Esercizi sul Centro di Massa

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Esercizi sul Centro di Massa

Versione italiana

Esercizi sul Centro di Massa

Concetti Chiave

1. Definizione di Centro di Massa: Il centro di massa di un sistema di particelle è il punto in cui si può considerare che tutta la massa del sistema sia concentrata. Per un sistema di n$n$ particelle, la posizione del centro di massa \mathbf{R}$\mathbf{R}$ è data da:

   \mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{r}_i $\mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{r}_i$

   dove $ M $ è la massa totale del sistema, m_i$m_i$ è la massa della i$i$-esima particella e \mathbf{r}_i$\mathbf{r}_i$ è il vettore posizione della i$i$-esima particella.

2. Massa Totale: La massa totale M$M$ di un sistema di particelle è data dalla somma delle masse delle singole particelle:

   M = \sum_{i=1}^{n} m_i $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$

3. Centro di Massa di un Corpo Rigido: Per un corpo rigido, il centro di massa può essere calcolato integrando sulla distribuzione di massa del corpo. Se la densità è uniforme, il centro di massa può essere trovato come:

   \mathbf{R} = \frac{1}{V} \int_V \mathbf{r} \, dm $\mathbf{R} = \frac{1}{V} \int_V \mathbf{r} \, dm$

   dove V$V$ è il volume del corpo e dm$dm$ è un elemento di massa.

4. Proprietà del Centro di Massa: Il centro di massa di un sistema di particelle si muove come se tutta la massa del sistema fosse concentrata in quel punto e fosse soggetta a forze esterne.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo del Centro di Massa di Due Particelle

Problema: Due particelle di massa m_1 = 2 \, \text{kg}$m_1 = 2 \, \text{kg}$ e m_2 = 3 \, \text{kg}$m_2 = 3 \, \text{kg}$ si trovano rispettivamente nelle posizioni \mathbf{r}_1 = (1, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_1 = (1, 0) \, \text{m}$ e \mathbf{r}_2 = (4, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_2 = (4, 0) \, \text{m}$. Calcola la posizione del centro di massa del sistema.

Soluzione:

1. Calcola la massa totale:

   M = m_1 + m_2 = 2 \, \text{kg} + 3 \, \text{kg} = 5 \, \text{kg} $M = m_1 + m_2 = 2 \, \text{kg} + 3 \, \text{kg} = 5 \, \text{kg}$

2. Calcola la posizione del centro di massa:

   \mathbf{R} = \frac{1}{M} (m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2) = \frac{1}{5 \, \text{kg}} \left( 2 \, \text{kg} \cdot (1, 0) + 3 \, \text{kg} \cdot (4, 0) \right) $\mathbf{R} = \frac{1}{M} (m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2) = \frac{1}{5 \, \text{kg}} \left( 2 \, \text{kg} \cdot (1, 0) + 3 \, \text{kg} \cdot (4, 0) \right)$

   \mathbf{R} = \frac{1}{5} \left( (2, 0) + (12, 0) \right) = \frac{1}{5} (14, 0) = (2.8, 0) \, \text{m} $\mathbf{R} = \frac{1}{5} \left( (2, 0) + (12, 0) \right) = \frac{1}{5} (14, 0) = (2.8, 0) \, \text{m}$

Risultato: La posizione del centro di massa è \mathbf{R} = (2.8, 0) \, \text{m}$\mathbf{R} = (2.8, 0) \, \text{m}$.

Esercizio 2: Centro di Massa di un Corpo Rigido

Problema: Un'asta uniforme di lunghezza L = 2 \, \text{m}$L = 2 \, \text{m}$ e massa m = 4 \, \text{kg}$m = 4 \, \text{kg}$ ha il suo centro di massa a metà della lunghezza. Calcola la posizione del centro di massa.

Soluzione:

1. Poiché l'asta è uniforme, il centro di massa si trova a metà della lunghezza:

   \mathbf{R} = \frac{L}{2} = \frac{2 \, \text{m}}{2} = 1 \, \text{m} $\mathbf{R} = \frac{L}{2} = \frac{2 \, \text{m}}{2} = 1 \, \text{m}$

Risultato: La posizione del centro di massa dell'asta è \mathbf{R} = 1 \, \text{m}$\mathbf{R} = 1 \, \text{m}$ dal punto di partenza dell'asta.

