Esercizi sui circuiti LR

Esercizi sui circuiti LR

Esercizi sui circuiti LR

Versione italiana

Esercizi sui circuiti LR

I circuiti LR sono circuiti elettrici che contengono un induttore (L) e una resistenza (R). Questi circuiti sono interessanti perché mostrano come la corrente elettrica si sviluppa nel tempo quando viene applicata una tensione. Ecco alcuni concetti chiave e esercizi che puoi considerare:

Concetti Fondamentali

1. Costante di Tempo (τ): La costante di tempo di un circuito LR è data da τ = L/R, dove L è l'induttanza in henry e R è la resistenza in ohm. Questa costante indica quanto tempo ci vuole affinché la corrente raggiunga circa il 63% del suo valore massimo.

2. Equazione della Corrente: Quando una tensione V viene applicata a un circuito LR, la corrente I(t) nel circuito varia nel tempo secondo la seguente equazione:

   I(t) = \frac{V}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)

   $$I(t) = \frac{V}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)$$

   dove e è la base dei logaritmi naturali.

3. Corrente Massima: La corrente massima che può fluire nel circuito è I_{max} = \frac{V}{R}$I_{max} = \frac{V}{R}$.

Esercizi

1. Esercizio 1: Calcolo della Corrente

   • Un circuito LR ha una resistenza di 10 Ω e un'induttanza di 2 H. Se viene applicata una tensione di 20 V, calcola la corrente dopo 1 secondo.
   • Soluzione:
     • Calcola τ: τ = \frac{L}{R} = \frac{2}{10} = 0.2 s$τ = \frac{L}{R} = \frac{2}{10} = 0.2 s$.
     • Usa l'equazione della corrente:

       I(1) = \frac{20}{10} \left(1 - e^{-\frac{10}{2} \cdot 1}\right) = 2 \left(1 - e^{-5}\right) \approx 2 \left(1 - 0.0067\right) \approx 1.9866 \, A.

       $$I(1) = \frac{20}{10} \left(1 - e^{-\frac{10}{2} \cdot 1}\right) = 2 \left(1 - e^{-5}\right) \approx 2 \left(1 - 0.0067\right) \approx 1.9866 \, A.$$

2. Esercizio 2: Trovare la Costante di Tempo

   • Se in un circuito LR la corrente raggiunge il 63% del suo valore massimo in 0.5 s e la resistenza è di 5 Ω, qual è l'induttanza?
   • Soluzione:
     • Sappiamo che τ = L/R, quindi L = τ \cdot R = 0.5 \cdot 5 = 2.5 \, H$L = τ \cdot R = 0.5 \cdot 5 = 2.5 \, H$.

3. Esercizio 3: Analisi della Scarica

   • Considera un circuito LR in cui l'induttore è inizialmente carico con una corrente di 3 A. Se la resistenza è di 4 Ω e l'induttanza è di 1 H, calcola la corrente dopo 2 secondi quando il circuito è scollegato dalla fonte di tensione.
   • Soluzione:
     • La corrente decresce secondo l'equazione:

       I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t} = 3 e^{-\frac{4}{1} \cdot 2} = 3 e^{-8} \approx 3 \cdot 0.000335 = 0.001005 \, A.

       $$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t} = 3 e^{-\frac{4}{1} \cdot 2} = 3 e^{-8} \approx 3 \cdot 0.000335 = 0.001005 \, A.$$

English version

LR Circuit Exercises

LR circuits are electrical circuits that contain an inductor (L) and a resistor (R). These circuits are interesting because they show how the electric current develops over time when a voltage is applied. Here are some key concepts and exercises you can consider:

Fundamental Concepts

1. Time Constant (τ): The time constant of an LR circuit is given by τ = L/R, where L is the inductance in henries and R is the resistance in ohms. This constant indicates how long it takes for the current to reach approximately 63% of its maximum value.

2. Current Equation: When a voltage V is applied to an LR circuit, the current I(t) in the circuit varies with time according to the following equation:

I(t) = \frac{V}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)

$$I(t) = \frac{V}{R} \left(1 - e^{-\frac{R}{L}t}\right)$$

where e is the base of natural logarithms.

3. Maximum Current: The maximum current that can flow in the circuit is I_{max} = \frac{V}{R}$I_{max} = \frac{V}{R}$.

Exercises

1. Exercise 1: Calculating Current

• An LR circuit has a resistance of 10 Ω and an inductance of 2 H. If a voltage of 20 V is applied, calculate the current after 1 second.
• Solution:
• Calculate τ: τ = \frac{L}{R} = \frac{2}{10} = 0.2 s$τ = \frac{L}{R} = \frac{2}{10} = 0.2 s$.
• Use the current equation:

I(1) = \frac{20}{10} \left(1 - e^{-\frac{10}{2} \cdot 1}\right) = 2 \left(1 - e^{-5}\right) \approx 2 \left(1 - 0.0067\right) \approx 1.9866 \, A.

$$I(1) = \frac{20}{10} \left(1 - e^{-\frac{10}{2} \cdot 1}\right) = 2 \left(1 - e^{-5}\right) \approx 2 \left(1 - 0.0067\right) \approx 1.9866 \, A.$$

2. Exercise 2: Finding the Time Constant

• If in an LR circuit the current reaches 63% of its maximum value in 0.5 s and the resistance is 5 Ω, what is the inductance?
• Solution:
• We know that τ = L/R, so L = τ \cdot R = 0.5 \cdot 5 = 2.5 \, H$L = τ \cdot R = 0.5 \cdot 5 = 2.5 \, H$.

3. Exercise 3: Discharge Analysis

• Consider an LR circuit in which the inductor is initially charged with a current of 3 A. If the resistance is 4 Ω and the inductance is 1 H, calculate the current after 2 seconds when the circuit is disconnected from the voltage source.
• Solution: - The current decreases according to the equation:

I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t} = 3 e^{-\frac{4}{1} \cdot 2} = 3 e^{-8} \approx 3 \cdot 0.000335 = 0.001005 \, A. 

$$I(t) = I_0 e^{-\frac{R}{L}t} = 3 e^{-\frac{4}{1} \cdot 2} = 3 e^{-8} \approx 3 \cdot 0.000335 = 0.001005 \, A.$$