Esercizi sui Fluidi Incomprimibili

Esercizi sui Fluidi Incomprimibili

Esercizi sui Fluidi Incomprimibili

Versione italiana

Esercizi sui Fluidi Incomprimibili

Fluidi Incomprimibili

I fluidi incomprimibili sono fluidi la cui densità rimane costante anche quando sono sottoposti a variazioni di pressione. Questo concetto è fondamentale in molte applicazioni ingegneristiche e nella meccanica dei fluidi.

Concetti Chiave

1. Densità: La densità di un fluido incomprimibile è costante e viene rappresentata con la lettera \rho$\rho$. La densità è definita come:
   \rho = \frac{m}{V} $\rho = \frac{m}{V}$
   dove m$m$ è la massa e V$V$ è il volume.

2. Equazione di Continuità: Questa equazione esprime la conservazione della massa per un fluido incomprimibile. È data da:
   A_1 v_1 = A_2 v_2 $A_1 v_1 = A_2 v_2$
   dove A$A$ è l'area della sezione trasversale e v$v$ è la velocità del fluido.

3. Teorema di Bernoulli: Questo teorema descrive il comportamento di un fluido in movimento e stabilisce che la somma dell'energia cinetica, dell'energia potenziale e della pressione è costante lungo una linea di flusso. È espresso come:
   P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{costante} $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{costante}$
   dove P$P$ è la pressione, v$v$ è la velocità, g$g$ è l'accelerazione di gravità e h$h$ è l'altezza.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo della Velocità

Problema: Un fluido incomprimibile fluisce attraverso un tubo che si restringe. L'area della sezione trasversale iniziale è A_1 = 0.1 \, \text{m}^2$A_1 = 0.1 \, \text{m}^2$ e la velocità del fluido in questa sezione è v_1 = 2 \, \text{m/s}$v_1 = 2 \, \text{m/s}$. Calcola la velocità v_2$v_2$ in una sezione più stretta con area A_2 = 0.05 \, \text{m}^2$A_2 = 0.05 \, \text{m}^2$.

Soluzione:
Utilizzando l'equazione di continuità:
A_1 v_1 = A_2 v_2 $A_1 v_1 = A_2 v_2$
Sostituendo i valori:
0.1 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \text{m/s} = 0.05 \, \text{m}^2 \cdot v_2 $0.1 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \text{m/s} = 0.05 \, \text{m}^2 \cdot v_2$
Risolvendo per v_2$v_2$:
v_2 = \frac{0.1 \cdot 2}{0.05} = 4 \, \text{m/s} $v_2 = \frac{0.1 \cdot 2}{0.05} = 4 \, \text{m/s}$

Esercizio 2: Applicazione del Teorema di Bernoulli

Problema: Un fluido incomprimibile scorre in un tubo orizzontale. In un punto, la pressione è P_1 = 30000 \, \text{Pa}$P_1 = 30000 \, \text{Pa}$ e la velocità è v_1 = 3 \, \text{m/s}$v_1 = 3 \, \text{m/s}$. In un altro punto, la pressione è P_2 = 20000 \, \text{Pa}$P_2 = 20000 \, \text{Pa}$. Calcola la velocità v_2$v_2$ in questo secondo punto.

Soluzione:
Applicando il teorema di Bernoulli:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
Assumendo \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ (densità dell'acqua):
30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3)^2 = 20000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 $30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3)^2 = 20000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2$
Semplificando:
30000 + 4500 = 20000 + 500 v_2^2 $30000 + 4500 = 20000 + 500 v_2^2$
34500 = 20000 + 500 v_2^2 $34500 = 20000 + 500 v_2^2$
14500 = 500 v_2^2 $14500 = 500 v_2^2$
v_2^2 = \frac{14500}{500} = 29 $v_2^2 = \frac{14500}{500} = 29$
v_2 = \sqrt{29} \approx 5.39 \, \text{m/s} $v_2 = \sqrt{29} \approx 5.39 \, \text{m/s}$

Esercizio 3: Calcolo della Pressione in un Fluido Statico

Problema: Un fluido incomprimibile è in equilibrio in una colonna alta h = 10 \, \text{m}$h = 10 \, \text{m}$. Calcola la pressione esercitata alla base della colonna se la densità del fluido è \rho = 800 \, \text{kg/m}^3$\rho = 800 \, \text{kg/m}^3$.

