Esercizi sui Circuiti RC

Esercizi sui Circuiti RC

Esercizi sui Circuiti RC

Versione italiana

Esercizi sui Circuiti RC

Un circuito RC è un circuito elettrico che contiene una resistenza (R) e un condensatore (C). Questi circuiti sono utilizzati per analizzare il comportamento di carica e scarica dei condensatori.

Formula per la Carica e la Scarica di un Condensatore

1. Carica del condensatore:
   La tensione V(t)$V(t)$ attraverso un condensatore durante la carica è data dalla formula:

   V(t) = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)

   $$V(t) = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$$

   dove:

   • V_0$V_0$ = tensione della sorgente
   • t$t$ = tempo (s)
   • R$R$ = resistenza (Ω)
   • C$C$ = capacità (F)
   • e$e$ = base del logaritmo naturale (circa 2.718)

2. Scarica del condensatore:
   La tensione V(t)$V(t)$ attraverso un condensatore durante la scarica è data dalla formula:

   V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{RC}}

   $$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{RC}}$$

Esercizio 1: Carica di un Condensatore

Problema: Un circuito RC è composto da una resistenza di 1 \, \text{kΩ}$1 \, \text{kΩ}$ e un condensatore di 100 \, \mu F$100 \, \mu F$. Se la tensione della sorgente è 10 \, V$10 \, V$, calcola la tensione attraverso il condensatore dopo 0.1 \, s$0.1 \, s$.

Soluzione:

1. Identifica i dati:

   • R = 1 \text{kΩ} = 1000 \Omega$R = 1 \text{kΩ} = 1000 \Omega$
   • C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} F$C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} F$
   • V_0 = 10 V$V_0 = 10 V$
   • t = 0.1 s$t = 0.1 s$

2. Calcola il tempo di costante \tau$\tau$:

   \tau = RC = 1000 \, \Omega \times 100 \times 10^{-6} \, F = 0.1 \, s

   $$\tau = RC = 1000 \, \Omega \times 100 \times 10^{-6} \, F = 0.1 \, s$$

3. Applica la formula per la carica:

   V(t) = 10 \left(1 - e^{-\frac{0.1}{0.1}}\right) = 10 \left(1 - e^{-1}\right)

   $$V(t) = 10 \left(1 - e^{-\frac{0.1}{0.1}}\right) = 10 \left(1 - e^{-1}\right)$$

4. Calcola e^{-1}$e^{-1}$:

   e^{-1} \approx 0.3679

   $$e^{-1} \approx 0.3679$$

5. Calcola la tensione:

   V(t) = 10 \left(1 - 0.3679\right) \approx 10 \times 0.6321 \approx 6.32 \, V

   $$V(t) = 10 \left(1 - 0.3679\right) \approx 10 \times 0.6321 \approx 6.32 \, V$$

Quindi, la tensione attraverso il condensatore dopo 0.1 s$0.1 s$ è 6.32 V.

Esercizio 2: Scarica di un Condensatore

Problema: Un condensatore carico a 12 V$12 V$ viene scaricato attraverso una resistenza di 2 kΩ$2 kΩ$. Calcola la tensione attraverso il condensatore dopo 0.5 s$0.5 s$ se la capacità del condensatore è 220 \mu F$220 \mu F$.

Soluzione:

1. Identifica i dati:

   • V_0 = 12 V$V_0 = 12 V$
   • R = 2 kΩ = 2000 Ω$R = 2 kΩ = 2000 Ω$
   • C = 220 \mu F = 220 \times 10^{-6} F$C = 220 \mu F = 220 \times 10^{-6} F$
   • t = 0.5 s$t = 0.5 s$

2. Calcola il tempo di costante \tau$\tau$:

   \tau = RC = 2000 \, \Omega \times 220 \times 10^{-6} \, F = 0.44 \, s

   $$\tau = RC = 2000 \, \Omega \times 220 \times 10^{-6} \, F = 0.44 \, s$$

3. Applica la formula per la scarica:

   V(t) = 12 \, e^{-\frac{0.5}{0.44}}

   $$V(t) = 12 \, e^{-\frac{0.5}{0.44}}$$

4. Calcola e^{-\frac{0.5}{0.44}}$e^{-\frac{0.5}{0.44}}$:

   e^{-\frac{0.5}{0.44}} \approx e^{-1.1364} \approx 0.321

   $$e^{-\frac{0.5}{0.44}} \approx e^{-1.1364} \approx 0.321$$

5. Calcola la tensione:

   V(t) = 12 \, V \cdot 0.321 \approx 3.85 \, V

   $$V(t) = 12 \, V \cdot 0.321 \approx 3.85 \, V$$

Quindi, la tensione attraverso il condensatore dopo 0.5 s$0.5 s$ è 3.85 V.

