Esercizi sui corpi rigidi

Esercizi sui corpi rigidi

Esercizi sui corpi rigidi

Versione italiana

Esercizi sui corpi rigidi

I corpi rigidi sono oggetti che non deformano la loro forma quando vengono sottoposti a forze. La dinamica dei corpi rigidi si occupa di studiare il movimento e l'equilibrio di questi oggetti, considerando sia le forze che i momenti torcenti (o coppie di forze) che agiscono su di essi.

Concetti Fondamentali

1. Momento Torcenti: Il momento torcenti M rispetto a un punto è dato dalla formula:

   M = F \cdot d

   $$M = F \cdot d$$

   dove F è la forza applicata e d è la distanza perpendicolare dal punto di rotazione alla linea d'azione della forza.

2. Equilibrio dei Corpi Rigidi: Un corpo rigido è in equilibrio se la somma delle forze e la somma dei momenti torcenti che agiscono su di esso sono entrambe nulle:

   \sum F = 0 \quad \text{e} \quad \sum M = 0

   $$\sum F = 0 \quad \text{e} \quad \sum M = 0$$

3. Centro di Massa: Il centro di massa di un corpo rigido è il punto in cui si può considerare che tutta la massa del corpo sia concentrata. Per oggetti simmetrici, il centro di massa si trova nel centro geometrico.

4. Rotazione: Un corpo rigido può ruotare attorno a un asse. L'accelerazione angolare \alpha$\alpha$ è legata alla forza netta e al momento torcenti tramite la seguente relazione:

   M = I \cdot \alpha

   $$M = I \cdot \alpha$$

   dove I è il momento d'inerzia del corpo rispetto all'asse di rotazione.

Esercizi Esempio

1. Esercizio 1: Un'asta rigida di lunghezza 2 \, \text{m}$2 \, \text{m}$ e massa 4 \, \text{kg}$4 \, \text{kg}$ è appesa a un'estremità. Qual è il momento torcenti rispetto all'estremità appesa se una forza di 10 N è applicata all'altra estremità perpendicolarmente all'asta?

   Soluzione:
   La distanza d è 2m:

   M = F \cdot d = 10 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = 20 \, \text{N m}

   $$M = F \cdot d = 10 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = 20 \, \text{N m}$$

2. Esercizio 2: Un corpo rigido di massa 6 kg è in equilibrio su un piano inclinato. Se la forza di gravità agisce su di esso, calcola la forza normale N se l'angolo di inclinazione è 30°.

   Soluzione:
   La forza di gravità P è:

   P = m \cdot g = 6 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 58.86 \, \text{N}

   $$P = m \cdot g = 6 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 58.86 \, \text{N}$$

   La componente della forza di gravità perpendicolare al piano è:

   N = P \cdot \cos(30^\circ) = 58.86 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 50.96 \, \text{N}

   $$N = P \cdot \cos(30^\circ) = 58.86 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 50.96 \, \text{N}$$

3. Esercizio 3: Un corpo rigido di massa 10 kg ruota attorno a un asse. Se il momento d'inerzia I del corpo rispetto all'asse di rotazione è 5 \, \text{kg m}^2$5 \, \text{kg m}^2$ e il momento torcenti applicato è 15 N*m, qual è l'accelerazione angolare \alpha$\alpha$?

   Soluzione:
   Utilizziamo la relazione tra momento torcenti e accelerazione angolare:

   M = I \cdot \alpha \implies \alpha = \frac{M}{I} = \frac{15 \, \text{N m}}{5 \, \text{kg m}^2} = 3 \, \text{rad/s}^2

   $$M = I \cdot \alpha \implies \alpha = \frac{M}{I} = \frac{15 \, \text{N m}}{5 \, \text{kg m}^2} = 3 \, \text{rad/s}^2$$

English version

Rigid Body Exercises

Rigid bodies are objects that do not deform their shape when subjected to forces. Rigid body dynamics deals with the study of the movement and equilibrium of these objects, considering both the forces and the torques (or couples of forces) that act on them.

Fundamental Concepts

1. Torque: The torque M with respect to a point is given by the formula:

M = F \cdot d

$$M = F \cdot d$$

where F is the applied force and d is the perpendicular distance from the point of rotation to the line of action of the force.

2. Equilibrium of Rigid Bodies: A rigid body is in equilibrium if the sum of the forces and the sum of the torques acting on it are both zero:

\sum F = 0 \quad \text{e} \quad \sum M = 0

$$\sum F = 0 \quad \text{e} \quad \sum M = 0$$

3. Center of Mass: The center of mass of a rigid body is the point where all the mass of the body can be considered to be concentrated. For symmetric objects, the center of mass is located at the geometric center.

4. Rotation: A rigid body can rotate around an axis. The angular acceleration \alpha$\alpha$ is related to the net force and torque by the following relationship:

M = I \cdot \alpha

$$M = I \cdot \alpha$$

where I is the moment of inertia of the body with respect to the axis of rotation.

Exercises Example

1. Exercise 1: A rigid rod of length 2 \, \text{m}$2 \, \text{m}$ and mass 4 \, \text{kg}$4 \, \text{kg}$ is hanging at one end. What is the torque about the hanging end if a force of 10 N is applied to the other end perpendicular to the rod?

Solution:
The distance d is 2m:

M = F \cdot d = 10 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = 20 \, \text{N m}

$$M = F \cdot d = 10 \, \text{N} \cdot 2 \, \text{m} = 20 \, \text{N m}$$

2. Exercise 2: A rigid body of mass 6 kg is in equilibrium on an inclined plane. If the force of gravity acts on it, calculate the normal force N if the angle of inclination is 30°.

Solution:
The gravitational force P is:

P = m \cdot g = 6 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 58.86 \, \text{N}

$$P = m \cdot g = 6 \, \text{kg} \cdot 9.81 \, \text{m/s}^2 = 58.86 \, \text{N}$$

The component of the gravitational force perpendicular to the plane is:

N = P \cdot \cos(30^\circ) = 58.86 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 50.96 \, \text{N}

$$N = P \cdot \cos(30^\circ) = 58.86 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 50.96 \, \text{N}$$

3. Exercise 3: A rigid body of mass 10 kg rotates around an axis. If the moment of inertia I of the body with respect to the axis of rotation is 5 \, \text{kg m}^2$5 \, \text{kg m}^2$ and the applied torque is 15 N*m, what is the angular acceleration \alpha$\alpha$?

Solution:
We use the relation between torque and angular acceleration:

M = I \cdot \alpha \implies \alpha = \frac{M}{I} = \frac{15 \, \text{N m}}{5 \, \text{kg m}^2} = 3 \, \text{rad/s}^2

$$M = I \cdot \alpha \implies \alpha = \frac{M}{I} = \frac{15 \, \text{N m}}{5 \, \text{kg m}^2} = 3 \, \text{rad/s}^2$$