Esercizi sui Limitatori

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Versione italiana

Esercizi sui Limitatori

Concetti Chiave

1. Definizione di Limitatori

Un limitatore è una funzione che restringe il valore di un'altra funzione a un intervallo specifico. In termini matematici, un limitatore può essere definito come:

L(x) = \begin{cases} a & \text{se } x < a \\ x & \text{se } a \leq x \leq b \\ b & \text{se } x > b \end{cases} $L(x) = \begin{cases} a & \text{se } x < a \\ x & \text{se } a \leq x \leq b \\ b & \text{se } x > b \end{cases}$

dove $ a $ e $ b $ sono i limiti inferiori e superiori, rispettivamente.

2. Tipi di Limitatori

• Limitatore Inferiore: Impedisce che il valore scenda al di sotto di un certo valore a$a$.
• Limitatore Superiore: Impedisce che il valore superi un certo valore b$b$.

Esercizi

Esercizio 1: Limitatore Inferiore

Definisci un limitatore inferiore per la funzione f(x) = x^2 - 4$f(x) = x^2 - 4$ con un limite di a = 0$a = 0$.

Soluzione:
Il limitatore inferiore sarà:

L(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - 4 & \text{se } 0 \leq x^2 - 4 \end{cases} $L(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - 4 & \text{se } 0 \leq x^2 - 4 \end{cases}$

Esercizio 2: Limitatore Superiore

Definisci un limitatore superiore per la funzione g(x) = 3x + 1$g(x) = 3x + 1$ con un limite di b = 5$b = 5$.

Soluzione:
Il limitatore superiore sarà:

L(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{se } 3x + 1 < 5 \\ 5 & \text{se } 3x + 1 \geq 5 \end{cases} $L(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{se } 3x + 1 < 5 \\ 5 & \text{se } 3x + 1 \geq 5 \end{cases}$

Esercizio 3: Limitatore Combinato

Definisci un limitatore combinato per la funzione h(x) = x - 2$h(x) = x - 2$ con limiti a = 1$a = 1$ e b = 4$b = 4$.

Soluzione:
Il limitatore combinato sarà:

L(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x - 2 < 1 \\ x - 2 & \text{se } 1 \leq x - 2 \leq 4 \\ 4 & \text{se } x - 2 > 4 \end{cases} $L(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x - 2 < 1 \\ x - 2 & \text{se } 1 \leq x - 2 \leq 4 \\ 4 & \text{se } x - 2 > 4 \end{cases}$

English version

Limiter Exercises

Key Concepts

1. Limiter Definition

A limiter is a function that restricts the value of another function to a specific range. In mathematical terms, a limiter can be defined as:

L(x) = \begin{cases} a & \text{if } x < a \\ x & \text{if } a \leq x \leq b \\ b & \text{if } x > b \end{cases} $L(x) = \begin{cases} a & \text{if } x < a \\ x & \text{if } a \leq x \leq b \\ b & \text{if } x > b \end{cases}$

where $ a $ and $ b $ are the lower and upper bounds, respectively.

2. Types of Limiters

• Lower Limiter: Prevents the value from falling below a certain value a$a$.
• Upper Limiter: Prevents the value from exceeding a certain value b$b$.

Exercises

Exercise 1: Lower Boundary

Define a lower bound for the function f(x) = x^2 - 4$f(x) = x^2 - 4$ with a bound of a = 0$a = 0$.

Solution:
The lower bound will be:

L(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - 4 & \text{if } 0 \leq x^2 - 4 \end{cases} $L(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x^2 - 4 < 0 \\ x^2 - 4 & \text{if } 0 \leq x^2 - 4 \end{cases}$

Exercise 2: Upper Boundary

Define an upper bound for the function g(x) = 3x + 1$g(x) = 3x + 1$ with a bound of b = 5$b = 5$.

Solution:
The upper bound will be:

L(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{if } 3x + 1 < 5 \\ 5 & \text{if } 3x + 1 \geq 5 \end{cases} $L(x) = \begin{cases} 3x + 1 & \text{if } 3x + 1 < 5 \\ 5 & \text{if } 3x + 1 \geq 5 \end{cases}$

Exercise 3: Combined Limiter

Define a combined limiter for the function h(x) = x - 2$h(x) = x - 2$ with limits a = 1$a = 1$ and b = 4$b = 4$.

Solution:
The combined limiter will be:

L(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x - 2 < 1 \\ x - 2 & \text{if } 1 \leq x - 2 \leq 4 \\ 4 & \text{if } x - 2 > 4 \end{cases} $L(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x - 2 < 1 \\ x - 2 & \text{if } 1 \leq x - 2 \leq 4 \\ 4 & \text{if } x - 2 > 4 \end{cases}$