Esercizi sui teoremi di Rolle e Lagrange

Esercizi sui teoremi di Rolle e Lagrange

Esercizi sui teorimi di Rolle e Lagrange

Versione italiana

Esercizi sui teorimi di Rolle e Lagrange

I teoremi di Rolle e di Lagrange (o teorema del valore intermedio) sono due importanti risultati della teoria del calcolo differenziale. Entrambi riguardano le proprietà delle funzioni continue e derivabili.

Concetti chiave

1. Teorema di Rolle:

   • Se una funzione f è continua su un intervallo chiuso [a, b] e derivabile su (a, b), e se f(a) = f(b), allora esiste almeno un punto c in (a, b) tale che f'(c) = 0$f'(c) = 0$. In altre parole, c'è almeno un punto in cui la tangente alla curva è orizzontale.

2. Teorema di Lagrange (o Teorema del valore intermedio):

   • Se una funzione f è continua su un intervallo chiuso [a, b] e derivabile su (a, b), allora esiste almeno un punto c in (a, b) tale che:

   f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

   $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

   Questo significa che c'è almeno un punto in cui la derivata della funzione è uguale al tasso di variazione medio della funzione sull'intervallo [a, b].

Esercizi

Esercizio 1: Applicazione del Teorema di Rolle

Problema: Verifica se il Teorema di Rolle si applica alla funzione f(x) = x^2 - 4x + 4$f(x) = x^2 - 4x + 4$ nell'intervallo [0, 4].

Soluzione:

1. Calcoliamo f(0) e f(4):

   f(0) = 0^2 - 4(0) + 4 = 4

   $$f(0) = 0^2 - 4(0) + 4 = 4$$

   f(4) = 4^2 - 4(4) + 4 = 4

   $$f(4) = 4^2 - 4(4) + 4 = 4$$

   Poiché f(0) = f(4)$f(0) = f(4)$, possiamo applicare il Teorema di Rolle.

2. Calcoliamo la derivata f'(x)$f'(x)$:

   f'(x) = 2x - 4

   $$f'(x) = 2x - 4$$

3. Troviamo i punti in cui f'(x) = 0$f'(x) = 0$:

   2x - 4 = 0 \implies x = 2

   $$2x - 4 = 0 \implies x = 2$$

   Quindi, secondo il Teorema di Rolle, esiste un punto c = 2$c = 2$ in (0, 4)$(0, 4)$ tale che f'(2) = 0$f'(2) = 0$.

Esercizio 2: Applicazione del Teorema di Lagrange

Problema: Verifica se il Teorema di Lagrange si applica alla funzione f(x) = \sin(x)$f(x) = \sin(x)$ nell'intervallo [0, \pi]$[0, \pi]$.

Soluzione:

1. Calcoliamo f(0)$f(0)$ e f(\pi)$f(\pi)$:

   f(0) = \sin(0) = 0

   $$f(0) = \sin(0) = 0$$

   f(\pi) = \sin(\pi) = 0

   $$f(\pi) = \sin(\pi) = 0$$

   Poiché f(0) = f(\pi)$f(0) = f(\pi)$, possiamo applicare il Teorema di Lagrange.

2. Calcoliamo la derivata f'(x)$f'(x)$:

   f'(x) = \cos(x)

   $$f'(x) = \cos(x)$$

3. Calcoliamo il tasso di variazione medio:

   \frac{f(\pi) - f(0)}{\pi - 0} = \frac{0 - 0}{\pi} = 0

   $$\frac{f(\pi) - f(0)}{\pi - 0} = \frac{0 - 0}{\pi} = 0$$

4. Troviamo i punti in cui f'(x) = 0$f'(x) = 0$:

   \cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

   $$\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$$

   Quindi, secondo il Teorema di Lagrange, esiste un punto c = \frac{\pi}{2}$c = \frac{\pi}{2}$ in (0, \pi)$(0, \pi)$ tale che f'(c) = 0$f'(c) = 0$.

English version

Exercises on Rolle and Lagrange Theorems

Rolle's theorem and Lagrange's theorem (or intermediate value theorem) are two important results in the theory of differential calculus. Both concern the properties of continuous and differentiable functions.

Key concepts

1. Rolle's theorem:

• If a function f is continuous on a closed interval [a, b] and differentiable on (a, b), and if f(a) = f(b), then there exists at least one point c in (a, b) such that f'(c) = 0$f'(c) = 0$. In other words, there is at least one point where the tangent to the curve is horizontal.

2. Lagrange's Theorem (or Intermediate Value Theorem):

• If a function f is continuous on a closed interval [a, b] and differentiable on (a, b), then there exists at least one point c in (a, b) such that:

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

$$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$

This means that there is at least one point where the derivative of the function is equal to the average rate of change of the function on the interval [a, b].

Exercises

Exercise 1: Application of Rolle's Theorem

Problem: Verify whether Rolle's Theorem applies to the function f(x) = x^2 - 4x + 4$f(x) = x^2 - 4x + 4$ in the interval [0, 4].

Solution:

1. Let's calculate f(0) and f(4):

f(0) = 0^2 - 4(0) + 4 = 4

$$f(0) = 0^2 - 4(0) + 4 = 4$$

f(4) = 4^2 - 4(4) + 4 = 4

$$f(4) = 4^2 - 4(4) + 4 = 4$$

Since f(0) = f(4)$f(0) = f(4)$, we can apply Rolle's Theorem.

2. Let's calculate the derivative f'(x)$f'(x)$:

f'(x) = 2x - 4

$$f'(x) = 2x - 4$$

3. Let's find the points where f'(x) = 0$f'(x) = 0$:

2x - 4 = 0 \implies x = 2

$$2x - 4 = 0 \implies x = 2$$

So, according to Rolle's Theorem, there exists a point c = 2$c = 2$ in (0, 4)$(0, 4)$ such that f'(2) = 0$f'(2) = 0$.

Exercise 2: Applying Lagrange's Theorem

Problem: Check whether Lagrange's Theorem applies to the function f(x) = \sin(x)$f(x) = \sin(x)$ in the interval [0, \pi]$[0, \pi]$.

Solution:

1. Let's calculate f(0)$f(0)$ and f(\pi)$f(\pi)$:

f(0) = \sin(0) = 0

$$f(0) = \sin(0) = 0$$

f(\pi) = \sin(\pi) = 0

$$f(\pi) = \sin(\pi) = 0$$

Since f(0) = f(\pi)$f(0) = f(\pi)$, we can apply Lagrange's Theorem.

2. Let's calculate the derivative f'(x)$f'(x)$:

f'(x) = \cos(x)

$$f'(x) = \cos(x)$$

3. Let's calculate the average rate of change:

\frac{f(\pi) - f(0)}{\pi - 0} = \frac{0 - 0}{\pi} = 0

$$\frac{f(\pi) - f(0)}{\pi - 0} = \frac{0 - 0}{\pi} = 0$$

4. Let's find the points where f'(x) = 0$f'(x) = 0$:

\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}

$$\cos(x) = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$$

So, according to Lagrange's Theorem, there exists a point c = \frac{\pi}{2}$c = \frac{\pi}{2}$ in (0, \pi)$(0, \pi)$ such that f'(c) = 0$f'(c) = 0$.