Esercizi sui Modelli di Large Eddy Simulation (LES)

Esercizi sui Modelli di Large Eddy Simulation (LES)

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Versione italiana

Esercizi sui Modelli di Large Eddy Simulation (LES)

Modelli di Large Eddy Simulation (LES)

La Large Eddy Simulation (LES) è una tecnica di simulazione numerica utilizzata per modellare il flusso turbolento. A differenza dei modelli di simulazione più semplici, come i modelli RANS (Reynolds-Averaged Navier-Stokes), la LES si concentra sulla risoluzione esplicita delle grandi strutture turbolente, mentre le piccole scale vengono modellate.

Concetti Chiave

1. Flusso Turbolento: Un flusso caratterizzato da movimenti irregolari e caotici. Le turbolenze possono essere descritte da scale di grandezza variabile, dove le grandi strutture sono più influenti sul comportamento del flusso.

2. Decomposizione di Reynolds: La decomposizione del campo di velocità in una componente media e una fluttuante:
   \mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}' $\mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}'$
   dove \overline{\mathbf{u}}$\overline{\mathbf{u}}$ è la velocità media e \mathbf{u}'$\mathbf{u}'$ è la fluttuazione.

3. Equazioni di Navier-Stokes: Le equazioni fondamentali che governano il moto dei fluidi. Nella LES, queste equazioni vengono risolte per le grandi scale, mentre le piccole scale sono modellate.

4. Modello di Smagorinsky: Un modello comunemente usato nella LES per rappresentare gli effetti delle piccole scale turbolente. La viscosità turbolenta è data da:
   \nu_t = (C_s \Delta)^2 |\mathbf{S}| $\nu_t = (C_s \Delta)^2 |\mathbf{S}|$
   dove C_s$C_s$ è una costante empirica, \Delta$\Delta$ è la dimensione del filtro e |\mathbf{S}|$|\mathbf{S}|$ è il tasso di deformazione.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo della Viscosità Turbulenta

Problema: In un flusso turbolento, la dimensione del filtro è \Delta = 0.1 \, \text{m}$\Delta = 0.1 \, \text{m}$ e il tasso di deformazione è |\mathbf{S}| = 50 \, \text{s}^{-1}$|\mathbf{S}| = 50 \, \text{s}^{-1}$. Se la costante empirica C_s = 0.1$C_s = 0.1$, calcola la viscosità turbolenta \nu_t$\nu_t$.

Soluzione:
Utilizzando la formula del modello di Smagorinsky:
\nu_t = (C_s \Delta)^2 |\mathbf{S}| $\nu_t = (C_s \Delta)^2 |\mathbf{S}|$
Sostituendo i valori:
\nu_t = (0.1 \cdot 0.1)^2 \cdot 50 = 0.0001 \cdot 50 = 0.005 \, \text{m}^2/\text{s} $\nu_t = (0.1 \cdot 0.1)^2 \cdot 50 = 0.0001 \cdot 50 = 0.005 \, \text{m}^2/\text{s}$

Esercizio 2: Decomposizione di Reynolds

Problema: Considera un campo di velocità in un flusso turbolento descritto da \mathbf{u} = (u, v, w)$\mathbf{u} = (u, v, w)$. Se la velocità media è \overline{\mathbf{u}} = (2, 1, 0) \, \text{m/s}$\overline{\mathbf{u}} = (2, 1, 0) \, \text{m/s}$, calcola le fluttuazioni \mathbf{u}'$\mathbf{u}'$ se la velocità istantanea è \mathbf{u} = (3, 2, 1) \, \text{m/s}$\mathbf{u} = (3, 2, 1) \, \text{m/s}$.

