Esercizi sugli Integrali Doppi

Esercizi sugli Integrali Doppi

Esercizi sugli Integrali Doppi

Versione italiana

Esercizi sugli Integrali Doppi

Concetti Chiave

1. Definizione di Integrale Doppio:
   L'integrale doppio di una funzione f(x, y)$f(x, y)$ su una regione D$D$ nel piano è definito come:

   \iint_D f(x, y) \, dA

   $$\iint_D f(x, y) \, dA$$

   dove dA$dA$ è l'elemento di area, solitamente espresso come dx \, dy$dx \, dy$ o dy \, dx$dy \, dx$.

2. Regioni di Integrazione:
   Le regioni di integrazione possono essere:

   • Rettangolari: definite da limiti costanti.
   • Non rettangolari: definite da curve, richiedendo una suddivisione in più parti.

3. Cambio dell'Ordine di Integrazione:
   In alcuni casi, è possibile cambiare l'ordine di integrazione (da dx \, dy$dx \, dy$ a dy \, dx$dy \, dx$ e viceversa) per semplificare il calcolo.

4. Teorema di Fubini:
   Se f(x, y)$f(x, y)$ è continua su una regione rettangolare D$D$, allora:

   \iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx

   $$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx$$

   oppure

   \iint_D f(x, y) \, dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y) \, dx \right) dy

   $$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y) \, dx \right) dy$$

Esercizi

Esercizio 1: Calcolare un Integrale Doppio su una Regione Rettangolare

Problema: Calcola l'integrale doppio della funzione f(x, y) = x + y$f(x, y) = x + y$ sulla regione rettangolare D = [0, 1] \times [0, 2]$D = [0, 1] \times [0, 2]$.

Soluzione:

1. Scrivi l'integrale doppio:

   \iint_D (x + y) \, dA = \int_0^1 \left( \int_0^2 (x + y) \, dy \right) dx

   $$\iint_D (x + y) \, dA = \int_0^1 \left( \int_0^2 (x + y) \, dy \right) dx$$
2. Calcola l'integrale interno:

   \int_0^2 (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = 2x + 2

   $$\int_0^2 (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = 2x + 2$$
3. Calcola l'integrale esterno:

   \int_0^1 (2x + 2) \, dx = \left[ x^2 + 2x \right]_0^1 = 1 + 2 = 3

   $$\int_0^1 (2x + 2) \, dx = \left[ x^2 + 2x \right]_0^1 = 1 + 2 = 3$$
4. Risultato finale:

   \iint_D (x + y) \, dA = 3

   $$\iint_D (x + y) \, dA = 3$$

Esercizio 2: Calcolare un Integrale Doppio su una Regione Non Rettangolare

Problema: Calcola l'integrale doppio della funzione f(x, y) = x^2 + y^2$f(x, y) = x^2 + y^2$ sulla regione D$D$ delimitata da y = x$y = x$ e y = x^2$y = x^2$ per 0 \leq x \leq 1$0 \leq x \leq 1$.

Soluzione:

1. Scrivi l'integrale doppio:

   \iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^1 \left( \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx

   $$\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^1 \left( \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx$$

2. Calcola l'integrale interno:

   \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{x} = \left( x^3 + \frac{x^3}{3} \right) - \left( x^4 + \frac{x^6}{3} \right)

   $$\int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{x} = \left( x^3 + \frac{x^3}{3} \right) - \left( x^4 + \frac{x^6}{3} \right)$$

3. Calcola l'integrale esterno:

   \int_0^1 \left( \frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) dx

   $$\int_0^1 \left( \frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) dx$$

   Calcoliamo ciascun termine separatamente:

   • \int_0^1 \frac{4x^3}{3} \, dx = \frac{4}{3} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$\int_0^1 \frac{4x^3}{3} \, dx = \frac{4}{3} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$
   • \int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$\int_0^1 x^4 \, dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$
   • \int_0^1 \frac{x^6}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21}$\int_0^1 \frac{x^6}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21}$

   Ora sommiamo i risultati:

   \int_0^1 \left( \frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{21}

   $$\int_0^1 \left( \frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{21}$$

   Per sommare queste frazioni, troviamo un denominatore comune, che è 105:

   \frac{1}{3} = \frac{35}{105}, \quad \frac{1}{5} = \frac{21}{105}, \quad \frac{1}{21} = \frac{5}{105}

   $$\frac{1}{3} = \frac{35}{105}, \quad \frac{1}{5} = \frac{21}{105}, \quad \frac{1}{21} = \frac{5}{105}$$

   Quindi:

   \frac{35}{105} - \frac{21}{105} - \frac{5}{105} = \frac{35 - 21 - 5}{105} = \frac{9}{105} = \frac{3}{35}

   $$\frac{35}{105} - \frac{21}{105} - \frac{5}{105} = \frac{35 - 21 - 5}{105} = \frac{9}{105} = \frac{3}{35}$$

4. Risultato finale:

   \iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \frac{3}{35}

   $$\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \frac{3}{35}$$

Esercizio 3: Cambiare l'Ordine di Integrazione

Problema: Calcola l'integrale doppio della funzione f(x, y) = xy$f(x, y) = xy$ sulla regione D$D$ delimitata da y = 0$y = 0$, y = x$y = x$, e x = 1$x = 1$.

Soluzione:

1. Scrivi l'integrale doppio con l'ordine originale:

   \iint_D xy \, dA = \int_0^1 \left( \int_0^x xy \, dy \right) dx

   $$\iint_D xy \, dA = \int_0^1 \left( \int_0^x xy \, dy \right) dx$$

2. Calcola l'integrale interno:

   \int_0^x xy \, dy = x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x = x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}

   $$\int_0^x xy \, dy = x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x = x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$$

3. Calcola l'integrale esterno:

   \int_0^1 \frac{x^3}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}

   $$\int_0^1 \frac{x^3}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$$

4. Risultato finale:

   \iint_D xy \, dA = \frac{1}{8}

   $$\iint_D xy \, dA = \frac{1}{8}$$

English version

Double Integral Exercises

Key Concepts

1. Definition of Double Integral:
   The double integral of a function f(x, y)$f(x, y)$ over a region D$D$ in the plane is defined as:

\iint_D f(x, y) \, dA

$$\iint_D f(x, y) \, dA$$

where dA$dA$ is the area element, usually expressed as dx \, dy$dx \, dy$ or dy \, dx$dy \, dx$.

2. Regions of Integration:
   Regions of integration can be:

• Rectangular: defined by constant limits.
• Non-rectangular: defined by curves, requiring a subdivision into multiple parts.

3. Changing the Order of Integration:
   In some cases, it is possible to change the order of integration (from dx \, dy$dx \, dy$ to dy \, dx$dy \, dx$ and vice versa) to simplify the calculation.

4. Fubini's Theorem:
   If f(x, y)$f(x, y)$ is continuous on a rectangular region D$D$, then:

\iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx

$$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_a^b \left( \int_c^d f(x, y) \, dy \right) dx$$

or

\iint_D f(x, y) \, dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y) \, dx \right) dy

$$\iint_D f(x, y) \, dA = \int_c^d \left( \int_a^b f(x, y) \, dx \right) dy$$

Exercises

Exercise 1: Computing a Double Integral on a Rectangular Region

Problem: Compute the double integral of the function f(x, y) = x + y$f(x, y) = x + y$ on the rectangular region D = [0, 1] \times [0, 2]$D = [0, 1] \times [0, 2]$.

