Esercizi sui Fluidi Non Newtoniani

Esercizi sui Fluidi Non Newtoniani

+Esercizi sui Fluidi Non Newtoniani

Versione italiana

Esercizi sui Fluidi Non Newtoniani

Concetti Chiave

1. Fluido Non Newtoniano: Un fluido che non segue la legge di viscosità di Newton. La tensione di taglio non è proporzionale al gradiente di velocità. La viscosità può variare in base alla velocità di deformazione, alla storia del flusso o ad altri fattori.

2. Tipi di Fluidi Non Newtoniani:

   • Fluidi Pseudoplastici: La viscosità diminuisce con l'aumento della velocità di deformazione (es. vernici, sangue).
   • Fluidi Diluente: La viscosità aumenta con l'aumento della velocità di deformazione (es. alcune soluzioni di polimeri).
   • Fluidi Bingham: Richiedono una tensione di taglio minima per iniziare a fluire (es. dentifricio, cioccolato).
   • Fluidi Tixotropici: La viscosità diminuisce nel tempo sotto uno sforzo costante (es. alcune vernici).

3. Modello di Bingham: Per i fluidi Bingham, la relazione tra tensione di taglio e gradiente di velocità è data da:
   \tau = \tau_0 + \mu \frac{du}{dy} $\tau = \tau_0 + \mu \frac{du}{dy}$
   dove:

   • \tau_0$\tau_0$ = tensione di snervamento (Pa)
   • \mu$\mu$ = viscosità plastica (Pa·s)

4. Viscosità Apparente: Per i fluidi non newtoniani, la viscosità può essere definita come:
   \mu_{app} = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}} $\mu_{app} = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}}$

Esercizio 1: Calcolo della Viscosità di un Fluido Pseudoplastico

Problema

Un fluido pseudoplastico ha una tensione di taglio di \tau = 0.4 \, \text{Pa}$\tau = 0.4 \, \text{Pa}$ e un gradiente di velocità di \frac{du}{dy} = 50 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 50 \, \text{s}^{-1}$. Calcola la viscosità apparente \mu_{app}$\mu_{app}$ del fluido.

Soluzione

1. Usa la definizione di viscosità apparente:
   \mu_{app} = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}} $\mu_{app} = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}}$

2. Calcola \mu_{app}$\mu_{app}$:
   \mu_{app} = \frac{0.4}{50} = 0.008 \, \text{Pa*s} $\mu_{app} = \frac{0.4}{50} = 0.008 \, \text{Pa*s}$

3. Conclusione: La viscosità apparente del fluido è 0.008 \, \text{Pa*s}$0.008 \, \text{Pa*s}$.

Esercizio 2: Flusso di un Fluido Bingham

Problema

Un fluido Bingham ha una tensione di snervamento di \tau_0 = 0.3 \, \text{Pa}$\tau_0 = 0.3 \, \text{Pa}$ e una viscosità plastica di \mu = 0.1 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.1 \, \text{Pa*s}$. Se il gradiente di velocità è \frac{du}{dy} = 20 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 20 \, \text{s}^{-1}$, calcola la tensione di taglio \tau$\tau$.

Soluzione

1. Usa il modello di Bingham:
   \tau = \tau_0 + \mu \frac{du}{dy} $\tau = \tau_0 + \mu \frac{du}{dy}$

2. Calcola \tau$\tau$:
   \tau = 0.3 + 0.1 \times 20 $\tau = 0.3 + 0.1 \times 20$
   \tau = 0.3 + 2 = 2.3 \, \text{Pa} $\tau = 0.3 + 2 = 2.3 \, \text{Pa}$

3. Conclusione: La tensione di taglio del fluido Bingham è 2.3 \, \text{Pa}$2.3 \, \text{Pa}$.

Esercizio 3: Viscosità di un Fluido Tixotropico

Problema

Un fluido tixotropico ha una viscosità iniziale di \mu_0 = 0.05 \, \text{Pa*s}$\mu_0 = 0.05 \, \text{Pa*s}$ e una viscosità finale di \mu_f = 0.02 \, \text{Pa*s}$\mu_f = 0.02 \, \text{Pa*s}$ dopo un tempo di applicazione di uno sforzo costante. Se il tempo di applicazione è di t = 10 \, \text{s}$t = 10 \, \text{s}$, calcola la viscosità media \mu_{media}$\mu_{media}$ durante questo periodo.