Soluzione:
Utilizzando la decomposizione di Reynolds:
\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \overline{\mathbf{u}} $\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \overline{\mathbf{u}}$
Sostituendo i valori:
\mathbf{u}' = (3, 2, 1) - (2, 1, 0) = (1, 1, 1) \, \text{m/s} $\mathbf{u}' = (3, 2, 1) - (2, 1, 0) = (1, 1, 1) \, \text{m/s}$

Esercizio 3: Simulazione di Flusso Turbolento (continuazione)

Problema: In una simulazione LES, si desidera analizzare un flusso turbolento in un condotto. Se la dimensione del dominio di simulazione è L_x = 1 \, \text{m}$L_x = 1 \, \text{m}$, L_y = 0.1 \, \text{m}$L_y = 0.1 \, \text{m}$ e L_z = 0.1 \, \text{m}$L_z = 0.1 \, \text{m}$, calcola il numero di celle necessarie per una risoluzione di \Delta = 0.01 \, \text{m}$\Delta = 0.01 \, \text{m}$.

Soluzione:
Il numero di celle in ciascuna direzione può essere calcolato come:
N_x = \frac{L_x}{\Delta}, \quad N_y = \frac{L_y}{\Delta}, \quad N_z = \frac{L_z}{\Delta} $N_x = \frac{L_x}{\Delta}, \quad N_y = \frac{L_y}{\Delta}, \quad N_z = \frac{L_z}{\Delta}$

Sostituendo i valori:

• \Delta = 0.01 \, \text{m}$\Delta = 0.01 \, \text{m}$

Calcoliamo:
N_x = \frac{1}{0.01} = 100 $N_x = \frac{1}{0.01} = 100$
N_y = \frac{0.1}{0.01} = 10 $N_y = \frac{0.1}{0.01} = 10$
N_z = \frac{0.1}{0.01} = 10 $N_z = \frac{0.1}{0.01} = 10$

Il numero totale di celle nel dominio di simulazione è quindi:
N_{\text{totale}} = N_x \cdot N_y \cdot N_z = 100 \cdot 10 \cdot 10 = 10000 $N_{\text{totale}} = N_x \cdot N_y \cdot N_z = 100 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

Esercizio 4: Analisi della Stabilità di una Simulazione LES

Problema: Durante una simulazione LES, si osserva che il flusso diventa instabile. Se la viscosità turbolenta calcolata è \nu_t = 0.005 \, \text{m}^2/\text{s}$\nu_t = 0.005 \, \text{m}^2/\text{s}$ e la viscosità cinetica del fluido è \nu = 0.001 \, \text{m}^2/\text{s}$\nu = 0.001 \, \text{m}^2/\text{s}$, calcola il numero di Reynolds per il flusso.

Soluzione:
Il numero di Reynolds Re$Re$ è dato dalla formula:
Re = \frac{UL}{\nu} $Re = \frac{UL}{\nu}$
dove:

• U$U$ è la velocità caratteristica del flusso,
• L$L$ è una lunghezza caratteristica (ad esempio, il diametro del tubo).

Assumiamo che la velocità caratteristica sia U = 1 \, \text{m/s}$U = 1 \, \text{m/s}$ e la lunghezza caratteristica sia L = 0.1 \, \text{m}$L = 0.1 \, \text{m}$. Sostituendo i valori:
Re = \frac{1 \cdot 0.1}{0.001} = 100 $Re = \frac{1 \cdot 0.1}{0.001} = 100$

Esercizio 5: Confronto tra RANS e LES

Problema: Un ingegnere deve scegliere tra un modello RANS e un modello LES per simulare un flusso turbolento in un condotto. Se il flusso ha una velocità media di \overline{u} = 2 \, \text{m/s}$\overline{u} = 2 \, \text{m/s}$ e una viscosità cinetica di \nu = 0.001 \, \text{m}^2/\text{s}$\nu = 0.001 \, \text{m}^2/\text{s}$, discuti i vantaggi e gli svantaggi di ciascun approccio.

Soluzione:

• Modello RANS:

  • Vantaggi:
    • Meno costoso in termini computazionali.
    • Richiede meno risorse di calcolo e tempo di simulazione.
  • Svantaggi:
    • Non cattura le fluttuazioni turbolente in modo dettagliato.
    • Può non essere accurato per flussi altamente turbolenti o con strutture complesse.