Solution:

1. Write the double integral:

\iint_D (x + y) \, dA = \int_0^1 \left( \int_0^2 (x + y) \, dy \right) dx

$$\iint_D (x + y) \, dA = \int_0^1 \left( \int_0^2 (x + y) \, dy \right) dx$$

2. Calculate the internal integral:

\int_0^2 (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = 2x + 2

$$\int_0^2 (x + y) \, dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} \right]_0^2 = 2x + 2$$

3. Calculate the outer integral:

4. \int_0^1 (2x + 2) \, dx = \left[ x^2 + 2x \right]_0^1 = 1 + 2 = 3

   $$\int_0^1 (2x + 2) \, dx = \left[ x^2 + 2x \right]_0^1 = 1 + 2 = 3$$
5. Final result: $$\iint_D (x + y) , dA = 3$$

Exercise 2: Calculating a Double Integral over a Non-Region Rectangular

Problem: Compute the double integral of the function f(x, y) = x^2 + y^2$f(x, y) = x^2 + y^2$ over the region D$D$ bounded by y = x$y = x$ and y = x^2$y = x^2$ for 0 \leq x \leq 1$0 \leq x \leq 1$.

Solution:

1. Write the double integral:

\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^1 \left( \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx

$$\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \int_0^1 \left( \int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) \, dy \right) dx$$

3. Calculate the internal integral:

\int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{x} = \left( x^3 + \frac{x^3}{3} \right) - \left( x^4 + \frac{x^6}{3} \right)

$$\int_{x^2}^{x} (x^2 + y^2) \, dy = \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_{x^2}^{x} = \left( x^3 + \frac{x^3}{3} \right) - \left( x^4 + \frac{x^6}{3} \right)$$

6. Compute the outer integral:

\int_0^1 \left( \frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) dx

$$\int_0^1 \left( \frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) dx$$

We calculate each term separately: - \int_0^1 \frac{4x^3}{3} \, dx = \frac{4}{3} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$\int_0^1 \frac{4x^3}{3} \, dx = \frac{4}{3} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{4}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$ - \int_0^1 x^4 , dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$\int_0^1 x^4 , dx = \left[ \frac{x^5}{5} \right]_0^1 = \frac{1}{5}$ - \int_0^1 \frac{x^6}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21}$\int_0^1 \frac{x^6}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{7} = \frac{1}{21}$

Now let's add the results:

\int_0^1 \left( \frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{21}

$$\int_0^1 \left( \frac{4x^3}{3} - x^4 - \frac{x^6}{3} \right) dx = \frac{1}{3} - \frac{1}{5} - \frac{1}{21}$$

To add these fractions, we find a common denominator, which is 105:

\frac{1}{3} = \frac{35}{105}, \quad \frac{1}{5} = \frac{21}{105}, \quad \frac{1}{21} = \frac{5}{105}

$$\frac{1}{3} = \frac{35}{105}, \quad \frac{1}{5} = \frac{21}{105}, \quad \frac{1}{21} = \frac{5}{105}$$

So:

\frac{35}{105} - \frac{21}{105} - \frac{5}{105} = \frac{35 - 21 - 5}{105} = \frac{9}{105} = \frac{3}{35}

$$\frac{35}{105} - \frac{21}{105} - \frac{5}{105} = \frac{35 - 21 - 5}{105} = \frac{9}{105} = \frac{3}{35}$$

4. Final result:

\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \frac{3}{35}

$$\iint_D (x^2 + y^2) \, dA = \frac{3}{35}$$

Exercise 3: Changing the Order of Integration

Problem: Compute the double integral of the function f(x, y) = xy$f(x, y) = xy$ over the region D$D$ bounded by y = 0$y = 0$, y = x$y = x$, and x = 1$x = 1$.

Solution:

1. Write the double integral with the original order:

\iint_D xy \, dA = \int_0^1 \left( \int_0^x xy \, dy \right) dx

$$\iint_D xy \, dA = \int_0^1 \left( \int_0^x xy \, dy \right) dx$$

2. Calculate the internal integral:

\int_0^x xy \, dy = x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x = x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}

$$\int_0^x xy \, dy = x \cdot \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^x = x \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{2}$$

3. Calculate the external integral:

\int_0^1 \frac{x^3}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}

$$\int_0^1 \frac{x^3}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \left[ \frac{x^4}{4} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$$

4. Final result:

\iint_D xy \, dA = \frac{1}{8}

$$\iint_D xy \, dA = \frac{1}{8}$$