Soluzione

1. Definisci la viscosità media:
   La viscosità media può essere calcolata come la media aritmetica delle viscosità iniziale e finale:
   \mu_{media} = \frac{\mu_0 + \mu_f}{2} $\mu_{media} = \frac{\mu_0 + \mu_f}{2}$

2. Calcola \mu_{media}$\mu_{media}$:
   \mu_{media} = \frac{0.05 + 0.02}{2} = \frac{0.07}{2} = 0.035 \, \text{Pa*s} $\mu_{media} = \frac{0.05 + 0.02}{2} = \frac{0.07}{2} = 0.035 \, \text{Pa*s}$

3. Conclusione: La viscosità media del fluido tixotropico durante il periodo di applicazione è 0.035 \, \text{Pa*s}$0.035 \, \text{Pa*s}$.

Esercizio 4: Flusso di un Fluido Diluente

Problema

Un fluido diluente ha una viscosità di \mu = 0.1 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.1 \, \text{Pa*s}$ a una velocità di deformazione di \frac{du}{dy} = 10 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 10 \, \text{s}^{-1}$. Se la viscosità aumenta a \mu = 0.15 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.15 \, \text{Pa*s}$ quando il gradiente di velocità aumenta a \frac{du}{dy} = 20 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 20 \, \text{s}^{-1}$, calcola il cambiamento della tensione di taglio \tau$\tau$.

Soluzione

1. Calcola la tensione di taglio iniziale:
   \tau_1 = \mu_1 \frac{du}{dy} = 0.1 \times 10 = 1.0 \, \text{Pa} $\tau_1 = \mu_1 \frac{du}{dy} = 0.1 \times 10 = 1.0 \, \text{Pa}$

2. Calcola la tensione di taglio finale:
   \tau_2 = \mu_2 \frac{du}{dy} = 0.15 \times 20 = 3.0 \, \text{Pa} $\tau_2 = \mu_2 \frac{du}{dy} = 0.15 \times 20 = 3.0 \, \text{Pa}$

3. Calcola il cambiamento della tensione di taglio:
   \Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 = 3.0 - 1.0 = 2.0 \, \text{Pa} $\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 = 3.0 - 1.0 = 2.0 \, \text{Pa}$

4. Conclusione: Il cambiamento della tensione di taglio è 2.0 \, \text{Pa}$2.0 \, \text{Pa}$.

English version

Non-Newtonian Fluid Exercises

Key Concepts

1. Non-Newtonian Fluid: A fluid that does not follow Newton's law of viscosity. The shear stress is not proportional to the velocity gradient. Viscosity can vary based on strain rate, flow history, or other factors.

2. Types of Non-Newtonian Fluids:

• Pseudoplastic Fluids: Viscosity decreases as strain rate increases (e.g., paint, blood).
• Thinner Fluids: Viscosity increases as strain rate increases (e.g., some polymer solutions).
• Bingham Fluids: Require a minimum shear stress to begin to flow (e.g., toothpaste, chocolate).
• Thixotropic Fluids: Viscosity decreases over time under constant stress (e.g., some paints).

3. Bingham Model: For Bingham fluids, the relationship between shear stress and velocity gradient is given by:
   \tau = \tau_0 + \mu \frac{du}{dy} $\tau = \tau_0 + \mu \frac{du}{dy}$
   where:

• \tau_0$\tau_0$ = yield stress (Pa)
• \mu$\mu$ = plastic viscosity (Pa s)

4. Apparent Viscosity: For non-Newtonian fluids, viscosity can be defined as:
   \mu_{app} = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}} $\mu_{app} = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}}$

Exercise 1: Calculating the Viscosity of a Pseudoplastic Fluid

Problem

A pseudoplastic fluid has a shear stress of \tau = 0.4 \, \text{Pa}$\tau = 0.4 \, \text{Pa}$ and a velocity gradient of \frac{du}{dy} = 50 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 50 \, \text{s}^{-1}$. Calculate the apparent viscosity \mu_{app}$\mu_{app}$ of the fluid.

