Esercizi sul Moto Armonico Smorzato

Esercizi sul Moto Armonico Smorzato

Esercizi sul Moto Armonico Smorzato

Versione italiana

Esercizi sul Moto Armonico Smorzato

Concetti Principali

1. Moto Armonico Semplice (MAS):

   • È un moto oscillatorio in cui la forza che agisce sul corpo è proporzionale e opposta allo spostamento dalla posizione di equilibrio.
   • Equazione:

     F = -kx

     $$F = -kx$$
     dove k$k$ è la costante elastica e x$x$ è lo spostamento.

2. Smorzamento:

   • Si verifica quando una forza opposta al moto (come l'attrito) riduce l'energia del sistema.
   • Forza di smorzamento:

     F_d = -bv

     $$F_d = -bv$$
     dove b$b$ è il coefficiente di smorzamento e v$v$ è la velocità.

3. Equazione del Moto Armonico Smorzato:

   • L'equazione differenziale che descrive il moto armonico smorzato è:

     m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0

     $$m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0$$
   • La soluzione dipende dal rapporto tra il coefficiente di smorzamento b$b$ e la radice quadrata del prodotto mk$mk$.

4. Tipi di Smorzamento:

   • Sottosmorzato: b^2 < 4mk$b^2 < 4mk$ - le oscillazioni si attenuano nel tempo ma il sistema continua a oscillare.
   • Criticamente smorzato: b^2 = 4mk$b^2 = 4mk$ - il sistema torna alla posizione di equilibrio nel minor tempo possibile senza oscillare.
   • Sovrasmorzato: b^2 > 4mk$b^2 > 4mk$ - il sistema torna alla posizione di equilibrio senza oscillare, ma più lentamente rispetto al caso critico.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo dell'ampiezza

Un sistema massa-molla con massa m = 2 \, \text{kg}$m = 2 \, \text{kg}$ e costante elastica k = 50 \, \text{N/m}$k = 50 \, \text{N/m}$ è soggetto a uno smorzamento con coefficiente b = 5 \, \text{Ns/m}$b = 5 \, \text{Ns/m}$. Calcola l'ampiezza delle oscillazioni dopo un certo tempo, sapendo che l'ampiezza iniziale è A_0 = 0.1 \, \text{m}$A_0 = 0.1 \, \text{m}$.

Soluzione:
L'ampiezza in un sistema sottosmorzato decresce nel tempo secondo la formula:

A(t) = A_0 e^{-\frac{b}{2m}t}

$$A(t) = A_0 e^{-\frac{b}{2m}t}$$

Sostituendo i valori:

A(t) = 0.1 e^{-\frac{5}{2 \cdot 2}t} = 0.1 e^{-1.25t}

$$A(t) = 0.1 e^{-\frac{5}{2 \cdot 2}t} = 0.1 e^{-1.25t}$$

Esercizio 2: Determinazione del tipo di smorzamento

Calcola il discriminante D = b^2 - 4mk$D = b^2 - 4mk$ per il sistema dell'esercizio 1 e determina il tipo di smorzamento.

Soluzione:
Calcoliamo D$D$:

D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = 25 - 400 = -375

$$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = 25 - 400 = -375$$

Poiché D < 0$D < 0$, il sistema è sottosmorzato.

Esercizio 3: Tempo di smorzamento

Determina il tempo necessario affinché l'ampiezza delle oscillazioni scenda a 0.05 \, \text{m}$0.05 \, \text{m}$ nel sistema dell'esercizio 1.

Soluzione:
Impostiamo l'equazione:

0.05 = 0.1 e^{-1.25t}

$$0.05 = 0.1 e^{-1.25t}$$

Dividendo entrambi i lati per 0.1$0.1$:

0.5 = e^{-1.25t}

$$0.5 = e^{-1.25t}$$

Applicando il logaritmo naturale:

\ln(0.5) = -1.25t

$$\ln(0.5) = -1.25t$$

Risolvendo per t$t$:

t = -\frac{\ln(0.5)}{1.25} \approx 0.554 \, \text{s}

$$t = -\frac{\ln(0.5)}{1.25} \approx 0.554 \, \text{s}$$

English version

Damped Harmonic Motion Exercises

Main Concepts

1. Simple Harmonic Motion (SHM):

• It is an oscillatory motion in which the force acting on the body is proportional and opposite to the displacement from the equilibrium position.
• Equation:

F = -kx

$$F = -kx$$

where k$k$ is the spring constant and x$x$ is the displacement.

2. Damping:

• It occurs when a force opposing the motion (such as friction) reduces the energy of the system.
• Damping force:

F_d = -bv

$$F_d = -bv$$

where b$b$ is the damping coefficient and v$v$ is the velocity.

3. Damped Harmonic Motion Equation:

• The differential equation describing damped harmonic motion is:

m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0

$$m\frac{d^2x}{dt^2} + b\frac{dx}{dt} + kx = 0$$

• The solution depends on the ratio of the damping coefficient b$b$ to the square root of the product mk$mk$.

4. Damping Types:

• Underdamped: b^2 < 4mk$b^2 < 4mk$ - the oscillations fade over time but the system continues to oscillate.
• Critically damped: b^2 = 4mk$b^2 = 4mk$ - the system returns to the equilibrium position in the shortest possible time without oscillating.
• Overdamped: b^2 > 4mk$b^2 > 4mk$ - the system returns to the equilibrium position without oscillating, but more slowly than in the critical case.

Exercises

Exercise 1: Calculating the amplitude

A mass-spring system with mass m = 2 \, \text{kg}$m = 2 \, \text{kg}$ and spring constant k = 50 \, \text{N/m}$k = 50 \, \text{N/m}$ is subjected to a damping coefficient b = 5 \, \text{Ns/m}$b = 5 \, \text{Ns/m}$. Calculate the amplitude of the oscillations after a certain time, knowing that the initial amplitude is A_0 = 0.1 \, \text{m}$A_0 = 0.1 \, \text{m}$.

Solution:
The amplitude in an underdamped system decreases with time according to the formula:

A(t) = A_0 e^{-\frac{b}{2m}t}

$$A(t) = A_0 e^{-\frac{b}{2m}t}$$

Substituting the values:

A(t) = 0.1 e^{-\frac{5}{2 \cdot 2}t} = 0.1 e^{-1.25t}

$$A(t) = 0.1 e^{-\frac{5}{2 \cdot 2}t} = 0.1 e^{-1.25t}$$

Exercise 2: Determining the type of damping

Calculate the discriminant D = b^2 - 4mk$D = b^2 - 4mk$ for the system in exercise 1 and determine the type of damping.

Solution:
Let's calculate D$D$:

D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = 25 - 400 = -375

$$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 50 = 25 - 400 = -375$$

Since D < 0$D < 0$, the system is underdamped.

Exercise 3: Damping Time

Find the time required for the amplitude of the oscillations to decrease to 0.05 \, \text{m}$0.05 \, \text{m}$ in the system of exercise 1.

Solution:
Set up the equation:

0.05 = 0.1 e^{-1.25t}

$$0.05 = 0.1 e^{-1.25t}$$

Dividing both sides by 0.1$0.1$:

0.5 = e^{-1.25t}

$$0.5 = e^{-1.25t}$$

Applying the natural logarithm:

\ln(0.5) = -1.25t

$$\ln(0.5) = -1.25t$$

Solving for t$t$:

t = -\frac{\ln(0.5)}{1.25} \approx 0.554 \, \text{s}

$$t = -\frac{\ln(0.5)}{1.25} \approx 0.554 \, \text{s}$$