Esercizi sul Flusso Potenziale

Esercizi sul Flusso Potenziale

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Versione italiana

Esercizi sul Flusso Potenziale

Flusso Potenziale

Il flusso potenziale è un concetto utilizzato in fluidodinamica per descrivere il movimento di fluidi ideali, in cui il flusso è irrotazionale e può essere descritto da una funzione potenziale. In un flusso potenziale, la velocità del fluido è data come il gradiente negativo di una funzione scalare chiamata potenziale.

Concetti Chiave

1. Flusso Irrotazionale: Un flusso è irrotazionale se la rotazione del campo di velocità è zero, cioè:

   \nabla \times \mathbf{u} = 0 $\nabla \times \mathbf{u} = 0$

2. Funzione Potenziale: La velocità del fluido può essere espressa come il gradiente di una funzione potenziale \phi$\phi$:

   \mathbf{u} = \nabla \phi $\mathbf{u} = \nabla \phi$

3. Equazione di Continuità: Per un fluido incomprimibile, l'equazione di continuità è:

   \nabla \cdot \mathbf{u} = 0 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Esercizio 1: Flusso Potenziale in un Campo Uniforme

Problema: Considera un fluido che scorre in un campo uniforme con velocità \mathbf{u} = U \hat{i}$\mathbf{u} = U \hat{i}$. Trova la funzione potenziale \phi$\phi$.

Soluzione:

1. La velocità del fluido è costante e uniforme, quindi possiamo scrivere:

   \mathbf{u} = U \hat{i} $\mathbf{u} = U \hat{i}$

2. Poiché \mathbf{u} = \nabla \phi$\mathbf{u} = \nabla \phi$, possiamo integrare per trovare \phi$\phi$:

   \frac{\partial \phi}{\partial x} = U \implies \phi = Ux + C $\frac{\partial \phi}{\partial x} = U \implies \phi = Ux + C$

   dove C$C$ è una costante di integrazione.

3. La funzione potenziale è quindi:

   \phi(x, y, z) = Ux + C $\phi(x, y, z) = Ux + C$

Esercizio 2: Flusso Attorno a un Cilindro

Problema: Considera un flusso potenziale attorno a un cilindro di raggio R$R$ in un fluido uniforme. Trova la funzione potenziale \phi$\phi$ per il flusso attorno al cilindro.

Soluzione:

1. In coordinate polari, il flusso attorno a un cilindro può essere descritto dalla funzione potenziale:

   \phi(r, \theta) = U r \cos(\theta) + C $\phi(r, \theta) = U r \cos(\theta) + C$

   dove U$U$ è la velocità del fluido lontano dal cilindro.

2. La velocità del fluido in coordinate polari è data da:

   \mathbf{u} = \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \right) $\mathbf{u} = \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \right)$

3. Calcolando le derivate, otteniamo:

   \mathbf{u} = \left( U \cos(\theta), -U \sin(\theta) \right) $\mathbf{u} = \left( U \cos(\theta), -U \sin(\theta) \right)$

4. Questo mostra che il flusso è irrotazionale e circolare attorno al cilindro.

Esercizio 3: Calcolo della Pressione in un Flusso Potenziale

Problema: Utilizzando il teorema di Bernoulli, calcola la pressione in un flusso potenziale in un tubo di sezione variabile.

Soluzione:

1. Considera un fluido che scorre in un tubo con sezione variabile. La legge di Bernoulli afferma che:

   p + \frac{1}{2} \rho u^2 + \rho gh = \text{costante} $p + \frac{1}{2} \rho u^2 + \rho gh = \text{costante}$

2. Se consideriamo due sezioni del tubo, 1 e 2, possiamo scrivere:

   p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2 $p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2$

3. Se la sezione 2 è più stretta, allora u_2 > u_1$u_2 > u_1$. Da ciò, possiamo dedurre che:

   p_2 < p_1 $p_2 < p_1$

4. Questo implica che la pressione nella sezione più stretta del tubo è inferiore rispetto a quella nella sezione più ampia, a causa dell'aumento della velocità del fluido.