Esercizio 3: Centro di Massa di un Sistema di Particelle

Problema: Tre particelle di massa m_1 = 1 \, \text{kg}$m_1 = 1 \, \text{kg}$, m_2 = 2 \, \text{kg}$m_2 = 2 \, \text{kg}$ e m_3 = 3 \, \text{kg}$m_3 = 3 \, \text{kg}$ si trovano rispettivamente nelle posizioni \mathbf{r}_1 = (0, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_1 = (0, 0) \, \text{m}$, \mathbf{r}_2 = (2, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_2 = (2, 0) \, \text{m}$ e \mathbf{r}_3 = (4, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_3 = (4, 0) \, \text{m}$. Calcola la posizione del centro di massa del sistema.

Soluzione:

1. Calcola la massa totale:

   M = m_1 + m_2 + m_3 = 1 \, \text{kg} + 2 \, \text{kg} + 3 \, \text{kg} = 6 \, \text{kg} $M = m_1 + m_2 + m_3 = 1 \, \text{kg} + 2 \, \text{kg} + 3 \, \text{kg} = 6 \, \text{kg}$

2. Calcola la posizione del centro di massa:

   \mathbf{R} = \frac{1}{M} (m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 + m_3 \mathbf{r}_3) $\mathbf{R} = \frac{1}{M} (m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 + m_3 \mathbf{r}_3)$

   Sostituendo i valori:

   \mathbf{R} = \frac{1}{6 \, \text{kg}} \left( 1 \, \text{kg} \cdot (0, 0) + 2 \, \text{kg} \cdot (2, 0) + 3 \, \text{kg} \cdot (4, 0) \right) $\mathbf{R} = \frac{1}{6 \, \text{kg}} \left( 1 \, \text{kg} \cdot (0, 0) + 2 \, \text{kg} \cdot (2, 0) + 3 \, \text{kg} \cdot (4, 0) \right)$

   \mathbf{R} = \frac{1}{6} \left( (0, 0) + (4, 0) + (12, 0) \right) = \frac{1}{6} (16, 0) = \left( \frac{16}{6}, 0 \right) = \left( \frac{8}{3}, 0 \right) \, \text{m} \approx (2.67, 0) \, \text{m} $\mathbf{R} = \frac{1}{6} \left( (0, 0) + (4, 0) + (12, 0) \right) = \frac{1}{6} (16, 0) = \left( \frac{16}{6}, 0 \right) = \left( \frac{8}{3}, 0 \right) \, \text{m} \approx (2.67, 0) \, \text{m}$

Risultato: La posizione del centro di massa del sistema è \mathbf{R} \approx (2.67, 0) \, \text{m}$\mathbf{R} \approx (2.67, 0) \, \text{m}$.

English version

Center of Mass Exercises

Key Concepts

1. Definition of Center of Mass: The center of mass of a system of particles is the point where all the mass of the system can be considered to be concentrated. For a system of n$n$ particles, the position of the center of mass \mathbf{R}$\mathbf{R}$ is given by:

\mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{r}_i $\mathbf{R} = \frac{1}{M} \sum_{i=1}^{n} m_i \mathbf{r}_i$

where $ M $ is the total mass of the system, m_i$m_i$ is the mass of the i$i$-th particle, and \mathbf{r}_i$\mathbf{r}_i$ is the position vector of the i$i$-th particle.

2. Total Mass: The total mass M$M$ of a system of particles is given by the sum of the masses of the individual particles:

M = \sum_{i=1}^{n} m_i $M = \sum_{i=1}^{n} m_i$

3. Center of Mass of a Rigid Body: For a rigid body, the center of mass can be calculated by integrating over the mass distribution of the body. If the density is uniform, the center of mass can be found as:

\mathbf{R} = \frac{1}{V} \int_V \mathbf{r} \, dm $\mathbf{R} = \frac{1}{V} \int_V \mathbf{r} \, dm$

where V$V$ is the volume of the body and dm$dm$ is an element of mass.

4. Properties of the Center of Mass: The center of mass of a system of particles moves as if all the mass of the system were concentrated at that point and were subject to external forces.

Exercises

Exercise 1: Calculating the Center of Mass of Two Particles

Problem: Two particles of mass m_1 = 2 \, \text{kg}$m_1 = 2 \, \text{kg}$ and m_2 = 3 \, \text{kg}$m_2 = 3 \, \text{kg}$ are located at the positions \mathbf{r}_1 = (1, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_1 = (1, 0) \, \text{m}$ and \mathbf{r}_2 = (4, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_2 = (4, 0) \, \text{m}$, respectively. Calculate the position of the center of mass of the system.