Solution

1. Use the definition of apparent viscosity:
   \mu_{app} = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}} $\mu_{app} = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}}$

2. Calculate \mu_{app}$\mu_{app}$:
   \mu_{app} = \frac{0.4}{50} = 0.008 \, \text{Pa*s} $\mu_{app} = \frac{0.4}{50} = 0.008 \, \text{Pa*s}$

3. Conclusion: The apparent viscosity of the fluid is 0.008 \, \text{Pa*s}$0.008 \, \text{Pa*s}$.

Exercise 2: Flow of a Bingham Fluid

Problem

A Bingham fluid has a yield stress of \tau_0 = 0.3 \, \text{Pa}$\tau_0 = 0.3 \, \text{Pa}$ and a plastic viscosity of \mu = 0.1 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.1 \, \text{Pa*s}$. If the velocity gradient is \frac{du}{dy} = 20 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 20 \, \text{s}^{-1}$, calculate the shear stress \tau$\tau$.

Solution

1. Use the Bingham model:
   \tau = \tau_0 + \mu \frac{du}{dy} $\tau = \tau_0 + \mu \frac{du}{dy}$

2. Calculate \tau$\tau$:
   \tau = 0.3 + 0.1 \times 20 $\tau = 0.3 + 0.1 \times 20$
   \tau = 0.3 + 2 = 2.3 \, \text{Pa} $\tau = 0.3 + 2 = 2.3 \, \text{Pa}$

3. Conclusion: The shear stress of the Bingham fluid is 2.3 \, \text{Pa}$2.3 \, \text{Pa}$.

Exercise 3: Viscosity of a Thixotropic Fluid

Problem

A thixotropic fluid has an initial viscosity of \mu_0 = 0.05 \, \text{Pa*s}$\mu_0 = 0.05 \, \text{Pa*s}$ and a final viscosity of \mu_f = 0.02 \, \text{Pa*s}$\mu_f = 0.02 \, \text{Pa*s}$ after a time of applying a constant stress. If the application time is t = 10 \, \text{s}$t = 10 \, \text{s}$, calculate the average viscosity \mu_{average}$\mu_{average}$ during this period.

Solution

1. Define the average viscosity:
   The average viscosity can be calculated as the arithmetic mean of the initial and final viscosities:
   \mu_{average} = \frac{\mu_0 + \mu_f}{2} $\mu_{average} = \frac{\mu_0 + \mu_f}{2}$

2. Calculate \mu_{average}$\mu_{average}$:
   \mu_{average} = \frac{0.05 + 0.02}{2} = \frac{0.07}{2} = 0.035 \, \text{Pa*s} $\mu_{average} = \frac{0.05 + 0.02}{2} = \frac{0.07}{2} = 0.035 \, \text{Pa*s}$

3. Conclusion: The average viscosity of the thixotropic fluid during the application period is 0.035 \, \text{Pa*s}$0.035 \, \text{Pa*s}$.

Exercise 4: Flow of a Diluent Fluid

Problem

A diluent fluid has a viscosity of \mu = 0.1 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.1 \, \text{Pa*s}$ at a strain rate of \frac{du}{dy} = 10 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 10 \, \text{s}^{-1}$. If the viscosity increases to \mu = 0.15 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.15 \, \text{Pa*s}$ when the velocity gradient increases to \frac{du}{dy} = 20 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 20 \, \text{s}^{-1}$, calculate the change in shear stress \tau$\tau$.

Solution

1. Calculate the initial shear stress:
   \tau_1 = \mu_1 \frac{du}{dy} = 0.1 \times 10 = 1.0 \, \text{Pa} $\tau_1 = \mu_1 \frac{du}{dy} = 0.1 \times 10 = 1.0 \, \text{Pa}$

2. Calculate the final shear stress:
   \tau_2 = \mu_2 \frac{du}{dy} = 0.15 \times 20 = 3.0 \, \text{Pa} $\tau_2 = \mu_2 \frac{du}{dy} = 0.15 \times 20 = 3.0 \, \text{Pa}$

3. Calculate the change in shear stress:
   \Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 = 3.0 - 1.0 = 2.0 \, \text{Pa} $\Delta \tau = \tau_2 - \tau_1 = 3.0 - 1.0 = 2.0 \, \text{Pa}$

4. Conclusion: The change in shear stress is 2.0 \, \text{Pa}$2.0 \, \text{Pa}$.