Esercizi sui numeri complessi

Esercizi sui numeri complessi

Esercizi sui numeri complessi

Versione italiana

Esercizi sui numeri complessi

I numeri immaginari e i numeri complessi sono concetti fondamentali in matematica, specialmente nell'analisi e nell'algebra. Ecco una spiegazione dei concetti chiave seguita da alcuni esercizi pratici.

Concetti Chiave

1. Numero Immaginario: Un numero immaginario è un numero che può essere scritto come bi, dove b è un numero reale e i è l'unità immaginaria, definita come i = \sqrt{-1}$i = \sqrt{-1}$.

2. Numeri Complessi: Un numero complesso è una combinazione di un numero reale e un numero immaginario, scritto nella forma z = a + bi$z = a + bi$, dove a è la parte reale e b è la parte immaginaria.

3. Operazioni con i Numeri Complessi:

   • Somma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
   • Differenza: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
   • Prodotto: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i)$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i)$ (poiché i^2 = -1$i^2 = -1$)
   • Quoziente: Per dividere due numeri complessi, moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

     \frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

     $$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$$

4. Coniugato di un Numero Complesso: Il coniugato di un numero complesso z = a + bi$z = a + bi$ è \overline{z} = a - bi$\overline{z} = a - bi$. Il prodotto di un numero complesso e il suo coniugato è un numero reale: z \overline{z} = a^2 + b^2$z \overline{z} = a^2 + b^2$.

5. Modulo di un Numero Complesso: Il modulo di un numero complesso z = a + bi$z = a + bi$ è dato da |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Esercizi

Esercizio 1: Somma di Numeri Complessi

Calcola la somma dei numeri complessi z_1 = 3 + 4i$z_1 = 3 + 4i$ e z_2 = 1 - 2i$z_2 = 1 - 2i$.

Soluzione:

z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4 - 2)i = 4 + 2i

$$z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4 - 2)i = 4 + 2i$$

Esercizio 2: Prodotto di Numeri Complessi

Calcola il prodotto dei numeri complessi z_1 = 2 + 3i$z_1 = 2 + 3i$ e z_2 = 1 + 4i$z_2 = 1 + 4i$.

Soluzione:

z_1 z_2 = (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i

$$z_1 z_2 = (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i$$

= 2 + 8i + 3i + 12(-1) = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i

$$= 2 + 8i + 3i + 12(-1) = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i$$

Esercizio 3: Divisione di Numeri Complessi

Calcola il quoziente \frac{3 + 2i}{1 - i}$\frac{3 + 2i}{1 - i}$.

Soluzione:
Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore:

\frac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i - 2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 5i}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

$$\frac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i - 2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 5i}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$$

Esercizio 4: Modulo e Coniugato

Trova il modulo e il coniugato del numero complesso z = 4 - 3i$z = 4 - 3i$.

Soluzione:

1. Coniugato:
   Il coniugato di z = 4 - 3i$z = 4 - 3i$ è dato da:

   \overline{z} = 4 + 3i

   $$\overline{z} = 4 + 3i$$

2. Modulo:
   Il modulo di |z|$|z|$ è calcolato come:

   |z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

   $$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

Quindi, il coniugato di z è 4 + 3i e il modulo è 5.

Esercizio 5: Risoluzione di un'equazione con numeri complessi

Risolvi l'equazione z^2 + 4z + 8 = 0$z^2 + 4z + 8 = 0$.

Soluzione:
Utilizziamo la formula quadratica z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, dove a = 1 ), b = 4, e c = 8.

1. Calcoliamo il discriminante:

   b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16

   $$b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$$

2. Poiché il discriminante è negativo, le soluzioni saranno numeri complessi:

   z = \frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i

   $$z = \frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i$$

Le soluzioni dell'equazione sono quindi z_1 = -2 + 2i$z_1 = -2 + 2i$ e z_2 = -2 - 2i$z_2 = -2 - 2i$.

Esercizio 6: Forma Trigonometrica di un Numero Complesso

Converti il numero complesso z = 1 + \sqrt{3}i$z = 1 + \sqrt{3}i$ nella forma trigonometrica.

Soluzione:

1. Calcola il modulo:

   |z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2

   $$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

2. Calcola l'argomento:

   \theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{parte immaginaria}}{\text{parte reale}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}

   $$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{parte immaginaria}}{\text{parte reale}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$$

3. Forma trigonometrica:
   La forma trigonometrica di z è:

   z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\right)

   $$z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\left(\cos\frac{\pi}{3} + i \sin\frac{\pi}{3}\right)$$

English version

Complex Number Exercises

Imaginary numbers and complex numbers are fundamental concepts in mathematics, especially in analysis and algebra. Here is an explanation of the key concepts followed by some practical exercises.

