Esercizi sul Moto di Particolato

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Esercizi sul Moto di Particolato

Moto di Particolato

Il moto di particolato si riferisce al movimento di particelle solide in un fluido. Questo fenomeno è importante in vari campi, come l'ingegneria chimica, la meteorologia e la scienza dei materiali. Le particelle possono muoversi sotto l'influenza di forze come la gravità, la resistenza del fluido e altre forze esterne.

Concetti Chiave

1. Forza di Gravità: La forza che agisce su una particella a causa della sua massa è data da:

   F_g = m g $F_g = m g$

   dove m$m$ è la massa della particella e g$g$ è l'accelerazione di gravità.

2. Forza di Resistenza: La forza di resistenza che agisce su una particella in movimento in un fluido è data dalla legge di Stokes per particelle sferiche:

   F_d = 6 \pi \eta r v $F_d = 6 \pi \eta r v$

   dove \eta$\eta$ è la viscosità del fluido, r$r$ è il raggio della particella e v$v$ è la velocità della particella.

3. Equazione del Moto: L'equazione del moto per una particella in un fluido può essere espressa come:

   m \frac{d v}{d t} = F_g - F_d $m \frac{d v}{d t} = F_g - F_d$

   dove F_g$F_g$ è la forza di gravità e F_d$F_d$ è la forza di resistenza.

Esercizio 1: Moto di una Particella Sferica in un Fluido

Problema: Calcola la velocità terminale di una particella sferica di raggio r$r$ e densità \rho_p$\rho_p$ che cade in un fluido di densità \rho_f$\rho_f$ e viscosità \eta$\eta$.

Soluzione:

1. La forza di gravità che agisce sulla particella è:

   F_g = \rho_p V g = \rho_p \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g $F_g = \rho_p V g = \rho_p \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g$

   dove V$V$ è il volume della particella.

2. La forza di resistenza è:

   F_d = 6 \pi \eta r v $F_d = 6 \pi \eta r v$

3. All'equilibrio, quando la particella raggiunge la velocità terminale v_t$v_t$, abbiamo:

   F_g = F_d $F_g = F_d$

   Quindi:

   \rho_p \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g = 6 \pi \eta r v_t $\rho_p \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g = 6 \pi \eta r v_t$

4. Risolvendo per v_t$v_t$:

   v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta} $v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta}$

Esercizio 2: Moto di Particelle in un Flusso Turbolento

Problema: Considera una particella di raggio r$r$ che si muove in un fluido turbolento. Se la velocità del fluido è U$U$ e la viscosità è \eta$\eta$, calcola la forza di resistenza.

Soluzione:

1. In un flusso turbolento, la forza di resistenza può essere approssimata usando una relazione empirica:

   F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_f U^2 A $F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_f U^2 A$

   dove C_d$C_d$ è il coefficiente di drag, A$A$ è l'area della sezione trasversale della particella, e \rho_f$\rho_f$ è la densità del fluido.

2. L'area della sezione trasversale per una particella sferica è:

   A = \pi r^2 $A = \pi r^2$

3. Quindi, la forza di resistenza diventa:

   F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_f U^2 \pi r^2 $F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_f U^2 \pi r^2$

Esercizio 3: Sedimentazione di Particelle

Problema: Calcola il tempo necessario affinché una particella di raggio r$r$ e densità \rho_p$\rho_p$ si depositi sul fondo di un contenitore di fluido di densità \rho_f$\rho_f$ e viscosità \eta$\eta$.

Soluzione:

1. Utilizzando la formula per la velocità terminale v_t$v_t$ già calcolata nell'esercizio 1, abbiamo:

   v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta} $v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta}$

2. Se consideriamo un contenitore di altezza H$H$, il tempo t$t$ necessario affinché la particella raggiunga il fondo del contenitore è dato dalla relazione:

   t = \frac{H}{v_t} $t = \frac{H}{v_t}$

3. Sostituendo v_t$v_t$ nella formula per il tempo, otteniamo:

   t = \frac{H}{\frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta}} = \frac{9 \eta H}{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g} $t = \frac{H}{\frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta}} = \frac{9 \eta H}{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}$

4. Questo risultato mostra che il tempo di sedimentazione dipende dalla viscosità del fluido, dalla densità della particella e dalla differenza di densità tra la particella e il fluido.