Esercizio 3: Tempo di Carica per Raggiungere una Tensione Specifica

Problema: Un circuito RC ha una resistenza di 4 kΩ$4 kΩ$ e un condensatore di 10 \mu F$10 \mu F$. Se la tensione della sorgente è 15 V$15 V$, quanto tempo ci vorrà affinché il condensatore raggiunga una tensione di 12 V$12 V$?

Soluzione:

1. Identifica i dati:

   • R = 4 kΩ = 4000 Ω$R = 4 kΩ = 4000 Ω$
   • C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} F$C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} F$
   • V_0 = 15 V$V_0 = 15 V$
   • V(t) = 12 V$V(t) = 12 V$

2. Calcola il tempo di costante \tau$\tau$:

   \tau = RC = 4000 \, \Omega \times 10 \times 10^{-6} \, F = 0.04 \, s

   $$\tau = RC = 4000 \, \Omega \times 10 \times 10^{-6} \, F = 0.04 \, s$$

3. Applica la formula per la carica e risolvi per t$t$:

   12 = 15 \left(1 - e^{-\frac{t}{0.04}}\right)

   $$12 = 15 \left(1 - e^{-\frac{t}{0.04}}\right)$$

4. Isolare l'esponenziale:

   \frac{12}{15} = 1 - e^{-\frac{t}{0.04}} \implies e^{-\frac{t}{0.04}} = 1 - \frac{12}{15} = \frac{3}{15} = 0.2

   $$\frac{12}{15} = 1 - e^{-\frac{t}{0.04}} \implies e^{-\frac{t}{0.04}} = 1 - \frac{12}{15} = \frac{3}{15} = 0.2$$

5. Prendere il logaritmo naturale di entrambi i lati:

   -\frac{t}{0.04} = \ln(0.2)

   $$-\frac{t}{0.04} = \ln(0.2)$$

6. Calcolare t$t$:

   t = -0.04 \cdot \ln(0.2) \approx -0.04 \cdot (-1.6094) \approx 0.0644 \, s

   $$t = -0.04 \cdot \ln(0.2) \approx -0.04 \cdot (-1.6094) \approx 0.0644 \, s$$

Quindi, ci vorranno circa 0.0644 s affinché il condensatore raggiunga una tensione di 12 V$12 V$.

English version

RC Circuit Exercises

An RC circuit is an electrical circuit that contains a resistor (R) and a capacitor (C). These circuits are used to analyze the charging and discharging behavior of capacitors.

Formula for Charging and Discharging a Capacitor

1. Capacitor Charging:
   The voltage V(t)$V(t)$ across a capacitor during charging is given by the formula:

V(t) = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)

$$V(t) = V_0 \left(1 - e^{-\frac{t}{RC}}\right)$$

where:

• V_0$V_0$ = source voltage
• t$t$ = time (s)
• R$R$ = resistance (Ω)
• C$C$ = capacitance (F)
• e$e$ = base of the natural logarithm (about 2.718)

2. Capacitor Discharging:
   The voltage V(t)$V(t)$ across a capacitor during discharging is given by the formula:

V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{RC}}

$$V(t) = V_0 e^{-\frac{t}{RC}}$$

Exercise 1: Charging a Capacitor

Problem: A circuit RC consists of a resistor of 1 \, \text{kΩ}$1 \, \text{kΩ}$ and a capacitor of 100 \, \mu F$100 \, \mu F$. If the source voltage is 10 \, V$10 \, V$, calculate the voltage across the capacitor after 0.1 \, s$0.1 \, s$.

Solution:

1. Identify the data:

• R = 1 \text{kΩ} = 1000 \Omega$R = 1 \text{kΩ} = 1000 \Omega$
• C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} F$C = 100 \mu F = 100 \times 10^{-6} F$
• V_0 = 10 V$V_0 = 10 V$
• t = 0.1 s$t = 0.1 s$

2. Calculate the time of constant \tau$\tau$:

\tau = RC = 1000 \, \Omega \times 100 \times 10^{-6} \, F = 0.1 \, s

$$\tau = RC = 1000 \, \Omega \times 100 \times 10^{-6} \, F = 0.1 \, s$$

3. Apply the formula for the charge:

V(t) = 10 \left(1 - e^{-\frac{0.1}{0.1}}\right) = 10 \left(1 - e^{-1}\right)

$$V(t) = 10 \left(1 - e^{-\frac{0.1}{0.1}}\right) = 10 \left(1 - e^{-1}\right)$$

4. Calculate e^{-1}$e^{-1}$:

e^{-1} \approx 0.3679

$$e^{-1} \approx 0.3679$$

5. Calculate the voltage:

V(t) = 10 \left(1 - 0.3679\right) \approx 10 \times 0.6321 \approx 6.32 \, V

$$V(t) = 10 \left(1 - 0.3679\right) \approx 10 \times 0.6321 \approx 6.32 \, V$$

So, the voltage across the capacitor after 0.1 s$0.1 s$ is 6.32 V.

