Esercizi sul cerchio di Mohr

Esercizi sul cerchio di Mohr

Esercizi sul cerchio di Mohr

Versione italiana

Esercizi sul cerchio di Mohr

Il cerchio di Mohr è uno strumento grafico utilizzato in ingegneria meccanica e strutturale per analizzare le tensioni e le deformazioni in un materiale. È particolarmente utile per visualizzare le tensioni normali e le tensioni di taglio in un punto di un materiale soggetto a carichi. Ecco alcuni concetti fondamentali e alcuni esercizi con le relative soluzioni.

Concetti Fondamentali

1. Tensioni Normali e di Taglio:

   • Tensione Normale (\sigma$\sigma$): È la tensione che agisce perpendicolarmente alla sezione trasversale di un materiale.
   • Tensione di Taglio (\tau$\tau$): È la tensione che agisce parallelamente alla sezione trasversale.

2. Cerchio di Mohr:

   • È un grafico che rappresenta le tensioni in un materiale in funzione dell'angolo di rotazione. Le coordinate del cerchio sono costituite dalle tensioni normali e di taglio.
   • Il centro del cerchio è dato dalla media delle tensioni normali \sigma_x$\sigma_x$ e \sigma_y$\sigma_y$, mentre il raggio è dato dalla radice quadrata della somma dei quadrati delle tensioni di taglio.

3. Formule:

   • Centro del cerchio:

     C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}

     $$C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$$
   • Raggio del cerchio:

     R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}

     $$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$
   • Tensioni sui piani inclinati:

     \sigma_n = C + R \cos(2\theta)

     $$\sigma_n = C + R \cos(2\theta)$$

     \tau_n = R \sin(2\theta)

     $$\tau_n = R \sin(2\theta)$$

Esercizio

Domanda: Considera un materiale con le seguenti tensioni: \sigma_x = 100 \text{MPa}$\sigma_x = 100 \text{MPa}$, \sigma_y = 50 \, \text{MPa}$\sigma_y = 50 \, \text{MPa}$, e \tau_{xy} = 30 \, \text{MPa}$\tau_{xy} = 30 \, \text{MPa}$. Calcola il centro e il raggio del cerchio di Mohr.

Soluzione:

1. Calcolo del centro:

   C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{100 + 50}{2} = 75 \, \text{MPa}

   $$C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{100 + 50}{2} = 75 \, \text{MPa}$$

2. Calcolo del raggio:

   R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)^2 + 30^2}

   $$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2} = \sqrt{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)^2 + 30^2}$$

   R = \sqrt{(25)^2 + (30)^2} = \sqrt{625 + 900} = \sqrt{1525} \approx 39.05 \, \text{MPa}

   $$R = \sqrt{(25)^2 + (30)^2} = \sqrt{625 + 900} = \sqrt{1525} \approx 39.05 \, \text{MPa}$$

Quindi, il centro del cerchio è a 75 MPa e il raggio è circa 39.05 MPa.

English version

Mohr's Circle Exercises

Mohr's circle is a graphical tool used in mechanical and structural engineering to analyze stresses and strains in a material. It is particularly useful for visualizing normal stresses and shear stresses at a point in a material subjected to loads. Here are some basic concepts and some exercises with their solutions.

Basic Concepts

1. Normal and Shear Stresses:

• Normal Stress (\sigma$\sigma$): It is the stress that acts perpendicular to the cross-section of a material.
• Shear Stress (\tau$\tau$): It is the stress that acts parallel to the cross-section.

2. Mohr's Circle:

• It is a graph that represents the stresses in a material as a function of the angle of rotation. The coordinates of the circle are the normal and shear stresses.
• The center of the circle is given by the average of the normal stresses \sigma_x$\sigma_x$ and \sigma_y$\sigma_y$, while the radius is given by the square root of the sum of the squares of the shear stresses.

3. Formulas:

• Center of the circle:

C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}

$$C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2}$$

• Radius of the circle:

R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + \tau_{xy}^2}$$

• Stress on inclined planes:

\sigma_n = C + R \cos(2\theta)

$$\sigma_n = C + R \cos(2\theta)$$

\tau_n = R \sin(2\theta)

$$\tau_n = R \sin(2\theta)$$

Exercise

Question: Consider a material with the following stresses: \sigma_x = 100 \text{MPa}$\sigma_x = 100 \text{MPa}$, \sigma_y = 50 \, \text{MPa}$\sigma_y = 50 \, \text{MPa}$, and \tau_{xy} = 30 \, \text{MPa}$\tau_{xy} = 30 \, \text{MPa}$. Calculate the center and radius of Mohr's circle.

Solution:

1. Center calculation:

C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{100 + 50}{2} = 75 \, \text{MPa} 

$$C = \frac{\sigma_x + \sigma_y}{2} = \frac{100 + 50}{2} = 75 \, \text{MPa}$$

2. Radius calculation:

R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + xy}^2 = \sqrt{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)^2 + 30^2}

$$R = \sqrt{\left(\frac{\sigma_x - \sigma_y}{2}\right)^2 + xy}^2 = \sqrt{\left(\frac{100 - 50}{2}\right)^2 + 30^2}$$

 R = \sqrt{(25)^2 + (30)^2} = \sqrt{625 + 900} = \sqrt{1525} \approx 39.05 \, \text{MPa}

$$R = \sqrt{(25)^2 + (30)^2} = \sqrt{625 + 900} = \sqrt{1525} \approx 39.05 \, \text{MPa}$$

So, the center of the circle is at 75 MPa and the radius is about 39.05 MPa.