Esercizi sui Fluidi Newtoniani

Esercizi sui Fluidi Newtoniani

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Versione italiana

Esercizi sui Fluidi Newtoniani

Concetti Chiave

1. Fluido Newtoniano: Un fluido che segue la legge di viscosità di Newton, in cui la tensione di taglio \tau$\tau$ è proporzionale al gradiente di velocità \frac{du}{dy}$\frac{du}{dy}$:
   \tau = \mu \frac{du}{dy} $\tau = \mu \frac{du}{dy}$
   dove:

   • \tau$\tau$ = tensione di taglio (Pa)
   • \mu$\mu$ = viscosità dinamica (Pa·s)
   • \frac{du}{dy}$\frac{du}{dy}$ = gradiente di velocità (s⁻¹)

2. Viscosità: Una misura della resistenza di un fluido al flusso. I fluidi newtoniani hanno una viscosità costante indipendentemente dalla velocità di deformazione.

3. Flusso Laminar: Un tipo di flusso in cui le particelle di fluido si muovono in strati paralleli senza mescolarsi. Si verifica a basse velocità e in fluidi con alta viscosità.

4. Numero di Reynolds (Re): Un parametro adimensionale che determina il regime di flusso. È definito come:
   Re = \frac{\rho v L}{\mu} $Re = \frac{\rho v L}{\mu}$
   dove:

   • \rho$\rho$ = densità del fluido (kg/m³)

   • v$v$ = velocità del fluido (m/s)

   • L$L$ = lunghezza caratteristica (m)

   • \mu$\mu$ = viscosità dinamica del fluido (Pa·s)

   • Se Re < 2000$Re < 2000$, il flusso è laminare.

   • Se Re > 4000$Re > 4000$, il flusso è turbolento.

Esercizio 1: Calcolo della Viscosità

Problema

Un fluido newtoniano ha una tensione di taglio di \tau = 0.5 \, \text{Pa}$\tau = 0.5 \, \text{Pa}$ e un gradiente di velocità di \frac{du}{dy} = 100 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 100 \, \text{s}^{-1}$. Calcola la viscosità \mu$\mu$ del fluido.

Soluzione

1. Usa la legge di viscosità di Newton:
   \tau = \mu \frac{du}{dy} $\tau = \mu \frac{du}{dy}$

2. Isola \mu$\mu$:
   \mu = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}} $\mu = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}}$

3. Calcola \mu$\mu$:
   \mu = \frac{0.5}{100} = 0.005 \, \text{Pa*s} $\mu = \frac{0.5}{100} = 0.005 \, \text{Pa*s}$

4. Conclusione: La viscosità del fluido è 0.005 \, \text{Pa*s}$0.005 \, \text{Pa*s}$.

Esercizio 2: Flusso in un Tubo Circolare

Problema

Un fluido newtoniano scorre attraverso un tubo di raggio r = 0.01 \, \text{m}$r = 0.01 \, \text{m}$ con una differenza di pressione di \Delta P = 200 \, \text{Pa}$\Delta P = 200 \, \text{Pa}$ su una lunghezza di L = 1 \, \text{m}$L = 1 \, \text{m}$. La viscosità del fluido è \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$. Calcola la portata volumetrica Q$Q$ del fluido.

Soluzione

1. Usa la legge di Poiseuille:
   Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \mu L} $Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \mu L}$

2. Calcola Q$Q$:
   Q = \frac{\pi (0.01)^4 (200)}{8 \times 0.001 \times 1} $Q = \frac{\pi (0.01)^4 (200)}{8 \times 0.001 \times 1}$
   Q = \frac{\pi \times 1 \times 10^{-8} \times 200}{0.008} $Q = \frac{\pi \times 1 \times 10^{-8} \times 200}{0.008}$
   Q = \frac{6.2832 \times 10^{-6}}{0.008} \approx 7.85 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s} $Q = \frac{6.2832 \times 10^{-6}}{0.008} \approx 7.85 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s}$

3. Conclusione: La portata volumetrica del fluido è di circa 0.785 \, \text{L/s}$0.785 \, \text{L/s}$.

Esercizio 3: Calcolo del Numero di Reynolds

Problema

Un fluido newtoniano con densità \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ scorre attraverso un tubo di raggio r = 0.005 \, \text{m}$r = 0.005 \, \text{m}$ a una velocità v = 1 \, \text{m/s}$v = 1 \, \text{m/s}$. La viscosità del fluido è \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$. Calcola il numero di Reynolds Re$Re$ e determina se il flusso è laminare o turbolento.

