Esercizi sugli Integrali Notevoli

Esercizi sugli Integrali Notevoli

Esercizi sugli Integrali Notevoli

Versione italiana

Esercizi sugli Integrali Notevoli

Concetti Chiave

1. Integrali Notevoli:
   Gli integrali notevoli sono integrali che possono essere calcolati facilmente grazie a formule standard. Alcuni degli integrali notevoli più comuni includono:

   • \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (per n \neq -1$n \neq -1$)
   • \int e^x \, dx = e^x + C$\int e^x \, dx = e^x + C$
   • \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$
   • \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$
   • \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
   • \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$ (per a > 0$a > 0$, a \neq 1$a \neq 1$)

2. Costanti di Integrazione:
   In tutti gli integrali indefiniti, è importante ricordare di aggiungere la costante di integrazione C$C$.

3. Scomposizione in Parti:
   Alcuni integrali possono richiedere l'uso della scomposizione in parti o altre tecniche per essere risolti.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolare un Integrale Notevole

Problema: Calcola l'integrale \int (3x^2 + 2x - 1) \, dx$\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx$.

Soluzione:

1. Applica la regola degli integrali notevoli:

   \int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 1 \, dx

   $$\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 1 \, dx$$

2. Calcola ciascun integrale:

   • \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$
   • \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$
   • \int 1 \, dx = x$\int 1 \, dx = x$

3. Somma i risultati:

   \int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = x^3 + x^2 - x + C

   $$\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = x^3 + x^2 - x + C$$

Esercizio 2: Calcolare un Integrale Esponenziale

Problema: Calcola l'integrale \int e^{2x} \, dx$\int e^{2x} \, dx$.

Soluzione:

1. Applica la formula per l'integrale esponenziale:

   \int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

   $$\int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$$

Esercizio 3: Calcolare un Integrale Trigonometrico

Problema: Calcola l'integrale \int \sin(x) \, dx$\int \sin(x) \, dx$.

Soluzione:

1. Applica la formula per l'integrale del seno:

   \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C

   $$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$$

Esercizio 4: Calcolare un Integrale Logaritmico

Problema: Calcola l'integrale \int \frac{1}{x} \, dx$\int \frac{1}{x} \, dx$.

Soluzione:

1. Applica la formula per l'integrale logaritmico:

   \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

   $$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$

English version

Exercises on Notable Integrals

Key Concepts

1. Notable Integrals:
   Notable integrals are integrals that can be easily computed using standard formulas. Some of the more common notable integrals include:

• \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (for n \neq -1$n \neq -1$)
• \int e^x \, dx = e^x + C$\int e^x \, dx = e^x + C$
• \int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$
• \int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$
• \int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$
• \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)} + C$ (for a > 0$a > 0$, a \neq 1$a \neq 1$)

2. Integration Constants:
   In all indefinite integrals, it is important to remember to add the integration constant C$C$.

3. Partial Decomposition:
   Some integrals may require the use of partial decomposition or other techniques to be solved.

Exercises

Exercise 1: Computing a Notable Integral

Problem: Compute the integral \int (3x^2 + 2x - 1) \, dx$\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx$.

Solution:

1. Apply the rule of notable integrals:

\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 1 \, dx

$$\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = \int 3x^2 \, dx + \int 2x \, dx - \int 1 \, dx$$

2. Calculate each integral:

• \int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$\int 3x^2 \, dx = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3$
• \int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$\int 2x \, dx = 2 \cdot \frac{x^2}{2} = x^2$
• \int 1 \, dx = x$\int 1 \, dx = x$

3. Add the results:

\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = x^3 + x^2 - x + C

$$\int (3x^2 + 2x - 1) \, dx = x^3 + x^2 - x + C$$

Exercise 2: Calculate an Exponential Integral

Problem: Calculate the integral \int e^{2x} \, dx$\int e^{2x} \, dx$.

Solution:

1. Apply the formula for the exponential integral:

\int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} + C

$$\int e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{2} + C$$

Exercise 3: Calculate a Trigonometric Integral

Problem: Calculate the integral \int \sin(x) \, dx$\int \sin(x) \, dx$.

Solution:

1. Apply the formula for the sine integral:

\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C

$$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$$

Exercise 4: Calculate a Logarithmic Integral

Problem: Calculate the integral \int \frac{1}{x} \, dx$\int \frac{1}{x} \, dx$.

Solution:

1. Apply the formula for the logarithmic integral:

\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C

$$\int \frac{1}{x} \, dx = \ln|x| + C$$