Key Concepts

1. Imaginary Number: An imaginary number is a number that can be written as bi, where b is a real number and i is the imaginary unit, defined as i = \sqrt{-1}$i = \sqrt{-1}$.

2. Complex Numbers: A complex number is a combination of a real number and an imaginary number, written in the form z = a + bi$z = a + bi$, where a is the real part and b is the imaginary part.

3. Operations with Complex Numbers:

• Sum: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$
• Difference: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$
• Product: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i)$(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i)$ (since i^2 = -1$i^2 = -1$)
• Quotient: To divide two complex numbers, we multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator:

\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}

$$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{c^2 + d^2} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$$

4. Conjugate of a Complex Number: The conjugate of a complex number z = a + bi$z = a + bi$ is \overline{z} = a - bi$\overline{z} = a - bi$. The product of a complex number and its conjugate is a real number: z \overline{z} = a^2 + b^2$z \overline{z} = a^2 + b^2$.

5. Module of a Complex Number: The modulus of a complex number z = a + bi$z = a + bi$ is given by |z| = \sqrt{a^2 + b^2}$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$.

Exercises

Exercise 1: Sum of Complex Numbers

Calculate the sum of the complex numbers z_1 = 3 + 4i$z_1 = 3 + 4i$ and z_2 = 1 - 2i$z_2 = 1 - 2i$.

Solution:

z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4 - 2)i = 4 + 2i

$$z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 - 2i) = (3 + 1) + (4 - 2)i = 4 + 2i$$

Exercise 2: Product of Complex Numbers

Calculate the product of the complex numbers z_1 = 2 + 3i$z_1 = 2 + 3i$ and z_2 = 1 + 4i$z_2 = 1 + 4i$.

Solution:

z_1 z_2 = (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i

$$z_1 z_2 = (2 + 3i)(1 + 4i) = 2 \cdot 1 + 2 \cdot 4i + 3i \cdot 1 + 3i \cdot 4i$$

= 2 + 8i + 3i + 12(-1) = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i

$$= 2 + 8i + 3i + 12(-1) = 2 + 11i - 12 = -10 + 11i$$

Exercise 3: Division of Complex Numbers

Calculate the quotient \frac{3 + 2i}{1 - i}$\frac{3 + 2i}{1 - i}$.

Solution:
We multiply the numerator and denominator by the conjugate of the denominator:

\frac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i - 2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 5i}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i

$$\frac{3 + 2i}{1 - i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 2i)(1 + i)}{(1 - i)(1 + i)} = \frac{3 + 3i + 2i - 2}{1^2 - i^2} = \frac{1 + 5i}{1 + 1} = \frac{1 + 5i}{2} = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}i$$

Exercise 4: Modulus and Conjugate

Find the modulus and conjugate of the complex number z = 4 - 3i$z = 4 - 3i$.

Solution:

1. Conjugate:
   The conjugate of z = 4 - 3i$z = 4 - 3i$ is given by:

\overline{z} = 4 + 3i

$$\overline{z} = 4 + 3i$$

2. Module:
   The modulus of |z|$|z|$ is calculated as:

|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

$$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$$

So, the conjugate of z is 4 + 3i and the modulus is 5.

Exercise 5: Solving an equation with complex numbers

Solve the equation z^2 + 4z + 8 = 0$z^2 + 4z + 8 = 0$.

Solution:
We use the quadratic formula z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$, where a = 1 ), b = 4, and c = 8.

1. We calculate the discriminant:

b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16

$$b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 16 - 32 = -16$$

2. Since the discriminant is negative, the solutions will be complex numbers:

z = \frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i

$$z = \frac{-4 \pm \sqrt{-16}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm 4i}{2} = -2 \pm 2i$$

The solutions of the equation are therefore z_1 = -2 + 2i$z_1 = -2 + 2i$ and z_2 = -2 - 2i$z_2 = -2 - 2i$.

Exercise 6: Trigonometric Form of a Complex Number

Convert the complex number z = 1 + \sqrt{3}i$z = 1 + \sqrt{3}i$ into the trigonometric form.

Solution:

1. Calculate the modulus:

|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2

$$|z| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$$

2. Calculate the argument:

\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{imaginary part}}{\text{real part}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}

$$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{\text{imaginary part}}{\text{real part}}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$$

3. Trigonometric form:
   The trigonometric form of z is:

z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)

$$z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = 2\left(\cos \frac{\pi}{3} + i \sin \frac{\pi}{3}\right)$$