Esercizi sui filtri ideali

Esercizi sui filtri ideali

Esercizi sui filtri ideali

Versione italiana

Esercizi sui filtri ideali

Filtri ideali

I filtri ideali sono dispositivi o circuiti utilizzati per selezionare o attenuare determinate frequenze di un segnale, permettendo il passaggio di altre. In teoria, un filtro ideale ha caratteristiche perfette, che non si riscontrano nei filtri reali a causa di vari fattori come la resistenza, l'induttanza e la capacità. Ecco una panoramica dei principali tipi di filtri ideali e delle loro caratteristiche:

Tipi di Filtri Ideali

1. Filtro Passa-Basso (Low-Pass Filter):

   • Funzione: Permette il passaggio delle frequenze inferiori a una certa frequenza di taglio (f_c$f_c$) e attenua le frequenze superiori.
   • Risposta in Frequenza: La risposta in frequenza è piatta fino a (f_c$f_c$) e scende bruscamente oltre questa frequenza.
   • Applicazioni: Utilizzato per rimuovere il rumore ad alta frequenza da un segnale.

2. Filtro Passa-Alto (High-Pass Filter):

   • Funzione: Permette il passaggio delle frequenze superiori a una certa frequenza di taglio (f_c$f_c$) e attenua le frequenze inferiori.
   • Risposta in Frequenza: La risposta in frequenza è piatta sopra f_c$f_c$ e scende bruscamente sotto questa frequenza.
   • Applicazioni: Utilizzato per eliminare il rumore a bassa frequenza o per isolare segnali ad alta frequenza.

3. Filtro Passa-Banda (Band-Pass Filter):

   • Funzione: Permette il passaggio delle frequenze comprese tra due frequenze di taglio f_{c1}$f_{c1}$ e f_{c2}$f_{c2}$ e attenua le frequenze al di fuori di questo intervallo.
   • Risposta in Frequenza: Presenta un picco di guadagno tra f_{c1}$f_{c1}$ e f_{c2}$f_{c2}$ e scende bruscamente al di fuori di questo intervallo.
   • Applicazioni: Utilizzato in comunicazioni per selezionare bande di frequenza specifiche.

4. Filtro Notch (Band-Stop Filter):

   • Funzione: Attenua le frequenze comprese tra due frequenze di taglio f_{c1}$f_{c1}$ e f_{c2}$f_{c2}$ e permette il passaggio delle frequenze al di fuori di questo intervallo.
   • Risposta in Frequenza: Presenta un'attenuazione significativa in una banda ristretta di frequenze.
   • Applicazioni: Utilizzato per eliminare frequenze indesiderate, come il rumore di rete a 50/60 Hz.

Caratteristiche dei Filtri Ideali

• Risposta in Frequenza Perfetta: I filtri ideali hanno una risposta in frequenza che è esattamente piatta nella banda passante e completamente nulla nella banda di stop.
• Transizione Immediata: La transizione tra la banda passante e la banda di stop è istantanea, senza alcuna sfumatura.
• Nessuna Distorsione: Non introducono alcuna distorsione di fase o ampiezza nel segnale.

Limitazioni dei Filtri Ideali

Sebbene i filtri ideali siano utili per la comprensione teorica, nella pratica non esistono filtri che possano raggiungere queste caratteristiche perfette. I filtri reali presentano:

• Transizioni Graduali: La transizione tra le bande passante e di stop è graduale, il che significa che alcune frequenze possono essere attenuate o amplificate in modo indesiderato.
• Distorsione: Possono introdurre distorsioni di fase e ampiezza.
• Componenti Reali: I componenti utilizzati (resistori, condensatori, induttori) hanno tolleranze e limitazioni che influenzano le prestazioni del filtro.

Esercizi

Esercizio 1: Filtro Passa-Basso

Un filtro passa-basso ha una frequenza di taglio di f_c = 1 \, \text{kHz}$f_c = 1 \, \text{kHz}$. Calcola la reattanza capacitiva necessaria per realizzare questo filtro utilizzando un condensatore di C = 100 \, \mu F$C = 100 \, \mu F$.

Soluzione:
La reattanza capacitiva X_C$X_C$ è data dalla formula:

X_C = \frac{1}{2\pi f_c C}

$$X_C = \frac{1}{2\pi f_c C}$$

Sostituendo i valori:

X_C = \frac{1}{2\pi (1000) (100 \times 10^{-6})} \approx 1.59 \, \Omega

$$X_C = \frac{1}{2\pi (1000) (100 \times 10^{-6})} \approx 1.59 \, \Omega$$

Esercizio 2: Filtro Passa-Alto

Un filtro passa-alto ha una frequenza di taglio di f_c = 500 \, \text{Hz}$f_c = 500 \, \text{Hz}$. Se si utilizza un induttore di L = 0.1 \, H$L = 0.1 \, H$, calcola la reattanza induttiva necessaria.