Soluzione:
La pressione in un fluido statico è data dalla formula:
P = \rho g h $P = \rho g h$
Dove:

• g = 9.81 \, \text{m/s}^2$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ (accelerazione di gravità)

Sostituendo i valori:
P = 800 \cdot 9.81 \cdot 10 $P = 800 \cdot 9.81 \cdot 10$
P = 78480 \, \text{Pa} $P = 78480 \, \text{Pa}$

Esercizio 4: Flusso in un Tubo Verticale

Problema: Un fluido incomprimibile scorre in un tubo verticale. La sezione trasversale del tubo è costante e la velocità del fluido in cima al tubo è v_1 = 2 \, \text{m/s}$v_1 = 2 \, \text{m/s}$. Se la densità del fluido è \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ e l'altezza del tubo è h = 5 \, \text{m}$h = 5 \, \text{m}$, calcola la pressione in cima al tubo se la pressione alla base è P_2 = 30000 \, \text{Pa}$P_2 = 30000 \, \text{Pa}$.

Soluzione:
Applicando il teorema di Bernoulli tra la base e la cima del tubo:
P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 $P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2$
Assumendo che la velocità in cima sia v_2$v_2$ e che la pressione in cima sia P_1$P_1$, possiamo riscrivere l'equazione:
30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 + 1000 \cdot 9.81 \cdot 5 = P_1 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (2)^2 $30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 + 1000 \cdot 9.81 \cdot 5 = P_1 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (2)^2$
Calcoliamo il termine della pressione alla base:
30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 + 49050 = P_1 + 2000 $30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 + 49050 = P_1 + 2000$
Semplificando:
79050 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 = P_1 + 2000 $79050 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 = P_1 + 2000$
Ora, se consideriamo che il fluido è incomprimibile e che la velocità in cima è molto minore rispetto alla base, possiamo assumere che v_2 \approx 0$v_2 \approx 0$. Quindi:
P_1 \approx 79050 - 2000 = 77050 \, \text{Pa} $P_1 \approx 79050 - 2000 = 77050 \, \text{Pa}$

English version

Incompressible Fluids Exercises

Incompressible Fluids

Incompressible fluids are fluids whose density remains constant even when subjected to pressure variations. This concept is fundamental in many engineering applications and in fluid mechanics.

Key Concepts

1. Density: The density of an incompressible fluid is constant and is represented by the letter \rho$\rho$. Density is defined as:
   \rho = \frac{m}{V} $\rho = \frac{m}{V}$
   where m$m$ is the mass and V$V$ is the volume.

2. Continuity Equation: This equation expresses the conservation of mass for an incompressible fluid. It is given by:
   A_1 v_1 = A_2 v_2 $A_1 v_1 = A_2 v_2$
   where A$A$ is the cross-sectional area and v$v$ is the velocity of the fluid.

3. Bernoulli's Theorem: This theorem describes the behavior of a fluid in motion and states that the sum of kinetic energy, potential energy, and pressure is constant along a streamline. It is expressed as:
   P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{constant} $P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{constant}$
   where P$P$ is the pressure, v$v$ is the velocity, g$g$ is the gravitational acceleration, and h$h$ is the height.

Exercises

Exercise 1: Calculating Velocity

Problem: An incompressible fluid flows through a narrowing tube. The initial cross-sectional area is A_1 ​​= 0.1 \, \text{m}^2$A_1 ​​= 0.1 \, \text{m}^2$ and the velocity of the fluid in this section is v_1 = 2 \, \text{m/s}$v_1 = 2 \, \text{m/s}$. Calculate the velocity v_2$v_2$ in a narrower section with area A_2 = 0.05 \, \text{m}^2$A_2 = 0.05 \, \text{m}^2$.

