Esercizi sugli Induttori

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Versione italiana

Esercizi sugli Induttori

Un induttore è un componente elettrico che immagazzina energia sotto forma di campo magnetico quando una corrente elettrica lo attraversa. La relazione fondamentale che descrive il comportamento di un induttore è data dalla legge di Faraday:

V_L = L \frac{di(t)}{dt} $V_L = L \frac{di(t)}{dt}$

dove:

• V_L$V_L$ è la tensione ai capi dell'induttore,
• L$L$ è l'induttanza, misurata in henry (H),
• i(t)$i(t)$ è la corrente che attraversa l'induttore.

Proprietà degli Induttori

1. Induttanza: L'induttanza L$L$ è una misura della capacità di un induttore di immagazzinare energia. È definita come:

L = \frac{N \Phi}{I} $L = \frac{N \Phi}{I}$

dove:

• N$N$ è il numero di spire,
• \Phi$\Phi$ è il flusso magnetico attraverso una spira,
• I$I$ è la corrente.

2. Energia immagazzinata: L'energia W$W$ immagazzinata in un induttore è data da:

W = \frac{1}{2} L I^2 $W = \frac{1}{2} L I^2$

3. Comportamento in AC e DC: In un circuito DC, un induttore si comporta come un cortocircuito dopo un certo tempo, mentre in un circuito AC, l'induttore oppone una reattanza alla corrente alternata.

Esercizi

Esercizio 1: Calcolo della tensione in un induttore

Un induttore con induttanza L = 5 \, \text{H}$L = 5 \, \text{H}$ ha una corrente che varia nel tempo secondo la legge i(t) = 2t^2$i(t) = 2t^2$. Calcola la tensione ai capi dell'induttore al tempo t = 3 \, \text{s}$t = 3 \, \text{s}$.

Soluzione:
Calcoliamo la derivata della corrente:

\frac{di(t)}{dt} = \frac{d(2t^2)}{dt} = 4t $\frac{di(t)}{dt} = \frac{d(2t^2)}{dt} = 4t$

Ora, calcoliamo \frac{di(3)}{dt}$\frac{di(3)}{dt}$:

\frac{di(3)}{dt} = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{A/s} $\frac{di(3)}{dt} = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{A/s}$

Ora possiamo calcolare la tensione:

V_L = L \frac{di(t)}{dt} = 5 \cdot 12 = 60 \, \text{V} $V_L = L \frac{di(t)}{dt} = 5 \cdot 12 = 60 \, \text{V}$

Esercizio 2: Energia immagazzinata in un induttore

Calcola l'energia immagazzinata in un induttore con induttanza L = 10 \, \text{H}$L = 10 \, \text{H}$ quando la corrente che lo attraversa è I = 3 \, \text{A}$I = 3 \, \text{A}$.

Soluzione:
Utilizziamo la formula per l'energia immagazzinata:

W = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (3)^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45 \, \text{J} $W = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (3)^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45 \, \text{J}$

Esercizio 3: Comportamento di un induttore in un circuito AC

Un induttore con induttanza L = 2 \, \text{H}$L = 2 \, \text{H}$ è collegato a una sorgente di tensione alternata V(t) = 10 \sin(100t)$V(t) = 10 \sin(100t)$. Calcola la corrente i(t)$i(t)$ attraverso l'induttore.

Soluzione:
La tensione ai capi dell'induttore è data da:

V_L = L \frac{di(t)}{dt} $V_L = L \frac{di(t)}{dt}$

Sappiamo che V(t) = 10 \sin(100t)$V(t) = 10 \sin(100t)$, quindi:

10 \sin(100t) = 2 \frac{di(t)}{dt} $10 \sin(100t) = 2 \frac{di(t)}{dt}$

Integrando entrambi i lati rispetto a t$t$:

\int 10 \sin(100t) \, dt = 2i(t) + C $\int 10 \sin(100t) \, dt = 2i(t) + C$

L'integrale di 10 \sin(100t)$10 \sin(100t)$ è:

- \frac{10}{100} \cos(100t) + C = -0.1 \cos(100t) + C $- \frac{10}{100} \cos(100t) + C = -0.1 \cos(100t) + C$

Ora, possiamo scrivere l'equazione per la corrente i(t)$i(t)$:

2i(t) = -0.1 \cos(100t) + C $2i(t) = -0.1 \cos(100t) + C$

Dividendo entrambi i lati per 2, otteniamo:

i(t) = -0.05 \cos(100t) + \frac{C}{2} $i(t) = -0.05 \cos(100t) + \frac{C}{2}$

Se consideriamo che all'istante iniziale t = 0$t = 0$ la corrente è zero (cioè i(0) = 0$i(0) = 0$), possiamo determinare la costante C$C$:

i(0) = -0.05 \cos(0) + \frac{C}{2} = -0.05 + \frac{C}{2} = 0 $i(0) = -0.05 \cos(0) + \frac{C}{2} = -0.05 + \frac{C}{2} = 0$

Da cui:

\frac{C}{2} = 0.05 \quad \Rightarrow \quad C = 0.1 $\frac{C}{2} = 0.05 \quad \Rightarrow \quad C = 0.1$

Pertanto, la corrente i(t)$i(t)$ diventa:

i(t) = -0.05 \cos(100t) + 0.05 $i(t) = -0.05 \cos(100t) + 0.05$

English version

Inductor Exercises

An inductor is an electrical component that stores energy in the form of a magnetic field when an electric current passes through it. The fundamental relationship that describes the behavior of an inductor is given by Faraday's law:

V_L = L \frac{di(t)}{dt} $V_L = L \frac{di(t)}{dt}$

where:

• V_L$V_L$ is the voltage across the inductor,
• L$L$ is the inductance, measured in henries (H),
• i(t)$i(t)$ is the current flowing through the inductor.

