Esercizi sui Punti Massimi, Minimi e di Sella in funzioni di due variabili

Esercizi sui Punti Massimi, Minimi e di Sella in funzioni di due variabili

Esercizi sui Punti Massimi, Minimi e di Sella in funzioni di due variabili

Versione italiana

Esercizi sui Punti Massimi, Minimi e di Sella in funzioni di due variabili

I punti massimi, minimi e di sella di funzioni di due variabili sono concetti fondamentali nell'analisi matematica, in particolare nello studio delle superfici e delle funzioni multivariate. Ecco una spiegazione dei concetti principali e degli esercizi associati.

Concetti Principali

1. Funzione di due variabili: Una funzione f(x, y) è definita su un dominio nel piano xy.

2. Punti critici: Un punto (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ è un punto critico se le derivate parziali prime della funzione si annullano in quel punto:

   f_x(x_0, y_0) = 0 \quad \text{e} \quad f_y(x_0, y_0) = 0

   $$f_x(x_0, y_0) = 0 \quad \text{e} \quad f_y(x_0, y_0) = 0$$

   dove f_x$f_x$ e f_y$f_y$ sono le derivate parziali di f rispetto a x e y.

3. Test della derivata seconda: Per classificare i punti critici, si utilizza il determinante della matrice Hessiana H:

   H = \begin{bmatrix}
   f_{xx} & f_{xy} \\
   f_{yx} & f_{yy}
   \end{bmatrix}

   $$H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix}$$

   dove f_{xx}, f_{yy}$f_{xx}, f_{yy}$ sono le derivate seconde e f_{xy} = f_{yx}$f_{xy} = f_{yx}$ è la derivata mista.

   • Calcola il determinante D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$.
   • Classificazione:
     • Se D > 0 e f_{xx} > 0$f_{xx} > 0$: punto minimo locale.
     • Se D > 0 e f_{xx} < 0$f_{xx} < 0$: punto massimo locale.
     • Se D < 0: punto di sella.
     • Se D = 0: il test è inconcludente.

Esercizi

1. Esercizio di base:
   Considera la funzione f(x, y) = x^2 + y^2$f(x, y) = x^2 + y^2$.

   • Trova i punti critici.
   • Classifica i punti critici usando il test della derivata seconda.

   Soluzione:

   • Derivate parziali: f_x = 2x, f_y = 2y$f_x = 2x, f_y = 2y$.
   • Punti critici: (0, 0).
   • Derivate seconde: f_{xx} = 2$f_{xx} = 2$, f_{yy} = 2$f_{yy} = 2$, f_{xy} = 0$f_{xy} = 0$.
   • Determinante: D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$ e f_{xx} = 2 > 0$f_{xx} = 2 > 0$ → punto minimo locale in (0, 0).

2. Esercizio con punto di sella:
   Considera la funzione f(x, y) = x^2 - y^2$f(x, y) = x^2 - y^2$.

   • Trova i punti critici.
   • Classifica i punti critici.

   Soluzione:

   • Derivate parziali: f_x = 2x$f_x = 2x$, f_y = -2y$f_y = -2y$.
   • Punti critici: (0, 0).
   • Derivate seconde: f_{xx} = 2$f_{xx} = 2$, f_{yy} = -2$f_{yy} = -2$, f_{xy} = 0$f_{xy} = 0$.
   • Determinante: D = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0$D = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0$ → punto di sella in (0, 0).

English version

Exercises on Maximum, Minimum and Saddle Points in Functions of Two Variables

The maximum, minimum and saddle points of functions of two variables are fundamental concepts in mathematical analysis, especially in the study of surfaces and multivariate functions. Here is an explanation of the main concepts and associated exercises.

Main Concepts

1. Function of two variables: A function f(x, y) is defined on a domain in the xy plane.

2. Critical points: A point (x_0, y_0)$(x_0, y_0)$ is a critical point if the first partial derivatives of the function vanish at that point:

f_x(x_0, y_0) = 0 \quad \text{e} \quad f_y(x_0, y_0) = 0

$$f_x(x_0, y_0) = 0 \quad \text{e} \quad f_y(x_0, y_0) = 0$$

where f_x$f_x$ and f_y$f_y$ are the partial derivatives of f with respect to x and y.

3. Second derivative test: To classify the critical points, the determinant of the Hessian matrix H is used:

H = \begin{bmatrix}
f_{xx} & f_{xy} \\
f_{yx} & f_{yy}
\end{bmatrix}

$$H = \begin{bmatrix} f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy} \end{bmatrix}$$

where f_{xx}, f_{yy}$f_{xx}, f_{yy}$ are the second derivatives and f_{xy} = f_{yx}$f_{xy} = f_{yx}$ is the mixed derivative.

• Calculate the determinant D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$D = f_{xx} f_{yy} - (f_{xy})^2$.
• Classification:
• If D > 0 and f_{xx} > 0$f_{xx} > 0$: local minimum point.
• If D > 0 and f_{xx} < 0$f_{xx} < 0$: local maximum point.
• If D < 0: saddle point.
• If D = 0: the test is inconclusive.

Exercises

1. Basic exercise:
   Consider the function f(x, y) = x^2 + y^2$f(x, y) = x^2 + y^2$.

• Find the critical points.
• Classify the critical points using the second derivative test.

Solution:

• Partial derivatives: f_x = 2x, f_y = 2y$f_x = 2x, f_y = 2y$.
• Critical points: (0, 0).
• Second derivatives: f_{xx} = 2$f_{xx} = 2$, f_{yy} = 2$f_{yy} = 2$, f_{xy} = 0$f_{xy} = 0$.
• Determinant: D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$D = 2 \cdot 2 - 0^2 = 4 > 0$ and f_{xx} = 2 > 0$f_{xx} = 2 > 0$ → local minimum point at (0, 0).

2. Saddle point exercise:
   Consider the function f(x, y) = x^2 - y^2$f(x, y) = x^2 - y^2$.

• Find the critical points.
• Classify the critical points.

Solution:

• Partial derivatives: f_x = 2x$f_x = 2x$, f_y = -2y$f_y = -2y$.
• Critical points: (0, 0).
• Second derivatives: f_{xx} = 2$f_{xx} = 2$, f_{yy} = -2$f_{yy} = -2$, f_{xy} = 0$f_{xy} = 0$.
• Determinant: D = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0$D = 2 \cdot (-2) - 0^2 = -4 < 0$ → saddle point at (0, 0).