Esercizi sui teoremi di De L'Hôpital e Weierstrass

Esercizi sui teoremi di De L'Hôpital e Weierstrass

Esercizi sui teoremi di De L'Hôpital e Weierstrass

Versione italiana

Esercizi sui teoremi di De L'Hôpital e Weierstrass

I teoremi di De L'Hôpital e di Weierstrass sono strumenti importanti nel calcolo differenziale e integrale. Ecco una spiegazione dei concetti chiave e alcuni esercizi pratici.

Concetti chiave

Teorema di De L'Hôpital

Il teorema di De L'Hôpital è utilizzato per calcolare limiti che presentano forme indeterminate, come \frac{0}{0}$\frac{0}{0}$ o \frac{\infty}{\infty}$\frac{\infty}{\infty}$. Se hai un limite della forma:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \quad \text{o} \quad \frac{\infty}{\infty}

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \quad \text{o} \quad \frac{\infty}{\infty}$$

puoi calcolare il limite derivando il numeratore e il denominatore:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

se il limite a destra esiste.

Teorema di Weierstrass

Il teorema di Weierstrass, noto anche come teorema dell'estremum, afferma che se una funzione è continua su un intervallo chiuso e limitato [a, b]$[a, b]$, allora essa raggiunge un massimo e un minimo assoluto in quell'intervallo. Questo teorema è fondamentale per l'analisi delle funzioni.

Esercizi

Esercizio 1: Applicazione del Teorema di De L'Hôpital

Problema: Calcola il limite:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$$

Soluzione:

1. Sostituiamo x = 0:

   \frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{(forma indeterminata)}

   $$\frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{(forma indeterminata)}$$
2. Applichiamo il teorema di De L'Hôpital:

   \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1

   $$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1$$

Quindi, il limite è 1.

Esercizio 2: Applicazione del Teorema di De L'Hôpital con forma infinita

Problema: Calcola il limite:

\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4}

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4}$$

Soluzione:

1. Sostituiamo x = \infty$x = \infty$:

   \frac{\infty}{\infty} \quad \text{(forma indeterminata)}

   $$\frac{\infty}{\infty} \quad \text{(forma indeterminata)}$$
2. Applichiamo il teorema di De L'Hôpital:

   \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{10x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

   $$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{10x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

Quindi, il limite è \frac{2}{5}$\frac{2}{5}$.

Esercizio 3: Applicazione del Teorema di Weierstrass

Problema: Trova il massimo e il minimo della funzione f(x) = -x^2 + 4x$f(x) = -x^2 + 4x$ nell'intervallo [0, 4]$[0, 4]$.

Soluzione:

1. Calcoliamo la derivata:

   f'(x) = -2x + 4

   $$f'(x) = -2x + 4$$

2. Troviamo i punti critici ponendo f'(x) = 0$f'(x) = 0$:

   -2x + 4 = 0 \implies x = 2

   $$-2x + 4 = 0 \implies x = 2$$

3. Valutiamo la funzione nei punti critici e agli estremi dell'intervallo:

   • f(0) = -0^2 + 4(0) = 0$f(0) = -0^2 + 4(0) = 0$
   • f(2) = -2^2 + 4(2) = 8 - 4 = 4$f(2) = -2^2 + 4(2) = 8 - 4 = 4$
   • f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$

4. Confronto dei valori

• f(0) = 0$f(0) = 0$
• f(2) = 4$f(2) = 4$ (massimo)
• f(4) = 0$f(4) = 0$

Risultato

• Massimo: f(2) = 4$f(2) = 4$ (si verifica che è il massimo assoluto nell'intervallo)
• Minimo: f(0) = 0$f(0) = 0$ e f(4) = 0$f(4) = 0$ (entrambi sono i minimi assoluti nell'intervallo)

Esercizio 4: Applicazione del Teorema di Weierstrass con una funzione continua

Problema: Trova il massimo e il minimo della funzione g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ nell'intervallo [-1, 3]$[-1, 3]$.

Soluzione:

1. Calcoliamo la derivata:

   g'(x) = 3x^2 - 6x

   $$g'(x) = 3x^2 - 6x$$

2. Troviamo i punti critici ponendo g'(x) = 0$g'(x) = 0$:

   3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0

   $$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$$

   Quindi, i punti critici sono x = 0 e x = 2.

3. Valutiamo la funzione nei punti critici e agli estremi dell'intervallo:

   • g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$
   • g(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$g(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$
   • g(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$g(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$
   • g(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4$g(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4$

4. Confrontiamo i valori:

   • g(-1) = 0$g(-1) = 0$
   • g(0) = 4$g(0) = 4$
   • g(2) = 0$g(2) = 0$
   • g(3) = 4$g(3) = 4$

Risultato

• Massimo: g(0) = 4 e g(3) = 4 (massimo assoluto)
• Minimo: g(-1) = 0 e g(2) = 0 (minimo assoluto)

English version

Exercises on the theorems of L'Hôpital and Weierstrass

The theorems of L'Hôpital and Weierstrass are important tools in differential and integral calculus. Here is an explanation of the key concepts and some practical exercises.