Soluzione:
La reattanza induttiva X_L$X_L$ è data dalla formula:

X_L = 2\pi f_c L

$$X_L = 2\pi f_c L$$

Sostituendo i valori:

X_L = 2\pi (500) (0.1) \approx 31.42 \, \Omega

$$X_L = 2\pi (500) (0.1) \approx 31.42 \, \Omega$$

Esercizio 3: Filtro Passa-Banda

Un filtro passa-banda ha una frequenza centrale di f_0 = 2 \, \text{kHz}$f_0 = 2 \, \text{kHz}$ e una larghezza di banda di B = 500 \, \text{Hz}$B = 500 \, \text{Hz}$. Calcola le frequenze di taglio inferiori e superiori.

Soluzione:
Le frequenze di taglio sono date da:

f_{c1} = f_0 - \frac{B}{2} = 2000 - 250 = 1750 \, \text{Hz}

$$f_{c1} = f_0 - \frac{B}{2} = 2000 - 250 = 1750 \, \text{Hz}$$

f_{c2} = f_0 + \frac{B}{2} = 2000 + 250 = 2250 \, \text{Hz}

$$f_{c2} = f_0 + \frac{B}{2} = 2000 + 250 = 2250 \, \text{Hz}$$

Esercizio 4: Filtro Notch

Un filtro notch è progettato per attenuare una frequenza di f_0 = 60 \, \text{Hz}$f_0 = 60 \, \text{Hz}$ con una larghezza di banda di B = 10 \, \text{Hz}$B = 10 \, \text{Hz}$. Calcola le frequenze di taglio inferiori e superiori.

Soluzione:
Le frequenze di taglio sono date da:

f_{c1} = f_0 - \frac{B}{2} = 60 - 5 = 55 \, \text{Hz}

$$f_{c1} = f_0 - \frac{B}{2} = 60 - 5 = 55 \, \text{Hz}$$

f_{c2} = f_0 + \frac{B}{2} = 60 + 5 = 65 \, \text{Hz}

$$f_{c2} = f_0 + \frac{B}{2} = 60 + 5 = 65 \, \text{Hz}$$

Esercizio 5: Analisi di un Filtro Passa-Basso

Un filtro passa-basso ha una frequenza di taglio di f_c = 1 \, \text{kHz}$f_c = 1 \, \text{kHz}$ e una resistenza di R = 1 \, k\Omega$R = 1 \, k\Omega$. Calcola la capacità C necessaria per realizzare questo filtro.

Soluzione:
La frequenza di taglio per un filtro RC è data da:

f_c = \frac{1}{2\pi R C}

$$f_c = \frac{1}{2\pi R C}$$

Risolviamo per C:

C = \frac{1}{2\pi R f_c}

$$C = \frac{1}{2\pi R f_c}$$

Sostituendo i valori:

C = \frac{1}{2\pi (1000) (1000)} \approx 159.15 \, \mu F

$$C = \frac{1}{2\pi (1000) (1000)} \approx 159.15 \, \mu F$$

English version

Ideal Filter Exercises

Ideal Filters

Ideal filters are devices or circuits used to select or attenuate certain frequencies of a signal, while allowing others to pass. In theory, an ideal filter has perfect characteristics, which are not found in real filters due to various factors such as resistance, inductance and capacitance. Here is an overview of the main types of ideal filters and their characteristics:

Types of Ideal Filters

1. Low-Pass Filter:

• Function: Allows frequencies below a certain cutoff frequency (f_c$f_c$) to pass and attenuates frequencies above that.
• Frequency Response: The frequency response is flat up to (f_c$f_c$) and drops off sharply beyond that frequency.
• Applications: Used to remove high-frequency noise from a signal.

2. High-Pass Filter:

• Function: Allows frequencies above a certain cutoff frequency (f_c$f_c$) to pass and attenuates frequencies below that.
• Frequency Response: Frequency response is flat above f_c$f_c$ and drops off sharply below that frequency.
• Applications: Used to eliminate low-frequency noise or isolate high-frequency signals.

3. Band-Pass Filter:

• Function: Allows frequencies between two cutoff frequencies f_{c1}$f_{c1}$ and f_{c2}$f_{c2}$ to pass and attenuates frequencies outside that range.
• Frequency Response: Has a peak gain between f_{c1}$f_{c1}$ and f_{c2}$f_{c2}$ and drops off sharply outside that range.
• Applications: Used in communications to select specific frequency bands.

4. Notch Filter (Band-Stop Filter):

• Function: Attenuates frequencies between two cutoff frequencies f_{c1}$f_{c1}$ and f_{c2}$f_{c2}$ and allows frequencies outside this range to pass.
• Frequency Response: Has significant attenuation in a narrow band of frequencies.
• Applications: Used to eliminate unwanted frequencies, such as 50/60 Hz mains noise.