Soluzione

1. Calcola la lunghezza caratteristica:
   L = 2r = 2 \times 0.005 = 0.01 \, \text{m} $L = 2r = 2 \times 0.005 = 0.01 \, \text{m}$

2. Calcola il numero di Reynolds:
   Re = \frac{\rho v D}{\mu} $Re = \frac{\rho v D}{\mu}$
   dove D = 2r = 0.01 \, \text{m}$D = 2r = 0.01 \, \text{m}$:
   Re = \frac{1000 \times 1 \times 0.01}{0.001} = 10000 $Re = \frac{1000 \times 1 \times 0.01}{0.001} = 10000$

3. Conclusione: Poiché Re > 4000$Re > 4000$, il flusso è turbolento.

Esercizio 4: Flusso in un Canale Pianeggiante

Problema

Un fluido newtoniano scorre in un canale pianeggiante con una pendenza di 5^\circ$5^\circ$. La densità del fluido è \rho = 950 \, \text{kg/m}^3$\rho = 950 \, \text{kg/m}^3$ e la viscosità è \mu = 0.002 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.002 \, \text{Pa*s}$. Determina l'effetto della gravità sul flusso, considerando che la forza di gravità agisce lungo la direzione del flusso.

Soluzione

1. Calcola la forza di gravità per unità di volume:
   f = \rho g \sin(\theta) $f = \rho g \sin(\theta)$
   dove g = 9.81 \, \text{m/s}^2$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ e \theta = 5^\circ$\theta = 5^\circ$:
   f = 950 \times 9.81 \times \sin(5^\circ) $f = 950 \times 9.81 \times \sin(5^\circ)$
   f = 950 \times 9.81 \times 0.0872 \approx 81.1 \, \text{N/m}^3 $f = 950 \times 9.81 \times 0.0872 \approx 81.1 \, \text{N/m}^3$

2. Scrivi l'equazione di Navier-Stokes per il flusso stazionario:
   \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho g \sin(\theta) $\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho g \sin(\theta)$

3. Considerando un flusso stazionario (cioè \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$):
   \rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + 81.1 $\rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + 81.1$

4. Conclusione: L'effetto della gravità sul flusso è rappresentato dal termine 81.1 \, \text{N/m}^3$81.1 \, \text{N/m}^3$, che contribuisce alla forza di gravità lungo la direzione del flusso.

English version

Newtonian Fluid Exercises

Key Concepts

1. Newtonian Fluid: A fluid that follows Newton's law of viscosity, where the shear stress \tau$\tau$ is proportional to the velocity gradient \frac{du}{dy}$\frac{du}{dy}$:
   \tau = \mu \frac{du}{dy} $\tau = \mu \frac{du}{dy}$
   where:

• \tau$\tau$ = shear stress (Pa)
• \mu$\mu$ = dynamic viscosity (Pa s)
• \frac{du}{dy}$\frac{du}{dy}$ = velocity gradient (s⁻¹)

2. Viscosity: A measure of a fluid's resistance to flow. Newtonian fluids have a constant viscosity regardless of the rate of deformation.

3. Laminar Flow: A type of flow in which fluid particles move in parallel layers without mixing. Occurs at low velocities and in fluids with high viscosity.

4. Reynolds number (Re): A dimensionless parameter that determines the flow regime. It is defined as:
   Re = \frac{\rho v L}{\mu} $Re = \frac{\rho v L}{\mu}$
   where:

• \rho$\rho$ = fluid density (kg/m³)

• v$v$ = fluid velocity (m/s)

• L$L$ = characteristic length (m)

• \mu$\mu$ = dynamic viscosity of the fluid (Pa s)

• If Re < 2000$Re < 2000$, the flow is laminar.

• If Re > 4000$Re > 4000$, the flow is turbulent.

Exercise 1: Calculating Viscosity

Problem

A Newtonian fluid has a shear stress of \tau = 0.5 \, \text{Pa}$\tau = 0.5 \, \text{Pa}$ and a velocity gradient of \frac{du}{dy} = 100 \, \text{s}^{-1}$\frac{du}{dy} = 100 \, \text{s}^{-1}$. Calculate the viscosity \mu$\mu$ of the fluid.

Solution 1. Use Newton's law of viscosity: $\tau = \mu \frac{du}{dy} $ 2. Isolate \mu$\mu$: $\mu = \frac{\tau}{\frac{du}{dy}} $ 3. Calculate \mu$\mu$: $\mu = \frac{0.5}{100} = 0.005 , \text{Pa*s} $ 4 e**: The viscosity of the fluid is 0.005 \, \text{Pa*s}$0.005 \, \text{Pa*s}$.

