Esercizi sui sistemi di equazioni con le matrici

Esercizi sui sistemi di equazioni con le matrici

Esercizi sui sistemi di equazioni con le matrici

Versione italiana

Esercizi sui sistemi di equazioni

Ecco i concetti chiave:

1. Sistemi di Equazioni Lineari

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di equazioni che coinvolgono le stesse variabili. Ad esempio, un sistema di due equazioni con due incognite può essere scritto come:

\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

dove a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ sono coefficienti reali.

2. Forma Matriciale

Un sistema di equazioni può essere rappresentato in forma matriciale come A\mathbf{x} = \mathbf{b}$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, dove:

• A è la matrice dei coefficienti, che contiene i coefficienti delle variabili.
• \mathbf{x}$\mathbf{x}$ è il vettore delle incognite (le variabili da risolvere).
• \mathbf{b}$\mathbf{b}$ è il vettore dei termini noti (i risultati delle equazioni).

3. Matrice Aumentata

La matrice aumentata [A | \mathbf{b}]$[A | \mathbf{b}]$ combina la matrice dei coefficienti e il vettore dei termini noti in un'unica matrice. Questo è utile per applicare operazioni di riduzione.

4. Operazioni Elementari sulle Righe

Per risolvere un sistema di equazioni tramite la riduzione in scala, utilizziamo operazioni elementari sulle righe, che non cambiano le soluzioni del sistema:

1. Scambiare due righe: Questa operazione non altera le soluzioni del sistema.
2. Moltiplicare una riga per un numero diverso da zero: Anche questa operazione non cambia le soluzioni.
3. Aggiungere o sottrarre un multiplo di una riga a un'altra riga: Questa operazione permette di eliminare variabili e semplificare il sistema.

5. Forma Ridotta di Gauss

L'obiettivo della riduzione in scala è portare la matrice aumentata in una forma chiamata "forma ridotta di Gauss" (o "forma normale di Gauss"). In questa forma:

• Ogni riga non nulla ha un primo elemento (chiamato "pivot") che è 1.
• I pivot di righe successive si trovano a destra rispetto ai pivot delle righe precedenti.
• Tutti gli elementi sopra e sotto i pivot sono zero.

6. Soluzioni del Sistema

Una volta che la matrice è in forma ridotta, possiamo facilmente leggere le soluzioni del sistema. Ci sono tre possibili casi:

1. Sistema compatibile e determinato: Ha una sola soluzione.
2. Sistema compatibile e indeterminato: Ha infinite soluzioni (si verifica quando ci sono meno pivot rispetto al numero di variabili).
3. Sistema incompatibile: Non ha soluzioni (si verifica quando si ottiene una contraddizione, come (0 = 1).

Esercizio

Consideriamo il seguente sistema di equazioni:

1. 2x + 3y = 5
2. 4x + y = 11

Passo 1: Scrivere il sistema in forma matriciale

Possiamo rappresentare il sistema di equazioni in forma matriciale A\mathbf{x} = \mathbf{b}$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, dove:

• A è la matrice dei coefficienti,
• \mathbf{x}$\mathbf{x}$ è il vettore delle incognite,
• \mathbf{b}$\mathbf{b}$ è il vettore dei termini noti.

Per il nostro esempio, abbiamo:

A = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 1
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
5 \\
11
\end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$$

Passo 2: Formare la matrice aumentata

La matrice aumentata [A | \mathbf{b}]$[A | \mathbf{b}]$ è data da:

\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 5 \\
4 & 1 & | & 11
\end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 5 \\ 4 & 1 & | & 11 \end{pmatrix}$$

Passo 3: Applicare la riduzione in scala

L'obiettivo è trasformare la matrice aumentata in una forma che ci permetta di risolvere facilmente il sistema. Iniziamo a ridurre la matrice.

1. Rendere il primo elemento della prima riga uguale a 1 (dividiamo la prima riga per 2):

R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1 \implies \begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\
4 & 1 & | & 11
\end{pmatrix}

$$R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1 \implies \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 4 & 1 & | & 11 \end{pmatrix}$$

2. Eliminare il primo elemento della seconda riga (sottraiamo 4 volte la prima riga dalla seconda):

R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1 \implies \begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\
0 & -5 & | & 1
\end{pmatrix}

$$R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1 \implies \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & -5 & | & 1 \end{pmatrix}$$

3. Rendere il secondo elemento della seconda riga uguale a 1 (dividiamo la seconda riga per -5):

R_2 \leftarrow -\frac{1}{5} R_2 \implies \begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\
0 & 1 & | & -\frac{1}{5}
\end{pmatrix}

$$R_2 \leftarrow -\frac{1}{5} R_2 \implies \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$$

4. Eliminare il secondo elemento della prima riga (sottraiamo \frac{3}{2}$\frac{3}{2}$ volte la seconda riga dalla prima):

R_1 \leftarrow R_1 - \frac{3}{2} R_2 \implies \begin{pmatrix}
1 & 0 & | & 3 \\
0 & 1 & | & -\frac{1}{5}
\end{pmatrix}

$$R_1 \leftarrow R_1 - \frac{3}{2} R_2 \implies \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$$

Passo 4: Leggere le soluzioni

Ora che abbiamo la matrice in forma ridotta, possiamo leggere le soluzioni:

• x = 3
• y = -\frac{1}{5}$y = -\frac{1}{5}$

English version

Exercises on Systems of Equations

Here are the key concepts:

1. Systems of Linear Equations

A system of linear equations is a set of equations that involve the same variables. For example, a system of two equations with two unknowns can be written as:

\begin{cases}
a_1x + b_1y = c_1 \\
a_2x + b_2y = c_2
\end{cases}

$$\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$$

where a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ are real coefficients.