Solution:

1. Calculate the total mass:
   M = m_1 + m_2 = 2 \, \text{kg} + 3 \, \text{kg} = 5 \, \text{kg}$M = m_1 + m_2 = 2 \, \text{kg} + 3 \, \text{kg} = 5 \, \text{kg}$
2. Calculate the position of the center of mass:
   \mathbf{R} = \frac{1}{M} (m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2) = \frac{1}{5 \, \text{kg}} \left( 2 \, \text{kg} \cdot (1, 0) + 3 \, \text{kg} \cdot (4, 0) \right)$\mathbf{R} = \frac{1}{M} (m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2) = \frac{1}{5 \, \text{kg}} \left( 2 \, \text{kg} \cdot (1, 0) + 3 \, \text{kg} \cdot (4, 0) \right)$
   \mathbf{R} = \frac{1}{5} \left( (2, 0) + (12, 0) \right) = \frac{1}{5} (14, 0) = (2.8, 0) \, \text{m}$\mathbf{R} = \frac{1}{5} \left( (2, 0) + (12, 0) \right) = \frac{1}{5} (14, 0) = (2.8, 0) \, \text{m}$

Result: The position of the center of mass is \mathbf{R} = (2.8, 0) \, \text{m}$\mathbf{R} = (2.8, 0) \, \text{m}$.

Exercise 2: Center of Mass of a Rigid Body

Problem: A uniform rod of length L = 2 \, \text{m}$L = 2 \, \text{m}$ and mass m = 4 \, \text{kg}$m = 4 \, \text{kg}$ has its center of mass at half its length. Calculate the position of the center of mass.

Solution:

1. Since the rod is uniform, the center of mass is located halfway along the length:

\mathbf{R} = \frac{L}{2} = \frac{2 \, \text{m}}{2} = 1 \, \text{m} $\mathbf{R} = \frac{L}{2} = \frac{2 \, \text{m}}{2} = 1 \, \text{m}$

Result: The location of the center of mass of the rod is \mathbf{R} = 1 \, \text{m}$\mathbf{R} = 1 \, \text{m}$ from the starting point of the rod.

Exercise 3: Center of Mass of a System of Particles

Problem: Three particles of mass m_1 = 1 \, \text{kg}$m_1 = 1 \, \text{kg}$, m_2 = 2 \, \text{kg}$m_2 = 2 \, \text{kg}$ and m_3 = 3 \, \text{kg}$m_3 = 3 \, \text{kg}$ are respectively at the positions \mathbf{r}_1 = (0, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_1 = (0, 0) \, \text{m}$, \mathbf{r}_2 = (2, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_2 = (2, 0) \, \text{m}$ and \mathbf{r}_3 = (4, 0) \, \text{m}$\mathbf{r}_3 = (4, 0) \, \text{m}$. Calculate the position of the center of mass of the system.

Solution:

1. Calculate the total mass:
   M = m_1 + m_2 + m_3 = 1 \, \text{kg} + 2 \, \text{kg} + 3 \, \text{kg} = 6 \, \text{kg}$M = m_1 + m_2 + m_3 = 1 \, \text{kg} + 2 \, \text{kg} + 3 \, \text{kg} = 6 \, \text{kg}$
2. Calculate the position of the center of mass:
   \mathbf{R} = \frac{1}{M} (m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 {r}_2 + m_3 \mathbf{r}_3)$\mathbf{R} = \frac{1}{M} (m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 {r}_2 + m_3 \mathbf{r}_3)$
   Substituting the values:
   \mathbf{R} = \frac{1}{6 \, \text{kg}} \left( 1 \, \text{kg} \cdot (0, 0) + 2 \, \text{kg} \cdot (2, 0) + 3 \, \text{kg} \cdot (4, 0) \right)$\mathbf{R} = \frac{1}{6 \, \text{kg}} \left( 1 \, \text{kg} \cdot (0, 0) + 2 \, \text{kg} \cdot (2, 0) + 3 \, \text{kg} \cdot (4, 0) \right)$
   \mathbf{R} = \frac{1}{6} \left( (0, 0) + (4, 0) + (12, 0) \right) = \frac{1}{6} (16, 0) = \left( \frac{16}{6}, 0 \right) = \left( \frac{8}{3}, 0 \right) \, \text{m} \approx (2 .67, 0) \, \text{m}$\mathbf{R} = \frac{1}{6} \left( (0, 0) + (4, 0) + (12, 0) \right) = \frac{1}{6} (16, 0) = \left( \frac{16}{6}, 0 \right) = \left( \frac{8}{3}, 0 \right) \, \text{m} \approx (2 .67, 0) \, \text{m}$

Result: The position of the center of mass of the system is \mathbf{R} \approx (2.67, 0) \, \text{m}$\mathbf{R} \approx (2.67, 0) \, \text{m}$.