Characteristics of Ideal Filters

• Perfect Frequency Response: Ideal filters have a frequency response that is exactly flat in the pass band and completely zero in the stop band.
• Immediate Transition: The transition between the pass band and the stop band is instantaneous, without any fuzziness.
• No Distortion: They do not introduce any phase or amplitude distortion into the signal.

Limitations of Ideal Filters

Although ideal filters are useful for theoretical understanding, in practice there are no filters that can achieve these perfect characteristics. Real filters have:

• Gradual Transitions: The transition between the pass and stop bands is gradual, which means that some frequencies may be attenuated or amplified in an undesirable way.
• Distortion: They can introduce phase and amplitude distortions.
• Real Components: The components used (resistors, capacitors, inductors) have tolerances and limitations that affect the performance of the filter.

Exercises

Exercise 1: Low-Pass Filter

A low-pass filter has a cutoff frequency of f_c = 1 \, \text{kHz}$f_c = 1 \, \text{kHz}$. Calculate the capacitive reactance needed to realize this filter using a capacitor of C = 100 \, \mu F$C = 100 \, \mu F$.

Solution:
The capacitive reactance X_C$X_C$ is given by the formula:

X_C = \frac{1}{2\pi f_c C}

$$X_C = \frac{1}{2\pi f_c C}$$

Substituting the values:

X_C = \frac{1}{2\pi (1000) (100 \times 10^{-6})} \approx 1.59 \, \Omega

$$X_C = \frac{1}{2\pi (1000) (100 \times 10^{-6})} \approx 1.59 \, \Omega$$

Exercise 2: High-Pass Filter

A high-pass filter has a cutoff frequency of f_c = 500 \, \text{Hz}$f_c = 500 \, \text{Hz}$. If an inductor of L = 0.1 \, H$L = 0.1 \, H$ is used, calculate the inductive reactance needed.

Solution:
The inductive reactance X_L$X_L$ is given by the formula:

X_L = 2\pi f_c L

$$X_L = 2\pi f_c L$$

Substituting the values:

X_L = 2\pi (500) (0.1) \approx 31.42 \, \Omega

$$X_L = 2\pi (500) (0.1) \approx 31.42 \, \Omega$$

Exercise 3: Bandpass Filter

A bandpass filter has a center frequency of f_0 = 2 \, \text{kHz}$f_0 = 2 \, \text{kHz}$ and a bandwidth of B = 500 \, \text{Hz}$B = 500 \, \text{Hz}$. Calculate the lower and upper cutoff frequencies.

Solution:
The cutoff frequencies are given by:

f_{c1} = f_0 - \frac{B}{2} = 2000 - 250 = 1750 \, \text{Hz}

$$f_{c1} = f_0 - \frac{B}{2} = 2000 - 250 = 1750 \, \text{Hz}$$

f_{c2} = f_0 + \frac{B}{2} = 2000 + 250 = 2250 \, \text{Hz}

$$f_{c2} = f_0 + \frac{B}{2} = 2000 + 250 = 2250 \, \text{Hz}$$

Exercise 4: Notch Filter

A notch filter is designed to attenuate a frequency of f_0 = 60 \, \text{Hz}$f_0 = 60 \, \text{Hz}$ with a bandwidth of B = 10 \, \text{Hz}$B = 10 \, \text{Hz}$. Calculate the lower and upper cutoff frequencies.

Solution:
The cutoff frequencies are given by:

f_{c1} = f_0 - \frac{B}{2} = 60 - 5 = 55 \, \text{Hz}

$$f_{c1} = f_0 - \frac{B}{2} = 60 - 5 = 55 \, \text{Hz}$$

f_{c2} = f_0 + \frac{B}{2} = 60 + 5 = 65 \, \text{Hz}

$$f_{c2} = f_0 + \frac{B}{2} = 60 + 5 = 65 \, \text{Hz}$$

Exercise 5: Analysis of a Low-Pass Filter

A low-pass filter has a cutoff frequency of f_c = 1 \, \text{kHz}$f_c = 1 \, \text{kHz}$ and a resistance of R = 1 \, k\Omega$R = 1 \, k\Omega$. Calculate the capacitance C needed to make this filter.

Solution:
The cutoff frequency for an RC filter is given by:

f_c = \frac{1}{2\pi R C}

$$f_c = \frac{1}{2\pi R C}$$

Solve for C:

C = \frac{1}{2\pi R f_c}

$$C = \frac{1}{2\pi R f_c}$$

Substituting the values:

C = \frac{1}{2\pi (1000) (1000)} \approx 159.15 \, \mu F

$$C = \frac{1}{2\pi (1000) (1000)} \approx 159.15 \, \mu F$$