5. Possiamo riscrivere l'equazione di Bernoulli per trovare la pressione in funzione della velocità:

   p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (u_1^2 - u_2^2) $p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (u_1^2 - u_2^2)$

6. Se u_2 > u_1$u_2 > u_1$, il termine (u_1^2 - u_2^2)$(u_1^2 - u_2^2)$ sarà negativo, quindi:

   p_2 < p_1 $p_2 < p_1$

English version

Potential Flow Exercises

Potential Flow

Potential flow is a concept used in fluid dynamics to describe the motion of ideal fluids, where the flow is irrotational and can be described by a potential function. In a potential flow, the velocity of the fluid is given as the negative gradient of a scalar function called the potential.

Key Concepts

1. Irrotational Flow: A flow is irrotational if the rotation of the velocity field is zero, that is:

\nabla \times \mathbf{u} = 0 $\nabla \times \mathbf{u} = 0$

2. Potential Function: The velocity of the fluid can be expressed as the gradient of a potential function \phi$\phi$:

\mathbf{u} = \nabla \phi $\mathbf{u} = \nabla \phi$

3. Continuity Equation: For an incompressible fluid, the continuity equation is:

\nabla \cdot \mathbf{u} = 0 $\nabla \cdot \mathbf{u} = 0$

Exercise 1: Potential Flow in a Uniform Field

Problem: Consider a fluid flowing in a uniform field with velocity \mathbf{u} = U \hat{i}$\mathbf{u} = U \hat{i}$. Find the potential function \phi$\phi$.

Solution:

1. The velocity of the fluid is constant and uniform, so we can write:

\mathbf{u} = U \hat{i} $\mathbf{u} = U \hat{i}$

2. Since \mathbf{u} = \nabla \phi$\mathbf{u} = \nabla \phi$, we can integrate to find \phi$\phi$:

\frac{\partial \phi}{\partial x} = U \implies \phi = Ux + C $\frac{\partial \phi}{\partial x} = U \implies \phi = Ux + C$

where C$C$ is a constant of integration.

3. The potential function is then:

\phi(x, y, z) = Ux + C $\phi(x, y, z) = Ux + C$

Exercise 2: Flow Around a Cylinder

Problem: Consider a potential flow around a cylinder of radius R$R$ in a uniform fluid. Find the potential function \phi$\phi$ for the flow around the cylinder.

Solution:

1. In polar coordinates, the flow around a cylinder can be described by the potential function:

\phi(r, \theta) = U r \cos(\theta) + C $\phi(r, \theta) = U r \cos(\theta) + C$

where U$U$ is the velocity of the fluid away from the cylinder.

2. The velocity of the fluid in polar coordinates is given by:

\mathbf{u} = \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \right) $\mathbf{u} = \nabla \phi = \left( \frac{\partial \phi}{\partial r}, \frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta} \right)$

3. Taking the derivatives, we get:

\mathbf{u} = \left( U \cos(\theta), -U \sin(\theta) \right) $\mathbf{u} = \left( U \cos(\theta), -U \sin(\theta) \right)$

4. This shows that the flow is irrotational and circular around the cylinder.

Exercise 3: Calculating Pressure in a Potential Flow

Problem: Using Bernoulli's theorem, calculate the pressure in a potential flow in a pipe of variable cross-section.

Solution:

1. Consider a fluid flowing in a pipe with variable cross-section. Bernoulli's law states that:

p + \frac{1}{2} \rho u^2 + \rho gh = \text{constant} $p + \frac{1}{2} \rho u^2 + \rho gh = \text{constant}$

2. If we consider two sections of the pipe, 1 and 2, we can write:

p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2 $p_1 + \frac{1}{2} \rho u_1^2 = p_2 + \frac{1}{2} \rho u_2^2$

3. If section 2 is narrower, then u_2 > u_1$u_2 > u_1$. From this, we can deduce that:

p_2 < p_1 $p_2 < p_1$

4. This implies that the pressure in the narrower section of the pipe is lower than in the wider section, due to the increase in fluid velocity.

5. We can rewrite Bernoulli's equation to find the pressure as a function of velocity:

p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (u_1^2 - u_2^2) $p_2 = p_1 + \frac{1}{2} \rho (u_1^2 - u_2^2)$

6. If u_2 > u_1$u_2 > u_1$, the term (u_1^2 - u_2^2)$(u_1^2 - u_2^2)$ will be negative, so:

p_2 < p_1 $p_2 < p_1$