Esercizi sul moto di particolato

Particle Motion Exercises

Particle Motion

Particle motion refers to the motion of solid particles in a fluid. This phenomenon is important in various fields, such as chemical engineering, meteorology, and materials science. Particles can move under the influence of forces such as gravity, fluid resistance, and other external forces.

Key Concepts

1. Gravity Force: The force acting on a particle due to its mass is given by:

F_g = m g $F_g = m g$

where m$m$ is the mass of the particle and g$g$ is the gravitational acceleration.

2. Resistance Force: The resistance force acting on a particle moving in a fluid is given by Stokes' law for spherical particles:

F_d = 6 \pi \eta r v $F_d = 6 \pi \eta r v$

where \eta$\eta$ is the viscosity of the fluid, r$r$ is the radius of the particle, and v$v$ is the velocity of the particle.

3. Equation of Motion: The equation of motion for a particle in a fluid can be expressed as:

m \frac{d v}{d t} = F_g - F_d $m \frac{d v}{d t} = F_g - F_d$

where F_g$F_g$ is the gravitational force and F_d$F_d$ is the resistance force.

Exercise 1: Motion of a Spherical Particle in a Fluid

Problem: Calculate the terminal velocity of a spherical particle of radius r$r$ and density \rho_p$\rho_p$ falling in a fluid of density \rho_f$\rho_f$ and viscosity \eta$\eta$.

Solution:

1. The gravitational force acting on the particle is:

F_g = \rho_p V g = \rho_p \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g $F_g = \rho_p V g = \rho_p \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g$

where V$V$ is the volume of the particle.

2. The drag force is:

F_d = 6 \pi \eta r v $F_d = 6 \pi \eta r v$

3. At equilibrium, when the particle reaches the terminal velocity v_t$v_t$, we have:

F_g = F_d $F_g = F_d$

So:

\rho_p \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g = 6 \pi \eta r v_t $\rho_p \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) g = 6 \pi \eta r v_t$

4. Solving for v_t$v_t$:

v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta} $v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta}$

Exercise 2: Motion of Particles in a Turbulent Flow

Problem: Consider a particle of radius r$r$ moving in a turbulent fluid. If the fluid velocity is U$U$ and the viscosity is \eta$\eta$, calculate the drag force.

Solution:

1. In turbulent flow, the drag force can be approximated using an empirical relationship:

F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_f U^2 A $F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_f U^2 A$

where C_d$C_d$ is the drag coefficient, A$A$ is the cross-sectional area of ​​the particle, and \rho_f$\rho_f$ is the density of the fluid.

2. The cross-sectional area for a spherical particle is:

A = \pi r^2 $A = \pi r^2$

3. Then, the drag force becomes:

F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_f U^2 \pi r^2 $F_d = C_d \frac{1}{2} \rho_f U^2 \pi r^2$

Exercise 3: Particle Settling

Problem: Calculate the time required for a particle of radius r$r$ and density \rho_p$\rho_p$ to settle to the bottom of a container of fluid of density \rho_f$\rho_f$ and viscosity \eta$\eta$.

Solution:

1. Using the formula for the terminal velocity v_t$v_t$ already calculated in exercise 1, we have:

v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta} $v_t = \frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta}$

2. If we consider a container of height H$H$, the time t$t$ required for the particle to reach the bottom of the container is given by the relation:

t = \frac{H}{v_t} $t = \frac{H}{v_t}$

3. Substituting v_t$v_t$ into the formula for the time, we get:

t = \frac{H}{\frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta}} = \frac{9 \eta H}{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g} $t = \frac{H}{\frac{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}{9 \eta}} = \frac{9 \eta H}{2 r^2 (\rho_p - \rho_f) g}$

4. This result shows that the time of Sedimentation depends on the viscosity of the fluid, the density of the particle, and the density difference between the particle and the fluid.