Exercise 2: Discharging a Capacitor

Problem: A capacitor charged to 12 V$12 V$ is discharged through a resistor of 2 kΩ$2 kΩ$. Calculate the voltage across the capacitor after 0.5 s$0.5 s$ if the capacitance of the capacitor is 220 \mu F$220 \mu F$.

Solution:

1. Identify the data:

• V_0 = 12 V$V_0 = 12 V$
• R = 2 kΩ = 2000 Ω$R = 2 kΩ = 2000 Ω$
• C = 220 \mu F = 220 \times 10^{-6} F$C = 220 \mu F = 220 \times 10^{-6} F$
• t = 0.5 s$t = 0.5 s$

2. Calculate the time of constant \tau$\tau$:

\tau = RC = 2000 \, \Omega \times 220 \times 10^{-6} \, F = 0.44 \, s

$$\tau = RC = 2000 \, \Omega \times 220 \times 10^{-6} \, F = 0.44 \, s$$

3. Apply the formula for the discharge:

V(t) = 12 \, e^{-\frac{0.5}{0.44}}

$$V(t) = 12 \, e^{-\frac{0.5}{0.44}}$$

4. Calculate e^{-\frac{0.5}{0.44}}$e^{-\frac{0.5}{0.44}}$:

e^{-\frac{0.5}{0.44}} \approx e^{-1.1364} \approx 0.321

$$e^{-\frac{0.5}{0.44}} \approx e^{-1.1364} \approx 0.321$$

5. Calculate the voltage:

V(t) = 12 \, V \cdot 0.321 \approx 3.85 \, V

$$V(t) = 12 \, V \cdot 0.321 \approx 3.85 \, V$$

So, the voltage across the capacitor after 0.5 s$0.5 s$ is 3.85 V.

Exercise 3: Charging Time to Reach a Specific Voltage

Problem: An RC circuit has a resistance of 4 kΩ$4 kΩ$ and a capacitor of 10 \mu F$10 \mu F$. If the source voltage is 15 V$15 V$, how long will it take for the capacitor to reach a voltage of 12 V$12 V$?

Solution:

1. Identify the data:

• R = 4 kΩ = 4000 Ω$R = 4 kΩ = 4000 Ω$
• C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} F$C = 10 \mu F = 10 \times 10^{-6} F$
• V_0 = 15 V$V_0 = 15 V$
• V(t) = 12 V$V(t) = 12 V$

2. Calculate the time of constant \tau$\tau$:

\tau = RC = 4000 \, \Omega \times 10 \times 10^{-6} \, F = 0.04 \, s

$$\tau = RC = 4000 \, \Omega \times 10 \times 10^{-6} \, F = 0.04 \, s$$

3. Apply the formula for the charge and solve for t$t$:

12 = 15 \left(1 - e^{-\frac{t}{0.04}}\right)

$$12 = 15 \left(1 - e^{-\frac{t}{0.04}}\right)$$

4. Isolate the exponential:

\frac{12}{15} = 1 - e^{-\frac{t}{0.04}} \implies e^{-\frac{t}{0.04}} = 1 - \frac{12}{15} = \frac{3}{15} = 0.2

$$\frac{12}{15} = 1 - e^{-\frac{t}{0.04}} \implies e^{-\frac{t}{0.04}} = 1 - \frac{12}{15} = \frac{3}{15} = 0.2$$

5. Take the natural logarithm of both sides:

-\frac{t}{0.04} = \ln(0.2)

$$-\frac{t}{0.04} = \ln(0.2)$$

6. Calculate t$t$:

t = -0.04 \cdot \ln(0.2) \approx -0.04 \cdot (-1.6094) \approx 0.0644 \, s

$$t = -0.04 \cdot \ln(0.2) \approx -0.04 \cdot (-1.6094) \approx 0.0644 \, s$$

So, it will take about 0.0644 s for the capacitor to reach a voltage of 12 V$12 V$.