• Modello LES:

  • Vantaggi:
    • Cattura le grandi strutture turbolente in modo più accurato.
    • Fornisce una rappresentazione più realistica del flusso.
  • Svantaggi:
    • Richiede un alto costo computazionale.
    • Necessita di una risoluzione spaziale fine, aumentando il tempo di simulazione.

English version

Large Eddy Simulation (LES) Model Exercises

Large Eddy Simulation (LES) Models

Large Eddy Simulation (LES) is a numerical simulation technique used to model turbulent flow. Unlike simpler simulation models, such as Reynolds-Averaged Navier-Stokes (RANS) models, LES focuses on explicitly resolving large turbulent structures, while small scales are modeled.

Key Concepts

1. Turbulent Flow: A flow characterized by irregular and chaotic motions. Turbulence can be described by variable scales, with large structures having a greater influence on the flow behavior.

2. Reynolds decomposition: The decomposition of the velocity field into a mean and a fluctuating component:
   \mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}' $\mathbf{u} = \overline{\mathbf{u}} + \mathbf{u}'$
   where \overline{\mathbf{u}}$\overline{\mathbf{u}}$ is the mean velocity and \mathbf{u}'$\mathbf{u}'$ is the fluctuation.

3. Navier-Stokes equations: The fundamental equations that govern the motion of fluids. In LES, these equations are solved for large scales, while small scales are modeled.

4. Smagorinsky model: A model commonly used in LES to represent the effects of small turbulent scales. The turbulent viscosity is given by:
   \nu_t = (C_s \Delta)^2 |\mathbf{S}| $\nu_t = (C_s \Delta)^2 |\mathbf{S}|$
   where C_s$C_s$ is an empirical constant, \Delta$\Delta$ is the filter size, and |\mathbf{S}|$|\mathbf{S}|$ is the strain rate.

Exercises

Exercise 1: Calculating Turbulent Viscosity

Problem: In a turbulent flow, the filter size is \Delta = 0.1 \, \text{m}$\Delta = 0.1 \, \text{m}$ and the strain rate is |\mathbf{S}| = 50 \, \text{s}^{-1}$|\mathbf{S}| = 50 \, \text{s}^{-1}$. If the empirical constant C_s = 0.1$C_s = 0.1$, calculate the turbulent viscosity \nu_t$\nu_t$.

Solution:
Using the Smagorinsky model formula:
\nu_t = (C_s \Delta)^2 |\mathbf{S}| $\nu_t = (C_s \Delta)^2 |\mathbf{S}|$
Substituting the values:
\nu_t = (0.1 \cdot 0.1)^2 \cdot 50 = 0.0001 \cdot 50 = 0.005 \, \text{m}^2/\text{s} $\nu_t = (0.1 \cdot 0.1)^2 \cdot 50 = 0.0001 \cdot 50 = 0.005 \, \text{m}^2/\text{s}$

Exercise 2: Reynolds Decomposition

Problem: Consider a velocity field in a turbulent flow described by \mathbf{u} = (u, v, w)$\mathbf{u} = (u, v, w)$. If the mean velocity is \overline{\mathbf{u}} = (2, 1, 0) \, \text{m/s}$\overline{\mathbf{u}} = (2, 1, 0) \, \text{m/s}$, compute the fluctuations \mathbf{u}'$\mathbf{u}'$ if the instantaneous velocity is \mathbf{u} = (3, 2, 1) \, \text{m/s}$\mathbf{u} = (3, 2, 1) \, \text{m/s}$.

