Esercizi sui Circuiti LC

Esercizi sui Circuiti LC

Esercizi sui Circuiti LC

Versione italiana

Esercizi sui Circuiti LC

Introduzione ai Circuiti LC

Un circuito LC è un circuito elettrico che contiene un induttore (L) e un condensatore (C) in serie o in parallelo. Questi circuiti sono utilizzati in molte applicazioni, come filtri, oscillatori e circuiti risonanti.

Formula Fondamentale

La frequenza di risonanza f_0$f_0$ di un circuito LC è data dalla formula:

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

dove:

• f_0$f_0$ è la frequenza di risonanza in hertz (Hz)
• L$L$ è l'induttanza in henry (H)
• C$C$ è la capacità in farad (F)

Esercizio 1: Calcolo della Frequenza di Risonanza

Problema: Un circuito LC ha un induttore di 10 \, \text{mH}$10 \, \text{mH}$ e un condensatore di 100 \, \mu\text{F}$100 \, \mu\text{F}$. Calcola la frequenza di risonanza.

Soluzione:

1. Convertire le unità:

   • L = 10 \, \text{mH} = 10 \times 10^{-3} \, \text{H} = 0.01 \, \text{H}$L = 10 \, \text{mH} = 10 \times 10^{-3} \, \text{H} = 0.01 \, \text{H}$
   • C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F} = 0.0001 \, \text{F}$C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F} = 0.0001 \, \text{F}$

2. Applicare la formula:

   f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.01 \times 0.0001}} \approx \frac{1}{2\pi\sqrt{0.000001}} \approx \frac{1}{2\pi \times 0.001} \approx 159.15 \, \text{Hz}

   $$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.01 \times 0.0001}} \approx \frac{1}{2\pi\sqrt{0.000001}} \approx \frac{1}{2\pi \times 0.001} \approx 159.15 \, \text{Hz}$$

Esercizio 2: Energia nel Circuito LC

Problema: Calcola l'energia immagazzinata nel condensatore e nell'induttore quando il circuito è in risonanza. Supponiamo che la tensione massima sul condensatore sia 50 \, \text{V}$50 \, \text{V}$.

Soluzione:

1. Energia nel condensatore:

   U_C = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 0.0001 \times 50^2 = \frac{1}{2} \times 0.0001 \times 2500 = 0.125 \, \text{J}

   $$U_C = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 0.0001 \times 50^2 = \frac{1}{2} \times 0.0001 \times 2500 = 0.125 \, \text{J}$$

2. Energia nell'induttore (in risonanza, l'energia è la stessa):

   U_L = \frac{1}{2} L I^2

   $$U_L = \frac{1}{2} L I^2$$

   Dove I$I$ è la corrente massima. Possiamo calcolare I$I$ usando V = L \frac{dI}{dt}$V = L \frac{dI}{dt}$ e considerando la massima tensione.

English version

LC Circuit Exercises

Introduction to LC Circuits

An LC circuit is an electrical circuit that contains an inductor (L) and a capacitor (C) in series or in parallel. These circuits are used in many applications, such as filters, oscillators, and resonant circuits.

Fundamental Formula

The resonant frequency f_0$f_0$ of an LC circuit is given by the formula:

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}$$

where:

• f_0$f_0$ is the resonant frequency in hertz (Hz)
• L$L$ is the inductance in henry (H)
• C$C$ is the capacitance in farad (F)

Exercise 1: Calculating the Resonant Frequency

Problem: An LC circuit has an inductor of 10 \, \text{mH}$10 \, \text{mH}$ and a capacitor of 100 \, \mu\text{F}$100 \, \mu\text{F}$. Calculate the resonant frequency.

Solution: 1. Convert the units: - L = 10 \, \text{mH} = 10 \times 10^{-3} \, \text{H} = 0.01 \, \text{H}$L = 10 \, \text{mH} = 10 \times 10^{-3} \, \text{H} = 0.01 \, \text{H}$ - C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F} = 0.0001 \, \text{F}$C = 100 \, \mu\text{F} = 100 \times 10^{-6} \, \text{F} = 0.0001 \, \text{F}$ 2
Apply the formula:

f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.01 \times 0.0001}} \approx \frac{1}{2\pi\sqrt{0.000001}} \approx \frac{1}{2\pi \times 0.001} \approx 159.15 \, \text{Hz}

$$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{0.01 \times 0.0001}} \approx \frac{1}{2\pi\sqrt{0.000001}} \approx \frac{1}{2\pi \times 0.001} \approx 159.15 \, \text{Hz}$$

Exercise 2: Energy in the LC Circuit

Problem: Calculate the energy stored in the capacitor and inductor when the circuit is in resonance. Suppose the maximum voltage on the capacitor is 50 \, \text{V}$50 \, \text{V}$.

Solution:

1. Energy in the capacitor:

U_C = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 0.0001 \times 50^2 = \frac{1}{2} \times 0.0001 \times 2500 = 0.125 \, \text{J}

$$U_C = \frac{1}{2} C V^2 = \frac{1}{2} \times 0.0001 \times 50^2 = \frac{1}{2} \times 0.0001 \times 2500 = 0.125 \, \text{J}$$

2. Energy in the inductor (in resonance, the energy is the same):

U_L = \frac{1}{2} L I^2

$$U_L = \frac{1}{2} L I^2$$

Where I$I$ is the maximum current. We can calculate I$I$ using V = L \frac{dI}{dt}$V = L \frac{dI}{dt}$ and considering the maximum voltage.