Exercise 2: Flow in a Circular Pipe

Problem

A Newtonian fluid flows through a pipe of radius r = 0.01 \, \text{m}$r = 0.01 \, \text{m}$ with a pressure difference of \Delta P = 200 \, \text{Pa}$\Delta P = 200 \, \text{Pa}$ over a length of L = 1 \, \text{m}$L = 1 \, \text{m}$. The viscosity of the fluid is \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$. Calculate the volumetric flow rate Q$Q$ of the fluid.

Solution

1. Use Poiseuille's law:
   Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \mu L} $Q = \frac{\pi r^4 \Delta P}{8 \mu L}$

2. Calculate Q$Q$:
   Q = \frac{\pi (0.01)^4 (200)}{8 \times 0.001 \times 1} $Q = \frac{\pi (0.01)^4 (200)}{8 \times 0.001 \times 1}$
   Q = \frac{\pi \times 1 \times 10^{-8} \times 200}{0.008} $Q = \frac{\pi \times 1 \times 10^{-8} \times 200}{0.008}$
   Q = \frac{6.2832 \times 10^{-6}}{0.008} \approx 7.85 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s} $Q = \frac{6.2832 \times 10^{-6}}{0.008} \approx 7.85 \times 10^{-4} \, \text{m}^3/\text{s}$

3. Conclusion: The volumetric flow rate of the fluid is approximately 0.785 \, \text{L/s}$0.785 \, \text{L/s}$.

Exercise 3: Calculating the Reynolds Number

Problem

A Newtonian fluid with density \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ flows through a tube of radius r = 0.005 \, \text{m}$r = 0.005 \, \text{m}$ at a velocity v = 1 \, \text{m/s}$v = 1 \, \text{m/s}$. The viscosity of the fluid is \mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.001 \, \text{Pa*s}$. Calculate the Reynolds number Re$Re$ and determine whether the flow is laminar or turbulent.

Solution

1. Calculate the characteristic length:
   L = 2r = 2 \times 0.005 = 0.01 \, \text{m} $L = 2r = 2 \times 0.005 = 0.01 \, \text{m}$

2. Calculate the Reynolds number:
   Re = \frac{\rho v D}{\mu} $Re = \frac{\rho v D}{\mu}$
   where D = 2r = 0.01 \, \text{m}$D = 2r = 0.01 \, \text{m}$:
   Re = \frac{1000 \times 1 \times 0.01}{0.001} = 10000 $Re = \frac{1000 \times 1 \times 0.01}{0.001} = 10000$

3. Conclusion: Since Re > 4000$Re > 4000$, the flow is turbulent.

Exercise 4: Flow in a Flat Channel

Problem

A Newtonian fluid flows in a flat channel with a slope of 5^\circ$5^\circ$. The density of the fluid is \rho = 950 \, \text{kg/m}^3$\rho = 950 \, \text{kg/m}^3$ and the viscosity is \mu = 0.002 \, \text{Pa*s}$\mu = 0.002 \, \text{Pa*s}$. Determine the effect of gravity on the flow, considering that the gravitational force acts along the direction of flow.

Solution

1. Calculate the force of gravity per unit volume:
   f = \rho g \sin(\theta)$f = \rho g \sin(\theta)$ where g = 9.81 \, \text{m/s}^2$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ and \theta = 5^\circ$\theta = 5^\circ$:
   f = 950 \times 9.81 \times \sin(5^\circ)$f = 950 \times 9.81 \times \sin(5^\circ)$
   f = 950 \times 9.81 \times 0.08 72 \approx 81.1 \, \text{N/m}^3$f = 950 \times 9.81 \times 0.08 72 \approx 81.1 \, \text{N/m}^3$

2. Write the Navier-Stokes equation for steady flow:
   \rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho g \sin(\theta) $\rho \left( \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + \rho g \sin(\theta)$

3. Considering a steady flow (i.e. \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} = 0$):
   \rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + 81.1 $\rho \left( \mathbf{u} \cdot \nabla \mathbf{u} \right) = -\nabla p + \mu \nabla^2 \mathbf{u} + 81.1$

4. Conclusion: The effect of gravity on the flow is represented by the term 81.1 \, \text{N/m}^3$81.1 \, \text{N/m}^3$, which contributes to the gravitational force along the direction of the flow.