Solution:
Using the continuity equation:
A_1 v_1 = A_2 v_2 $A_1 v_1 = A_2 v_2$
Substituting the values:
0.1 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \text{m/s} = 0.05 \, \text{m}^2 \cdot v_2 $0.1 \, \text{m}^2 \cdot 2 \, \text{m/s} = 0.05 \, \text{m}^2 \cdot v_2$
Solving for v_2$v_2$:
v_2 = \frac{0.1 \cdot 2}{0.05} = 4 \, \text{m/s} $v_2 = \frac{0.1 \cdot 2}{0.05} = 4 \, \text{m/s}$

Exercise 2: Applying Bernoulli's Theorem

Problem: An incompressible fluid flows in a horizontal pipe. At one point, the pressure is P_1 = 30000 \, \text{Pa}$P_1 = 30000 \, \text{Pa}$ and the velocity is v_1 = 3 \, \text{m/s}$v_1 = 3 \, \text{m/s}$. At another point, the pressure is P_2 = 20000 \, \text{Pa}$P_2 = 20000 \, \text{Pa}$. Calculate the velocity v_2$v_2$ at this second point.

Solution:
Applying Bernoulli's theorem:
P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
Assuming \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ (density of water):
30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3)^2 = 20000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 $30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (3)^2 = 20000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2$
Simplifying:
30000 + 4500 = 20000 + 500 v_2^2 $30000 + 4500 = 20000 + 500 v_2^2$
34500 = 20000 + 500 v_2^2 $34500 = 20000 + 500 v_2^2$
14500 = 500 v_2^2 $14500 = 500 v_2^2$
v_2^2 = \frac{14500}{500} = 29 $v_2^2 = \frac{14500}{500} = 29$
v_2 = \sqrt{29} \approx 5.39 \, \text{m/s} $v_2 = \sqrt{29} \approx 5.39 \, \text{m/s}$

Exercise 3: Calculating Pressure in a Static Fluid

Problem: An incompressible fluid is in equilibrium in a column h = 10 \, \text{m}$h = 10 \, \text{m}$ high. Calculate the pressure exerted at the base of the column if the density of the fluid is \rho = 800 \, \text{kg/m}^3$\rho = 800 \, \text{kg/m}^3$.

Solution:
The pressure in a static fluid is given by the formula:
P = \rho g h $P = \rho g h$
Where:

• g = 9.81 \, \text{m/s}^2$g = 9.81 \, \text{m/s}^2$ (gravitational acceleration)

Substituting the values:
P = 800 \cdot 9.81 \cdot 10 $P = 800 \cdot 9.81 \cdot 10$
P = 78480 \, \text{Pa} $P = 78480 \, \text{Pa}$

Exercise 4: Flow in a Vertical Pipe

Problem: An incompressible fluid flows in a vertical pipe. The cross-section of the pipe is constant and the velocity of the fluid at the top of the pipe is v_1 = 2 \, \text{m/s}$v_1 = 2 \, \text{m/s}$. If the density of the fluid is \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$\rho = 1000 \, \text{kg/m}^3$ and the height of the pipe is h = 5 \, \text{m}$h = 5 \, \text{m}$, calculate the pressure at the top of the pipe if the pressure at the base is P_2 = 30000 \, \text{Pa}$P_2 = 30000 \, \text{Pa}$.

Solution:
Applying Bernoulli's theorem between the base and the top of the tube:
P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 $P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2$
Assuming that the velocity at the top is v_2$v_2$ and that the pressure at the top is P_1$P_1$, we can rewrite the equation:
30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 + 1000 \cdot 9.81 \cdot 5 = P_1 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (2)^2 $30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 + 1000 \cdot 9.81 \cdot 5 = P_1 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (2)^2$
Let's calculate the pressure term at the base:
30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 + 49050 = P_1 + 2000 $30000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 + 49050 = P_1 + 2000$
To simplify:
79050 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 = P_1 + 2000 $79050 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot v_2^2 = P_1 + 2000$
Now, if we consider that the fluid is incompressible and that the velocity at the top is much lower than at the bottom, we can assume that v_2 \approx 0$v_2 \approx 0$. So:
P_1 \approx 79050 - 2000 = 77050 \, \text{Pa} $P_1 \approx 79050 - 2000 = 77050 \, \text{Pa}$