Solution:
Using Reynolds decomposition:
\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \overline{\mathbf{u}} $\mathbf{u}' = \mathbf{u} - \overline{\mathbf{u}}$
Substituting the values:
\mathbf{u}' = (3, 2, 1) - (2, 1, 0) = (1, 1, 1) \, \text{m/s} $\mathbf{u}' = (3, 2, 1) - (2, 1, 0) = (1, 1, 1) \, \text{m/s}$

Exercise 3: Turbulent Flow Simulation (continued)

Problem: In a LES simulation, you want to analyze a turbulent flow in a duct. If the simulation domain size is L_x = 1 \, \text{m}$L_x = 1 \, \text{m}$, L_y = 0.1 \, \text{m}$L_y = 0.1 \, \text{m}$ and L_z = 0.1 \, \text{m}$L_z = 0.1 \, \text{m}$, calculate the number of cells needed for a resolution of \Delta = 0.01 \, \text{m}$\Delta = 0.01 \, \text{m}$.

Solution:
The number of cells in each direction can be calculated as:
N_x = \frac{L_x}{\Delta}, \quad N_y = \frac{L_y}{\Delta}, \quad N_z = \frac{L_z}{\Delta} $N_x = \frac{L_x}{\Delta}, \quad N_y = \frac{L_y}{\Delta}, \quad N_z = \frac{L_z}{\Delta}$

Substituting the values:

• \Delta = 0.01 \, \text{m}$\Delta = 0.01 \, \text{m}$

We calculate:
N_x = \frac{1}{0.01} = 100 $N_x = \frac{1}{0.01} = 100$
N_y = \frac{0.1}{0.01} = 10 $N_y = \frac{0.1}{0.01} = 10$
N_z = \frac{0.1}{0.01} = 10 $N_z = \frac{0.1}{0.01} = 10$

The total number of cells in the simulation domain is then:
N_{\text{total}} = N_x \cdot N_y \cdot N_z = 100 \cdot 10 \cdot 10 = 10000 $N_{\text{total}} = N_x \cdot N_y \cdot N_z = 100 \cdot 10 \cdot 10 = 10000$

Exercise 4: Stability Analysis of a LES Simulation

Problem: During a LES simulation, it is observed that the flow becomes unstable. If the calculated turbulent viscosity is \nu_t = 0.005 \, \text{m}^2/\text{s}$\nu_t = 0.005 \, \text{m}^2/\text{s}$ and the kinetic viscosity of the fluid is \nu = 0.001 \, \text{m}^2/\text{s}$\nu = 0.001 \, \text{m}^2/\text{s}$, calculate the Reynolds number for the flow.

Solution:
The Reynolds number Re$Re$ is given by the formula:
Re = \frac{UL}{\nu} $Re = \frac{UL}{\nu}$
where:

• U$U$ is the characteristic velocity of the flow,
• L$L$ is a characteristic length (for example, the diameter of the pipe).

Assume that the characteristic velocity is U = 1 \, \text{m/s}$U = 1 \, \text{m/s}$ and the characteristic length is L = 0.1 \, \text{m}$L = 0.1 \, \text{m}$. Substituting the values:
Re = \frac{1 \cdot 0.1}{0.001} = 100 $Re = \frac{1 \cdot 0.1}{0.001} = 100$

Exercise 5: Comparison of RANS and LES

Problem: An engineer must choose between a RANS model and a LES model to simulate turbulent flow in a duct. If the flow has an average velocity of \overline{u} = 2 \, \text{m/s}$\overline{u} = 2 \, \text{m/s}$ and a kinetic viscosity of \nu = 0.001 \, \text{m}^2/\text{s}$\nu = 0.001 \, \text{m}^2/\text{s}$, discuss the advantages and disadvantages of each approach.

Solution:

• RANS model:

  • Advantages:
    • Less computationally expensive.
    • Requires less computational resources and simulation time.
  • Disadvantages:
    • Does not capture turbulent fluctuations in detail.
    • May not be accurate for highly turbulent flows or flows with complex structures.

• LES model:

  • Advantages:
    • Captures large turbulent structures more accurately
    • It requires a high computational cost
    • It requires a fine spatial resolution, increasing the simulation time.