Esercizi sul Delta di Dirac

Esercizi sul Delta di Dirac

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Versione italiana

Esercizi sul Delta di Dirac

Concetti Chiave

Il delta di Dirac, denotato come \delta(t)$\delta(t)$, è una funzione generalizzata che ha le seguenti proprietà fondamentali:

1. Definizione: Il delta di Dirac è definito come una funzione che è zero ovunque tranne che in t = 0$t = 0$, dove è infinitamente alta in modo tale che l'integrale su tutto il suo dominio è uguale a uno:
   \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1$

2. Proprietà di campionamento: Per qualsiasi funzione continua f(t)$f(t)$:
   \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) \, dt = f(t_0) $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) \, dt = f(t_0)$
   Questa proprietà indica che il delta di Dirac "campiona" la funzione f(t)$f(t)$ nel punto t_0$t_0$.

3. Spostamento: Se \delta(t)$\delta(t)$ è spostato di t_0$t_0$, si ha:
   \delta(t - t_0) $\delta(t - t_0)$
   che è zero ovunque tranne che in t = t_0$t = t_0$.

Esercizi

Esercizio 1: Integrale del Delta di Dirac

Calcola l'integrale della funzione f(t) = 3t^2$f(t) = 3t^2$ moltiplicata per il delta di Dirac spostato \delta(t - 2)$\delta(t - 2)$.

Soluzione:

Utilizzando la proprietà di campionamento del delta di Dirac:

\int_{-\infty}^{\infty} 3t^2 \delta(t - 2) \, dt = 3(2^2) = 12 $\int_{-\infty}^{\infty} 3t^2 \delta(t - 2) \, dt = 3(2^2) = 12$

Quindi, il risultato dell'integrale è 12$12$.

Esercizio 2: Trasformata di Fourier del Delta di Dirac

Calcola la trasformata di Fourier del delta di Dirac \delta(t)$\delta(t)$.

Soluzione:

La trasformata di Fourier è definita come:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt $X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

Utilizzando la proprietà di campionamento:

X(f) = e^{-j 2 \pi f \cdot 0} = 1 $X(f) = e^{-j 2 \pi f \cdot 0} = 1$

Quindi, la trasformata di Fourier del delta di Dirac è:

X(f) = 1 $X(f) = 1$

Esercizio 3: Delta di Dirac come Limite

Mostra che il delta di Dirac può essere rappresentato come il limite di una funzione gaussiana.

Soluzione:

Consideriamo la funzione gaussiana:

\delta(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} e^{-\frac{t^2}{2\epsilon}} $\delta(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} e^{-\frac{t^2}{2\epsilon}}$

Per dimostrare che questa rappresentazione è corretta, calcoliamo l'integrale:

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} e^{-\frac{t^2}{2\epsilon}} \, dt = 1 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} e^{-\frac{t^2}{2\epsilon}} \, dt = 1$

Questo mostra che, nel limite \epsilon \to 0$\epsilon \to 0$, la funzione gaussiana si comporta come il delta di Dirac.

English version

Dirac Delta Exercises

Key Concepts

The Dirac delta, denoted as \delta(t)$\delta(t)$, is a generalized function that has the following fundamental properties:

1. Definition: The Dirac delta is defined as a function that is zero everywhere except at t = 0$t = 0$, where it is infinitely high such that the integral over its entire domain equals one:
   \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1 $\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) \, dt = 1$

2. Sampling property: For any continuous function f(t)$f(t)$:
   \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) \, dt = f(t_0) $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) \delta(t - t_0) \, dt = f(t_0)$
   This property indicates that the Dirac delta "samples" the function f(t)$f(t)$ at the point t_0$t_0$.

3. Displacement: If \delta(t)$\delta(t)$ is displaced by t_0$t_0$, we have:
   \delta(t - t_0) $\delta(t - t_0)$
   which is zero everywhere except at t = t_0$t = t_0$.

Exercises

Exercise 1: Dirac Delta Integral

Compute the integral of the function f(t) = 3t^2$f(t) = 3t^2$ multiplied by the displaced Dirac delta \delta(t - 2)$\delta(t - 2)$.

Solution:

Using the sampling property of the Dirac delta:

\int_{-\infty}^{\infty} 3t^2 \delta(t - 2) \, dt = 3(2^2) = 12 $\int_{-\infty}^{\infty} 3t^2 \delta(t - 2) \, dt = 3(2^2) = 12$

So, the result of the integral is 12$12$.

Exercise 2: Fourier Transform of the Dirac Delta

Calculate the Fourier transform of the Dirac delta \delta(t)$\delta(t)$.

Solution:

The Fourier transform is defined as:

X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt $X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{-j 2 \pi f t} \, dt$

Using the sampling property:

X(f) = e^{-j 2 \pi f \cdot 0} = 1 $X(f) = e^{-j 2 \pi f \cdot 0} = 1$

So, the Fourier transform of the Dirac delta is:

X(f) = 1 $X(f) = 1$

Exercise 3: Dirac Delta as Limit

Show that the Dirac delta can be represented as the limit of a Gaussian function.

Solution:

Consider the Gaussian function:

\delta(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} e^{-\frac{t^2}{2\epsilon}} $\delta(t) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} e^{-\frac{t^2}{2\epsilon}}$

To show that this representation is correct, we compute the integral:

\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} e^{-\frac{t^2}{2\epsilon}} \, dt = 1 $\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{2\pi \epsilon}} e^{-\frac{t^2}{2\epsilon}} \, dt = 1$

This shows that, in the limit \epsilon \to 0$\epsilon \to 0$, the Gaussian function behaves like the Dirac delta.