Esercizi sul Momento di Inerzia

Esercizi sul Momento di Inerzia

Esercizi sul Momento di Inerzia

Versione italiana

Esercizi sul Momento di Inerzia

Il momento di inerzia è una grandezza fisica che misura la resistenza di un corpo alla variazione del suo stato di moto rotatorio attorno a un asse. È fondamentale nella dinamica rotazionale e si calcola in base alla distribuzione della massa rispetto all'asse di rotazione.

Concetti Chiave

• Definizione: Il momento di inerzia I$I$ di un corpo rigido rispetto a un asse di rotazione è dato dalla somma dei prodotti della massa di ciascun punto del corpo per il quadrato della sua distanza dall'asse di rotazione.

  I = \sum m_i r_i^2

  $$I = \sum m_i r_i^2$$

  dove m_i$m_i$ è la massa del punto i$i$ e r_i$r_i$ è la distanza di quel punto dall'asse di rotazione.

• Unità di misura: Il momento di inerzia si misura in kg·m² nel Sistema Internazionale.

• Asse di rotazione: Il momento di inerzia dipende dall'asse attorno al quale il corpo ruota. Cambiando l'asse, cambia anche il momento di inerzia.

Esercizi

Esercizio 1: Momento di Inerzia di un Disco

Problema: Calcola il momento di inerzia di un disco uniforme di raggio R$R$ e massa M$M$ rispetto all'asse che passa per il suo centro e perpendicolare al piano del disco.

Soluzione:
Il momento di inerzia di un disco uniforme è dato dalla formula:

I = \frac{1}{2} M R^2

$$I = \frac{1}{2} M R^2$$

Esercizio 2: Momento di Inerzia di una Sfera

Problema: Calcola il momento di inerzia di una sfera uniforme di raggio R$R$ e massa M$M$ rispetto a un asse che passa per il suo centro.

Soluzione:
Il momento di inerzia di una sfera uniforme è dato dalla formula:

I = \frac{2}{5} M R^2

$$I = \frac{2}{5} M R^2$$

Esercizio 3: Momento di Inerzia di un Sistema di Particelle

Problema: Considera un sistema di due particelle: una di massa m_1 = 2 \, \text{kg}$m_1 = 2 \, \text{kg}$ a una distanza r_1 = 1 \, \text{m}$r_1 = 1 \, \text{m}$ dall'asse di rotazione e l'altra di massa m_2 = 3 \, \text{kg}$m_2 = 3 \, \text{kg}$ a una distanza r_2 = 2 \, \text{m}$r_2 = 2 \, \text{m}$. Calcola il momento di inerzia totale del sistema.

Soluzione:
Utilizzando la formula del momento di inerzia:

I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2

$$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$$

Sostituendo i valori:

I = (2 \, \text{kg} \cdot (1 \, \text{m})^2) + (3 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m})^2) = 2 + 12 = 14 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2

$$I = (2 \, \text{kg} \cdot (1 \, \text{m})^2) + (3 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m})^2) = 2 + 12 = 14 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$

English version

Moment of Inertia Exercises

The moment of inertia is a physical quantity that measures the resistance of a body to the variation of its state of rotational motion around an axis. It is fundamental in rotational dynamics and is calculated based on the distribution of mass with respect to the axis of rotation.

Key Concepts

• Definition: The moment of inertia I$I$ of a rigid body with respect to an axis of rotation is given by the sum of the products of the mass of each point of the body by the square of its distance from the axis of rotation.

I = \sum m_i r_i^2

$$I = \sum m_i r_i^2$$

where m_i$m_i$ is the mass of the point i$i$ and r_i$r_i$ is the distance of that point from the axis of rotation.

• Units of measurement: The moment of inertia is measured in kg m² in the International System.

• Axis of rotation: The moment of inertia depends on the axis around which the body rotates. Changing the axis also changes the moment of inertia.

Exercises

Exercise 1: Moment of Inertia of a Disk

Problem: Calculate the moment of inertia of a uniform disk of radius R$R$ and mass M$M$ with respect to the axis that passes through its center and perpendicular to the plane of the disk.

Solution:
The moment of inertia of a uniform disk is given by the formula:

I = \frac{1}{2} M R^2

$$I = \frac{1}{2} M R^2$$

Exercise 2: Moment of Inertia of a Sphere

Problem: Calculate the moment of inertia of a uniform sphere of radius R$R$ and mass M$M$ with respect to an axis that passes through its center.

Solution:
The moment of inertia of a uniform sphere is given by the formula:

I = \frac{2}{5} M R^2

$$I = \frac{2}{5} M R^2$$

Exercise 3: Moment of Inertia of a System of Particles

Problem: Consider a system of two particles: one of mass m_1 = 2 \, \text{kg}$m_1 = 2 \, \text{kg}$ at a distance r_1 = 1 \, \text{m}$r_1 = 1 \, \text{m}$ from the axis of rotation and the other of mass m_2 = 3 \, \text{kg}$m_2 = 3 \, \text{kg}$ at a distance r_2 = 2 \, \text{m}$r_2 = 2 \, \text{m}$. Calculate the total moment of inertia of the system.

Solution:
Using the moment of inertia formula:

I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2

$$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$$

Substituting the values:

I = (2 \, \text{kg} \cdot (1 \, \text{m})^2) + (3 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m})^2) = 2 + 12 = 14 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2

$$I = (2 \, \text{kg} \cdot (1 \, \text{m})^2) + (3 \, \text{kg} \cdot (2 \, \text{m})^2) = 2 + 12 = 14 \, \text{kg} \cdot \text{m}^2$$