) = v_{0x} t$
• Vertical Position: y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$
• Horizontal Velocity: v_x = v_{0x}$v_x = v_{0x}$
• Vertical Velocity: v_y(t) = v_{0y} - g t$v_y(t) = v_{0y} - g t$

4. Important Parameters:

• Launch Angle: The angle \theta$\theta$ with respect to the horizontal determines the components of the initial velocity:

v_{0x} = v_0 \cos(\theta), \quad v_{0y} = v_0 \sin(\theta)

$$v_{0x} = v_0 \cos(\theta), \quad v_{0y} = v_0 \sin(\theta)$$

• Maximum Height: The maximum height reached by the projectile can be calculated using:

h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g}

$$h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g}$$

• Range: The total horizontal distance traveled by the projectile is given by:

R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

Exercises

Exercise 1: Calculating the Trajectory

A projectile is launched with an initial velocity of 20 \, \text{m/s}$20 \, \text{m/s}$ at an angle of 30^\circ$30^\circ$ to the horizontal. Calculate the components of the initial velocity.

Solution:

1. Calculate the velocity components:

v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 20 \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.32 \, \text{m/s}

$$v_{0x} = v_0 \cos(\theta) = 20 \cos(30^\circ) = 20 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 17.32 \, \text{m/s}$$

v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 20 \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \, \text{m/s}

$$v_{0y} = v_0 \sin(\theta) = 20 \sin(30^\circ) = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10 \, \text{m/s}$$

The initial velocity components are v_{0x} \approx 17.32 \, \text{m/s}$v_{0x} \approx 17.32 \, \text{m/s}$ and v_{0y} = 10 \, \text{m/s}$v_{0y} = 10 \, \text{m/s}$.

Exercise 2: Maximum Height

Using the data from the previous exercise, calculate the maximum height reached by the projectile.

Solution:

1. Use the formula for maximum height:

h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \cdot 9.81} \approx \frac{100}{19.62} \approx 5.1 \, \text{m}

$$h_{max} = \frac{v_{0y}^2}{2g} = \frac{10^2}{2 \cdot 9.81} \approx \frac{100}{19.62} \approx 5.1 \, \text{m}$$

So, the maximum height reached by the projectile is approximately 5.1 \, \text{m}$5.1 \, \text{m}$.

Exercise 3: Range

Calculate the range of the projectile launched with the same conditions as in exercise 1.
Solution:

1. Use the formula for range:
   The range R of a projectile launched with an initial velocity v_0$v_0$ at an angle \theta$\theta$ is given by:

R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}

$$R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$$

2. Calculate \sin(2\theta)$\sin(2\theta)$:
   Given that \theta = 30^\circ$\theta = 30^\circ$:

\sin(2\theta) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}

$$\sin(2\theta) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$$

3. Substitute the values:

R = \frac{(20)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.81} = \frac{400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.81} = \frac{200\sqrt{3}}{9.81}

$$R = \frac{(20)^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.81} = \frac{400 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{9.81} = \frac{200\sqrt{3}}{9.81}$$

4. Calculate the numerical value:
   Using \sqrt{3} \approx 1.732$\sqrt{3} \approx 1.732$:

R \approx \frac{200 \cdot 1.732}{9.81} \approx \frac{346.4}{9.81} \approx 35.3 \, \text{m}

$$R \approx \frac{200 \cdot 1.732}{9.81} \approx \frac{346.4}{9.81} \approx 35.3 \, \text{m}$$

So, the range of the projectile is about 35.3 \, \text{m}$35.3 \, \text{m}$.

Exercise 4: Time of Flight

Calculate the total time of flight of the projectile launched with the same conditions as in the previous exercises.

Solution:

1. Use the formula for the time of flight:
   The total time of flight T of a projectile launched with an initial velocity v_0$v_0$ at an angle \theta$\theta$ is given by:

T = \frac{2v_{0y}}{g}

$$T = \frac{2v_{0y}}{g}$$

2. Calculate the time of flight:
   We know that v_{0y} = 10 \, \text{m/s}$v_{0y} = 10 \, \text{m/s}$:

T = \frac{2 \cdot 10}{9.81} \approx \frac{20}{9.81} \approx 2.04 \, \text{s}

$$T = \frac{2 \cdot 10}{9.81} \approx \frac{20}{9.81} \approx 2.04 \, \text{s}$$

So, the total time of flight of the projectile is approximately 2.04 \, \text{s}$2.04 \, \text{s}$.

Exercise 5: Position of the Projectile

Calculate the position of the projectile after 1 \, \text{s}$1 \, \text{s}$ of flight.

Solution:

1. Use the position equations:
   The horizontal and vertical positions of the projectile are given by:

x(t) = v_{0x} t

$$x(t) = v_{0x} t$$

y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2

$$y(t) = v_{0y} t - \frac{1}{2} g t^2$$

2. Substitute the values:
   With t = 1 \, \text{s}$t = 1 \, \text{s}$:

• For the horizontal position:

x(1) = v_{0x} \cdot 1 = 17.32 \cdot 1 \approx 17.32 \, \text{m}

$$x(1) = v_{0x} \cdot 1 = 17.32 \cdot 1 \approx 17.32 \, \text{m}$$

• For the vertical position:

y(1) = v_{0y} \cdot 1 - \frac{1}{2} g \cdot (1)^2 = 10 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1^2 \approx 10 - 4.905 \approx 5.095 \, \text{m}

$$y(1) = v_{0y} \cdot 1 - \frac{1}{2} g \cdot (1)^2 = 10 \cdot 1 - \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1^2 \approx 10 - 4.905 \approx 5.095 \, \text{m}$$

So, after 1 \, \text{s}$1 \, \text{s}$ of flight, the position of the bullet is approximately (17.32 \, \text{m}, 5.095 \, \text{m})$(17.32 \, \text{m}, 5.095 \, \text{m})$.