2. Matrix Form

A system of equations can be represented in matrix form as A\mathbf{x} = \mathbf{b}$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, where:

• A is the coefficient matrix, which contains the coefficients of the variables.
• \mathbf{x}$\mathbf{x}$ is the vector of unknowns (the variables to be solved).
• \mathbf{b}$\mathbf{b}$ is the vector of known terms (the results of the equations).

3. Augmented Matrix

The augmented matrix [A | \mathbf{b}]$[A | \mathbf{b}]$ combines the coefficient matrix and the vector of known terms into a single matrix. This is useful for applying reduction operations.

4. Elementary Row Operations

To solve a system of equations by scaling, we use elementary row operations, which do not change the solutions of the system:

1. Exchange two rows: This operation does not alter the solutions of the system.
2. Multiply a row by a number other than zero: This operation also does not change the solutions.
3. Add or subtract a multiple of a row to another row: This operation allows you to eliminate variables and simplify the system.

5. Reduced Gaussian Form

The goal of scaling is to bring the augmented matrix into a form called "reduced Gaussian form" (or "normal Gaussian form"). In this form:

• Each non-zero row has a first element (called a "pivot") that is 1.
• The pivots of subsequent rows are to the right of the pivots of previous rows.
• All elements above and below the pivots are zero.

6. Solutions of the System

Once the matrix is ​​in reduced form, we can easily read the solutions of the system. There are three possible cases:

1. Compatible and determinate system: It has only one solution.
2. Compatible and indeterminate system: It has infinitely many solutions (occurs when there are fewer pivots than there are variables).
3. Incompatible system: It has no solutions (occurs when a contradiction is obtained, such as (0 = 1).

Exercise

Let's consider the following system of equations:

1. 2x + 3y = 5
2. 4x + y = 11

Step 1: Write the system in matrix form

We can represent the system of equations in matrix form A\mathbf{x} = \mathbf{b}$A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, where:

• A is the coefficient matrix,
• \mathbf{x}$\mathbf{x}$ is the vector of unknowns,
• \mathbf{b}$\mathbf{b}$ is the vector of known terms.

For our example, we have:

A = \begin{pmatrix}
2 & 3 \\
4 & 1
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}, \quad
\mathbf{b} = \begin{pmatrix}
5 \\
11
\end{pmatrix}

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 1 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}$$

Step 2: Form the augmented matrix

The augmented matrix [A | \mathbf{b}]$[A | \mathbf{b}]$ is given by:

\begin{pmatrix}
2 & 3 & | & 5 \\
4 & 1 & | & 11
\end{pmatrix}

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & | & 5 \\ 4 & 1 & | & 11 \end{pmatrix}$$

Step 3: Apply scaling

The goal is to transform the augmented matrix into a form that allows us to easily solve the system. Let's start reducing the matrix.

1. Make the first element of the first row equal to 1 (divide the first row by 2):

R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1 \implies \begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\
4 & 1 & | & 11
\end{pmatrix}

$$R_1 \leftarrow \frac{1}{2} R_1 \implies \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 4 & 1 & | & 11 \end{pmatrix}$$

2. Delete the first element of the second row (subtract the first row from the second 4 times):

R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1 \implies \begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\
0 & -5 & | & 1
\end{pmatrix}

$$R_2 \leftarrow R_2 - 4R_1 \implies \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & -5 & | & 1 \end{pmatrix}$$

3. Make the second element of the second row equal to 1 (divide the second row by -5):

R_2 \leftarrow -\frac{1}{5} R_2 \implies \begin{pmatrix}
1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\
0 & 1 & | & -\frac{1}{5}
\end{pmatrix}

$$R_2 \leftarrow -\frac{1}{5} R_2 \implies \begin{pmatrix} 1 & \frac{3}{2} & | & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$$

4. Delete the second element of the first row (subtract \frac{3}{2}$\frac{3}{2}$ times the second row from the first):

R_1 \leftarrow R_1 - \frac{3}{2} R_2 \implies \begin{pmatrix}
1 & 0 & | & 3 \\
0 & 1 & | & -\frac{1}{5}
\end{pmatrix}

$$R_1 \leftarrow R_1 - \frac{3}{2} R_2 \implies \begin{pmatrix} 1 & 0 & | & 3 \\ 0 & 1 & | & -\frac{1}{5} \end{pmatrix}$$

Step 4: Read the solutions

Now that we have the matrix in reduced form, we can read the solutions:

• x = 3
• y = -\frac{1}{5}$y = -\frac{1}{5}$