Properties of Inductors

1. Inductance: The inductance L$L$ is a measure of the ability of an inductor to store energy. It is defined as:

L = \frac{N \Phi}{I} $L = \frac{N \Phi}{I}$

where:

• N$N$ is the number of turns,
• \Phi$\Phi$ is the magnetic flux through a turn,
• I$I$ is the current.

2. Stored energy: The energy W$W$ stored in an inductor is given by:

W = \frac{1}{2} L I^2 $W = \frac{1}{2} L I^2$

3. Behavior in AC and DC: In a DC circuit, an inductor behaves like a short circuit after a certain time, while in an AC circuit, the inductor opposes a reactance to the alternating current.

Exercises

Exercise 1: Calculating the voltage in an inductor

An inductor with inductance L = 5 \, \text{H}$L = 5 \, \text{H}$ has a current that varies in time according to the law i(t) = 2t^2$i(t) = 2t^2$. Calculate the voltage across the inductor at time t = 3 \, \text{s}$t = 3 \, \text{s}$.

Solution:
Let's calculate the derivative of the current:

\frac{di(t)}{dt} = \frac{d(2t^2)}{dt} = 4t $\frac{di(t)}{dt} = \frac{d(2t^2)}{dt} = 4t$

Now, let's calculate \frac{di(3)}{dt}$\frac{di(3)}{dt}$:

\frac{di(3)}{dt} = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{A/s} $\frac{di(3)}{dt} = 4 \cdot 3 = 12 \, \text{A/s}$

Now we can calculate the voltage:

V_L = L \frac{di(t)}{dt} = 5 \cdot 12 = 60 \, \text{V} $V_L = L \frac{di(t)}{dt} = 5 \cdot 12 = 60 \, \text{V}$

Exercise 2: Energy stored in an inductor

Calculate the energy stored in an inductor with inductance L = 10 \, \text{H}$L = 10 \, \text{H}$ when the current flowing through it is I = 3 \, \text{A}$I = 3 \, \text{A}$.

Solution:
We use the formula for stored energy:

W = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (3)^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45 \, \text{J} $W = \frac{1}{2} L I^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (3)^2 = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 9 = 45 \, \text{J}$

Exercise 3: Behavior of an inductor in an AC circuit

An inductor with inductance L = 2 \, \text{H}$L = 2 \, \text{H}$ is connected to an AC voltage source V(t) = 10 \sin(100t)$V(t) = 10 \sin(100t)$. Calculate the current i(t)$i(t)$ through the inductor.

Solution:
The voltage across the inductor is given by:

V_L = L \frac{di(t)}{dt} $V_L = L \frac{di(t)}{dt}$

We know that V(t) = 10 \sin(100t)$V(t) = 10 \sin(100t)$, so:

10 \sin(100t) = 2 \frac{di(t)}{dt} $10 \sin(100t) = 2 \frac{di(t)}{dt}$

Integrating both sides with respect to t$t$:

\int 10 \sin(100t) \, dt = 2i(t) + C $\int 10 \sin(100t) \, dt = 2i(t) + C$

The integral of 10 \sin(100t)$10 \sin(100t)$ is:

- \frac{10}{100} \cos(100t) + C = -0.1 \cos(100t) + C $- \frac{10}{100} \cos(100t) + C = -0.1 \cos(100t) + C$

Now, we can write the equation for the current i(t)$i(t)$:

2i(t) = -0.1 \cos(100t) + C $2i(t) = -0.1 \cos(100t) + C$

Dividing both sides by 2, we get:

i(t) = -0.05 \cos(100t) + \frac{C}{2} $i(t) = -0.05 \cos(100t) + \frac{C}{2}$

If we consider that at the initial instant t = 0$t = 0$ the current is zero (i.e. i(0) = 0$i(0) = 0$), we can determine the constant C$C$:

i(0) = -0.05 \cos(0) + \frac{C}{2} = -0.05 + \frac{C}{2} = 0 $i(0) = -0.05 \cos(0) + \frac{C}{2} = -0.05 + \frac{C}{2} = 0$

Hence:

\frac{C}{2} = 0.05 \quad \Rightarrow \quad C = 0.1 $\frac{C}{2} = 0.05 \quad \Rightarrow \quad C = 0.1$

Therefore, the current i(t)$i(t)$ becomes:

i(t) = -0.05 \cos(100t) + 0.05 $i(t) = -0.05 \cos(100t) + 0.05$