Key concepts

Theorem of L'Hôpital

The theorem of L'Hôpital is used to compute limits that have indeterminate forms, such as \frac{0}{0}$\frac{0}{0}$ or \frac{\infty}{\infty}$\frac{\infty}{\infty}$. If you have a limit of the form:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \quad \text{o} \quad \frac{\infty}{\infty}

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0} \quad \text{o} \quad \frac{\infty}{\infty}$$

you can calculate the limit by deriving the numerator and denominator:

\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}

$$\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

if the limit on the right exists.

Weierstrass Theorem

Weierstrass's theorem, also known as the extremum theorem, states that if a function is continuous on a closed and bounded interval [a, b]$[a, b]$, then it reaches an absolute maximum and minimum on that interval. This theorem is fundamental to the analysis of functions.

Exercises

Exercise 1: Application of L'Hôpital's Theorem

Problem: Calculate the limit:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x}$$

Solution:

1. Let's replace x = 0:

\frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminate form)}

$$\frac{\sin(0)}{0} = \frac{0}{0} \quad \text{(indeterminate form)}$$

2. Let's apply L'Hôpital's theorem:

\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x)}{1} = \cos(0) = 1$$

Therefore, the limit is 1.

Exercise 2: Application of L'Hôpital's Theorem with infinite form

Problem: Calculate the limit:

\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4}

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4}$$

Solution:

1. Replace x = \infty$x = \infty$:

\frac{\infty}{\infty} \quad \text{(indeterminate form)}

$$\frac{\infty}{\infty} \quad \text{(indeterminate form)}$$

2. Apply L'Hôpital's theorem:

\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{10x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}

$$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{4x + 3}{10x} = \lim_{x \to \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$$

So, the limit is \frac{2}{5}$\frac{2}{5}$.

Exercise 3: Application of Weierstrass Theorem

Problem: Find the maximum and minimum of the function f(x) = -x^2 + 4x$f(x) = -x^2 + 4x$ in the interval [0, 4]$[0, 4]$.

Solution:

1. Let's calculate the derivative:

f'(x) = -2x + 4

$$f'(x) = -2x + 4$$

2. Let's find the critical points by setting f'(x) = 0$f'(x) = 0$:

-2x + 4 = 0 \implies x = 2

$$-2x + 4 = 0 \implies x = 2$$

3. Let's evaluate the function at the critical points and at the extremes of the interval:

• f(0) = -0^2 + 4(0) = 0$f(0) = -0^2 + 4(0) = 0$
• f(2) = -2^2 + 4(2) = 8 - 4 = 4$f(2) = -2^2 + 4(2) = 8 - 4 = 4$
• f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$f(4) = -4^2 + 4(4) = -16 + 16 = 0$

4. Compare the values

• f(0) = 0$f(0) = 0$
• f(2) = 4$f(2) = 4$ (maximum)
• f(4) = 0$f(4) = 0$

Result

• Maximum: f(2) = 4$f(2) = 4$ (it is verified that it is the absolute maximum in the interval)
• Minimum: f(0) = 0$f(0) = 0$ and f(4) = 0$f(4) = 0$ (both are the absolute minimums in the interval)

Exercise 4: Application of Weierstrass Theorem with a continuous function

Problem: Find the maximum and minimum of the function g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$g(x) = x^3 - 3x^2 + 4$ in the interval [-1, 3]$[-1, 3]$.

Solution:

1. Let's calculate the derivative:

g'(x) = 3x^2 - 6x

$$g'(x) = 3x^2 - 6x$$

2. Let's find the critical points by setting g'(x) = 0$g'(x) = 0$:

3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0

$$3x^2 - 6x = 0 \implies 3x(x - 2) = 0$$

So, the critical points are x = 0 and x = 2.

3. Let's evaluate the function at the critical points and at the extremes of the interval:

• g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$g(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 - 3 + 4 = 0$
• g(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$g(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 4 = 4$
• g(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$g(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 4 = 8 - 12 + 4 = 0$
• g(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4$g(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 4 = 27 - 27 + 4 = 4$

4. Let's compare the values:

• g(-1) = 0$g(-1) = 0$
• g(0) = 4$g(0) = 4$
• g(2) = 0$g(2) = 0$
• g(3) = 4$g(3) = 4$

Result

• Maximum: g(0) = 4 and g(3) = 4 (absolute maximum)
• Minimum: g(-1) = 0 and g(2) = 0 (absolute minimum)